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南宁市东盟中学 2026 届毕业班春季开学适应性测试 数学 试卷
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知 为虚数单位,且 ,则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
3. 设向量 ,向量 ,若 且 ,则 ( )
A. -2 B. 2 C. 1 D. -2 或 1
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
5. 已知函数 , 的部分图象如图所示, 则下列说法正确的是( )
A. 直线 是 图象的一条对称轴
B. 图象的对称中心为
C. 在区间 上单调递增
D. 将 的图象向左平移 个单位长度后,可得到一个偶函数的图象
6. 已知函数 的定义域为 是偶函数， 在 上单调递增,则不等式 的解集为 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线 的右焦点为 为坐标原点,以 为直径的圆与双曲线的其中一条渐近线交于点 (除原点外)，若 ，则双曲线 的离心率为 ( )
A. B. C. 2 D. 3
8. 已知 ,则下列说法正确的是 ( )
A. B. C. D.
二、多选题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分).
9. 下列说法中,正确的命题是( ).
A. 已知随机变量 服从正态分布 ,则
B. 线性相关系数 越大,两个变量的线性相关性越强; 反之,线性相关性越弱
C. 已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为 ,若 , ,则
D. 若样本数据 的方差为 8,则数据 的方差为 2
10. 如图,已知正四棱柱 的底面边长为 1,侧棱长为 2,点 为侧棱 (含端点)上的动点，直线 平面 ，则下列说法正确的有( )
A. 直线 与平面 不可能平行
B. 直线 与平面 不可能垂直
C. 若 且 ,则平面 截正四棱柱所得截面多边形的周长为
D. 直线 与平面 所成角的正弦值的范围为
11. 我国著名数学家华罗庚先生说:“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面. 如图,由抛物线 分别逆时针旋转 可围成“四角花瓣”图案(阴影区域)，则( )
A. 开口向下的抛物线的方程为
B. 若 ,则
C. 设 ,则 时,直线 截第一象限花瓣的弦长最大
D. 无论 为何值，过点 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分).
12. 的展开式中的常数项是_____.
13. 已知函数 ,当方程 有两解时, 的取值范围是_____.
14. 如图, 在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”, 其纵截面轮廓线近似曲线 的一部分,给出下列四个结论:
① 点 在 上；
②在 处 的切线，其与 的交点的横纵坐标均为整数；
③若 在 轴上方的部分为函数 的图象,则 是 的极小值点;
④ 在 轴左边的部分到坐标原点 的距离均大于 .
其中正确结论的序号是_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤).
15. 设数列 的前 项和为 ,且 .
(1)证明: 是等比数列，并求其通项公式；
(2)若 ，令 ，求数列 的前 项和 .
16. 已知 中角 所对的边分别为 ，设其面积为 ，
(1)求角 ；
(2)若 ，点 在边 上，若 是 的平分线，且 ，求 .
17. 在四棱锥 中,直线 平面 , .
(1)求证:直线 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
18. 每年 12 月 4 日是全国普法宣传日，某校对高三年级 600 名学生法治素养现状进行调查研究, 举行了一次“普法知识”竞赛.从中随机抽取 60 名学生, 统计结果如下: 获奖人数占总人数的 ，其中获奖人数中，男生占 ，不获奖人数中，女生占 .
(1)现从这 60 名学生中随机抽取 1 名学生，求恰好是女生的概率；
(2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取 8 人，参加赛后经验交流活动.若从这 8 人中随机选取 2 人.
① 求在 2 人中有女生入选的条件下，恰好选到 1 名男生和 1 名女生的概率；
② 记 为入选的 2 人中的女生人数,求随机变量 的分布列及数学期望.
19. 已知函数 .
(1)若直线 与函数 的图象均相切，求直线 的方程；
(2)记 .
(i) 求 的单调区间;
(ii) 若 ,其中 ,求证: .
1. B
因为 ,
因此, .
故选: B.
2. D
由题意知, ,即 ,
所以 ,所以 .
故选: D
3. C
由 和 可得 ,解得 ,
故选:
4.
方法 1: 由等差数列前 项和的性质可知:
在等差数列 中, 仍成等差数列,
所以 成等差数列,即 ,
又 ,所以 ,
解得 .
方法 2: 设等差数列 首项为 ,公差为 ,
由等差数列前 项和公式 可知:
联立解得 ,
所以 .
故选: B.
5. D
由图易知 ,得 ,
又 ,所以 ,因为点 在函数图象上,所以
得到 ,又 ,所以 ,故 ,
对于选项 ,由 ,得 ,故直线 不是 图象的一条对称轴, 所以选项 A 错误;
对于选项 ,由 ,得 ,函数 图象的对称中心为 , ,所以选项 错误;
对于选项 ,由 ,得 ,
当 时,得到 ,所以选项 错误;
对于选项 D,将 的图象向左平移 个单位长度后得 , 所以平移后的函数是偶函数, 故选项 D 正确.
故选: D.
6. A
是偶函数, 函数 关于 对称, ,又: 在
上单调递增, 在 单调递减, 可化为 ,解得 不等式 解集为 .
故选: A
7. A
双曲线 右焦点 ,渐近线 .
以 为直径的圆的方程 ,即 .
设点 在渐近线 上,
由 消元整理得 ,即 ,
解得 或 (原点,舍去),此时 ,所以 .
又 ,即 ,整理化简得 (因为 ) .
所以 .
故选: A.
8. A
令 ,
可得 ,
设 ,其中 ,
可得 ,所以 在 上单调递减,
所以 ,即 ,即 ,
故 ,所以 ;
设 ,其中 ,
可得 ,令 ,
可得 ,故 在 上单调递增,
所以 ,可得 ,所以 在 上单调递增,
所以 ,可得 ,
故 ,所以 ,所以 .
故选: A.
9. CD
A. 已知随机变量 服从正态分布 ,则
,所以 ,
所以 ,
,故 A 错误;
B. 线性相关系数 的范围在 -1 到 1 之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于 1 , 两个变量的线性相关性越强; 反之, 线性相关性越弱, 故 B 错误;
C. 已知两个变量具有线性相关关系,其回归直线方程为 ,若 ,
,则 ,故 正确;
D. 设数据 的方差为 ,样本数据 的方差为 ,则 ,即数据 的方差为 2,故 正确.
10. BC
对于 已知 ,若 ,则需 ,易知当 与 重合时,
平面 平面 ,所以 ,故 可能成立,故 错误; 对于 : 假设直线 与平面 垂直,又因为 ,则 ,显然不合题意, 因此假设不成立,即直线 与平面 不可能垂直,故 正确;
对于 : 当 为 的中点时,连接 ,
依题意可知 平面 平面 ,
所以 ,
又 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 ,
又 ，所以 ，所以 ，
又 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,
又 平面 ,
所以 平面 ,则平面 为平面 ,即平面 截正四棱柱所得截面多边形为 ,
又 ,
所以截面多边形的周长为 ,故 正确;
对于 : 以 为原点,直线 分别为 轴建立如图所示坐标系,
则 ,则 ,设 ,
平面 的一个法向量为 ,设直线 与平面 所成角为 ,
所以 ,又 ,
所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值的范围为 ,故 错误.
故选:
11. ABD
对于 ,因为抛物线 的焦点为 ,
若抛物线逆时针旋转 ,则开口向下,焦点为 ,
故开口向下的抛物线方程为: ,故 正确;
对于 ,由题意可知, 关于 轴对称,
因为 ,设 ,所以 ,
因为点 在抛物线 上,所以 ,
所以 ,即 ,所以 ,
由 在抛物线 上,所以 ,解得 ,故 正确;
对于 ,当 ,由 得 ,所以 ,
由题意直线 截第一象限花瓣弦长为 ,
所以 ,令 ,则 ,
当 时, ,函数单调递增,
当 时, ,函数单调递减,
所以当 时,函数取到最大值,故 错误;
对于 ,由 得 ,
过第二象限的两抛物线分别为: ①, ②,
对于①， ，则 ，设切点坐标为 ，
所以过点 的切线方程为: ,
将点 代入得 ,解得 ,
因为 ,故 ,
所以切线的斜率为 ,故无论 为何值,切线斜率均为 ,其与直线 的夹角为定值,
由题意可知, 与 关于直线 对称,
故过点 的两切线也关于直线 对称,故 的切线与直线 的夹角为定值, 即无论 为何值，过点 且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故 正确.
故选: ABD
12. -4
展开式的通项为 ,
令 ,
所以常数项为 -4 ,
故答案为: -4 .
13.
,作出函数 与函数 的图象如下图所示:
由图象可知,当 或 时,直线 与函数 的图象有两个交点,
因此,所求的 的取值范围是 .
故答案为: .
14. ①③④
对于①,将点 代入到曲线方程中得, ,所以点 在曲线 上, 故①正确.
对于③，当 时， ，则 ，
当 时， 单调递增；
当 时, 单调递减,
则 是 的极小值点,故③正确.
对于②，由③可知， ，则以 为切点的切线方程为 ,即 ,
将切线方程代入到曲线方程中得,
,即 ,
显然 是方程的根,所以 ,
解得 或 ,故 ② 错误.
对于④,设 的解为 ,
则当 单调递增;
当 时, 单调递减,
又 ,
所以 ,
设曲线上的点 ,则 ,
到原点 的距离为 ,
由 可得 ,
令 ,则 ,
令 ,因为 ,所以取 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
又 ,
所以当 时, ,则 ,故④正确.
故答案为:①③④
15. (1) ；(2) .
试题分析: (1) 利用 ,可知数列为等比数列,由此求得其通项公式. ( 2 )先求得 的表达式，利用裂项求和法求 的前 项和.
试题解析: (1) 当 时, ,
所以 ,
当 时, ,
两式相减得 ,
所以 .
因此 是首项为 ,公比为 的等比数列.
于是 .
(2)由 ，
所以 ,
.
16.
(2)
(1)依题意 ,
,因为 ,所以 .
(2) 中， ， . ①
又 ，即 ，②
联立①②得 .
17.(1) 平面 平面 平面 ，
，又 ，
， ， 两两互相垂直，以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系,
设 ,由已知得 , ,
,
又 平面 平面 .
(2)由(1)，得平面 的一个法向量是 ， 设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ,即 ,
设平面 的法向量为 ,
由 ,得 ,
令 ,则 .
二面角 是锐角， 二面角 的余弦值为 .
18.(1) 获奖人数: 人,不获奖人数: 人, 获奖男生: ,获奖女生: ,
不获奖女生: ，不获奖男生:20-10 =10，
女生总人数: ,则随机抽取到一名学生是女生的概率为: .
(2)按性别分层随机抽取 8 人， 则:
抽取男生为 人,
抽取女生为 人,
①设事件 为“ 2 人中有女生入选”，事件 为“恰好选到 1 名男生和 1 名女生”，
依据条件概率公式 ,其中 ,
,则 ;
② 表示入选的 2 人中的女生人数，其可能的取值为 0,1,2,
分布列:
0 1 2
15 28
数学期望: .
19.(1) 定义域为 ,
设函数 图象上的切点为 ,
切线方程为 ,
设函数 图象上的切点为 ,
切线方程为 ,
比较对应项系数,有 ,消元得 .
令 ,则 ,故 为单调减函数,
当且仅当 时, ,
所以 ,直线 的方程为 .
(2)(i) ，其定义域为 .
记 ,则 .
令 ,得 ; 令 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 ,即 在 上单调递减.
所以 的单调减区间为 ,无增区间.
(ii) 由 (i) 及 知,当 时, ,当 时, ,
因为 ,且 ,所以 ,
要证 ,只需证 ,即 ,
也就是 ,
令 ,
则 ,
记 ,
则 ,所以 在 上单调递增,
,故 在 上单调递减,
,得 ,
从而 ,即 .

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