资源简介

2025-2026 学年高三下学期开学检测 数学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号, 试室号, 座位号填写在答题卡上. 用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2. 选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上: 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案, 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题: (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个 选项中, 只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上)
1. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则满足 的实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 已知非空集合 ,若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
3. 复数 的虚部为( )
A. 1 B. -1 C. i D. -i
4. 已知数列 满足 ,且 ,则数列 最大项是( )
A. B.
C. D. 不存在
5. 已知函数 的部分图象如图所示,关于该函数有下列四个说法:
① 在区间 上单调递减
② 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
③ 的对称轴为
④ 在区间 上的最小值为 -
以上四个说法中，正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 骰宝一般称为赌大小, 是一种用骰子赌博的方式, 规则为: 玩家向庄家下注, 每次下注前, 庄家把三枚骰子放在有盖的器皿中摇晃, 若三枚骰子点数一样, 称为豹子, 庄家直接获胜; 其他情况中, 点数和为 4 到 10 称为小, 和为 11 到 17 称为大; 玩家下注完毕打开器皿, 玩家猜中大小即为玩家获胜, 否则庄家获胜; 在某局中玩家猜大, 已知庄家获胜的条件下, 三枚骰子点数最大的是 5 的概率为( )
A. B. C. D.
7. 一个底面边长和侧棱长均为 4 的正三棱柱密闭容器 ，其中盛有一定体积的水，当底面 水平放置时，水面高为 . 当侧面 水平放置时 (如图)，容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C.
D.
8. 在空间中,我们把点集 表示的曲面 称为圆柱面, 借助比利时数学家 Dandelin 的思想我们不难发现: 任意不与 轴平行或垂直的平面截 所得封闭曲线为椭圆. 设圆柱面 ,正四棱锥 的五个顶点均在 上,且 轴与平面 的夹角为 ,则正四棱锥 的体积为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题:(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知直线 是函数 图象的一条对称轴,则下列结论正确的是( )
A. 点 是 图象的一个对称中心
B. 在 上单调递减
C. 若 在 上恒成立,则 的最大值为
D. 若 在 上恰有 2 个零点,则 的取值范围为
10. 已知数列 的前 项和为 ,满足 ,数列 满足 ，记 ，数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若 ,则 的最大值为 8 D. 满足 的最大 值为 8
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 ,直线 1: 与两条渐近线交于 两点，若 ，则 的离心率可能是 ( )
A. 2 B.
C. D.
三、填空题:(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分)
12. 已知三棱锥 中, 平面 是边长为 3 的等边三角形,若此三棱锥外接球的体积为 ，那么三棱锥 的体积为_____.
13. 设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为 的周期为 2, 且 是奇函数. 当 时, , 若在区间 上,关于 的方程 有 5 个不同的实数根，则实数 的取值范围是_____.
14. 数字 10 在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意, 现有甲乙两人拟使用扑克牌来拼凑数字 10，事先准备好红桃纸牌 10 张，分别含有数字 2 至数字 10，以及一张字母 A．为了计数的方便,两人约定字母 代表数字 1,现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌, 当有一人所抽数字总和为 10 时, 则结束游戏, 此人获胜. 若甲先抽, 则甲取三次纸牌即获胜的概率为_____.
四、解答题:(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
15. 已知向量 ,设函数 . (1)求函数 的最大值，及取得最大值时 取值的集合；
(2)设 为锐角三角形 的三个内角,若 ,求 的值.
16. 已知双曲线 的离心率为 ，且点 在双曲线上
(1)求 的方程；
(2)设点 为 的左顶点，若过点 的直线 与 的右支交于 两点. 证明:直线 和直线 的斜率乘积为定值.
17. 如图,已知 平面 , 为矩形, 分别为线段 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
(3)若 是线段 的中点,求点 到平面 的距离.
18. 已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性;
(2)已知 ， 为曲线 上任意两点，且 ， 关于点 对称.
(i) 求 的取值范围;
(ii) 若 ,求 的取值范围.
19. 已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ,叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 . 已知平面内点 ,点 ,把点 绕点 沿逆时针方向旋转 后得到点 . (1)求点 的坐标；
( 2 )抛物线 的顶点为坐标原点 ，焦点为 ，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点.
(i) 当直线 的方向向量是 时,求经过 三点的圆的圆心 的坐标;
(ii) 点 不在直线 上,直线 交抛物线 于另一点 ,求证: 直线 过定点.
1. A
因为 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,
则 在 内单调递增,可知 在 内单调递增,
所以 在 上为增函数,
若 ,则 ,可得 ,
所以 ,则 ,
不等式 即为 ,可得 ,解得 , 所以实数 的取值范围是 .
故选: A.
2. B
非空集合 ,
是 的充分不必要条件,则有集合 是集合 的真子集,所以 , 即实数 的取值范围为 .
3. A
,
故虚部为 1 ,
故选: A.
4. A
,且
又
此数列为递减数列,最大项为 .
故选 A.
5. C
由图可知, ,即 ,则 ,
此时 ,又 ,
则 ,即 ,
又 ,所以 ,则 .
对于①,当 时, ,
因为函数 在 上单调递减,
所以 在区间 上单调递减,故①正确；
对于②， 的图象向左平移 得到 ，故②正确；
对于③，令 ，解得 ，
所以 的对称轴为 ,故③错误;
对于④，当 时， ，则 ，
则 ,则 在区间 上的最小值为 ,故④正确.
故选: C.
6. B
因为已知庄家获胜, 则点数为豹子或者小,
点数为豹子有 6 种情况；
点数和为 4 有 ,所有排列有 3 种情况;
点数和为 5 有 ,所有排列有 种情况;
点数和为 6 有 ,所有排列有 种情况;
点数和为 7 有 的所有排列,有 种;
点数和为 8 有 ,所有排列有 种情况; 点数和为 9 有 ,所有排列有 种情况; 点数和为 10 有 ,所有排列有 种情况;
所以小有 种情况;
其中三枚骰子点数最大的是 5 的情况有: , ,的所有排列共有 种情况; 所以对应概率为 .
7. A
方法一: 如图 , , 而 ,
,即
,
由于 到 距离 ，则 到 距离 ，
设正方形 外接圆圆心 ,则
设矩形 外接圆圆心 ,则 ,设外接球半径
,故外接球表面积为 ,
故选;A.
方法二: 由当底面 水平放置时,水面高为 可知容器内的空气占容器体积的 ,于是侧放时,图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的 ，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的 ，则边长之比为1:4，即 “小三角形”边长为 1. 然后如图:
设圆的半径为 ,由余弦定理可得
故 ,故 ,
所以外接球的半径为 ,所以球的表面积为 .
故选: A.
8. B
由题意可知圆柱面的半径为 1,如图,平面 截圆柱面所得的截面为椭圆,记椭圆与过点 的母线的交点为 ,该椭圆的半短轴长即为圆柱面的半径 1 .
因为四棱锥 为正四棱锥,所以四边形 为正方形,
设正方形 的中心为 ,则 平面 ,
因为 轴与平面 的夹角为 轴,所以 ,
因为 平面 平面 ,所以 ,
所以 为等腰直角三角形,
又点 到直线 的距离为 1,所以椭圆的长轴长为 , 如图建立平面直角坐标系，
则椭圆方程为 ,四边形 为椭圆的内接正方形,
由对称性可得直线 的方程为 ,
联立 ,消 得到 ,故图中点 的坐标为 ,
所以四边形 的面积 ,
所以四棱锥 的体积 .
9. AC
已知直线 是对称轴,则有 .
因为 ,所以当 时, . 即 .
对于选项 ,对称中心坐标满足 ,解关于 的方程: ,
. 当 时, . 此时 ,
所以点 是函数 图像的一个对称中心,故 正确.
对于选项 ,根据正弦函数的单调性,单调递减区间为: ,
解不等式 ,
当 时,单调递减区间为 .
显然 ,故 B 错误.
对于选项 即 .
则有, ,解不等式:
当 时, ,因为 在 上恒成立,所以 的最大值为 ,故 正确.
对于选项 ,令 ,则 ,
解关于 的方程: .
当 时， ，当 时， ；当 时， .
因为 在 上恰有 2 个零点,所以 ,故 错误.
故选: AC.
10. AC
对于 ,因为 ,所以 ,
所以数列 是等差数列,设公差为 ,
因为 ,所以 ,解得 ,
所以 ,正确;
对于 ,因为 ,所以 ,所以数列 是公比为 2 的等比数列,
所以 ,所以 ,
所以 ,错误.
对于 ,由 知 ,
所以 恒成立,所以数列 单调递增,
当 时， ，
当 时, ,
所以 的最大值为 8 , 正确;
对于 ,设 ,
则 ,
令 ,所以 ,
当 时, ,即 ,
所以当 时, 单调递增,
即当 时 单调递增,
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
当 时, ,即 ;
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
所以当 时, 单调递减,
当 时， 单调递增,
因为 ,
所以满足 的最大值为 7,错误.
故选: AC
11. AD
由题意可知: 直线 过点 ,且与直线 垂直,
点 到渐近线 的距离 ,
因为 ,可知垂足为 ,且 .
联立方程 ,解得 ;
联立方程 ,解得 ;
当 时,点 在射线 上,则 ,
可得 ,整理得 ,
所以双曲线 的离心率为 ;
当 时,点 在射线 上,则 ,
可得 ,整理得 ,
所以双曲线 的离心率为 ;
综上所述: 的离心率可能是 或 2 .
故选: AD.
12.
如图,将三棱锥 补成直三棱柱 ,
则三棱锥 和直三棱柱 的外接球相同,
又直三棱柱 的外接球球心为 的外接圆圆心连线的中点,
且 的外接圆半径为 ，
故三棱锥 的外接球半径为 ,
因为三棱锥 外接球的体积为 ，所以外接球半径为 ，
故 ,得 ,
故三棱锥 的体积为 .
故答案为:
13.
当 时,由 ,得 ,
又因为 是奇函数,有 ,
且当 时,则有 ,
即 ,
而 ,再利用 的周期为 的周期为 2,
在区间 上,可分别作出函数 的图象:
由图可知,函数 和 在 上的图象有 2 个不同的交点,
故函数 和 在 上的图象只有 1 个交点,
才可以满足在 上在 轴上方两图象有 3 个交点.
所以圆心 到直线 的距离为 ,解得 ,
因为两点 连线斜率为 ，所以根据图形可知，
当直线与半圆在 上仅有一个交点,则满足 或 .
故答案为: .
14.
由题设,抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲,把它看成一排对应 共 5 个数字, 由甲取三次纸牌即获胜,则 不可能为 10, 不可能为 10,且 , ,
由题意, 的情况有 ,
对于其中任意情况甲抽取数字的方式均有 种,乙在余下的 7 个数字中选 2 个数字,
当 由 组成,若 时 有 6 种,若 时,即从 中选有 种, 此时满足题设的 情况有 种,
当 由 组成,若 时 有 6 种,若 时,即从 中选有 种, 此时满足题设的 情况有 种,
当 由 组成,若 时 有 6 种,若 时,即从 中选有 种,此时满足题设的 情况有 种,
当 由 组成,若 时 有 6 种,若 时,即从 中选有 种,此时满足题设的 情况有 种,
综上,满足要求的 的情况有 种,
又 的所有情况有 种,
所以甲取三次纸牌即获胜的概率为 .
故答案为:
15. (1)最大值为 ,取得最大值时 取值的集合为 (2)
(1)由题意可得:
可知当 ,即 时,函数 取到最大值 ,
所以函数 的最大值为 ,此时 取值的集合为 .
(2)因为 ，即 ，
且 ,则 ,可知 ,即 ,
又因为 ,则 ,
所以 .
16. (1)由题意得 ，将 代入 中得 ,又 ,
解得 ,故双曲线方程为 ;
(2)由题意得 ，显然过点 的直线 斜率不为 0， 故设直线 的方程为 ,联立 得
设 ,则 ,
,
则 .
17.(1)取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点,所以 ,
因为 为 的中点,所以 ,
因为四边形 为矩形,所以 ,
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ,因为 平面 平面 ,
所以 平面 ;
(2)因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， 两两垂直，
所以以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
因为 ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ,
设平面 的法向量为 ,则
,令 ,则 ,
设 与平面 所成的角为 ,则
所以 与平面 所成角的正弦值 .
(3)依题意可知 ，所以 ，
设 到平面 的距离为 ,
则 .
18. (1) 在区间 单调递减,在 单调递增.
(2) (i) ; (ii) .
(1) 由 可得 ,其定义域为 ;
易知 ,
记 ,
则 ,所以 在 单调递增.
又 ,因此 时, 时, ;
所以 在区间 单调递减,在 单调递增.
(2)(i)由题意可得 .
由对称性,不妨设 ,则 .
又 ,即 .
记 ,则 ,
又 ,所以 ,
所以 在区间 上单调递增,所以 ,即 .
下面证明 ,即证 有解,
记 ,则 ,
取 ,则 ,
所以 ,使得 ,所以 .
(ii) 由题意可得 ,即 .
记 ,
则 .
记 ,
所以 在区间 上单调递增,所以 ,
即 ,即 ,即 .
若 ,则 ,
所以 在区间 上单调递减,所以 ,符合题意.
若 时, ,
所以 在 单调递增,所以 ,不符合题意.
综上所述， .
19. (1)由题可知
设 ,则 ,
所以点 的坐标为 .
(2)(i)由题意得抛物线 ，直线 的方程为 ，设 ， ， 联立 ,得 ,
不妨设 ，
设 三点所在圆的圆心为 ,
则 ,
由 ,得 ,所以 ,
由 ,得 ,所以 ,
所以圆心 的坐标为 .
(ii) 设 ,
所以 ,
代入 得 ，所以 .
设 与 另一交点为 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
则 ,
则 所以
故直线 过定点 .

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