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方城县第一高级中学 2026 届高三下学期 3 月份第一周学情 检测数学试题
学校:_____ 姓名:_____ 班级:_____ 考号:_____
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 (选择题 共 58 分)
一、选择题 (本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. ( )
A. B. C. D.
2. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，空间四边形 中， ，点 在 上，且 ， 点 为 中点，则 等于( )
A. B.
C. D.
4. 已知 ，则 ()
A. B. C. D.
5. 已知数列 满足 ，且 ，则 ( )
A. B. C. -2 D. 2
6. 第 19 届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5 名大学生将前往 3 个场馆 开展志愿服务工作. 若要求每个场馆都要有志愿者,则当甲不去场馆 时，场馆 仅有 2 名志愿者的概率为( )
A. B. C. D.
7. 已知圆锥的高为 ，其内切球的体积为 ，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,若 与 的图象有两个交点,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分)
9. 已知在一次数学测验中,某校 1000 名学生的成绩服从正态分布 ,其中 90 分为及格线，120 分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有( )(参考数据:
① ;
② ;
③
A. 平均分为 100
B. 及格率超过 86%
C. 得分在
D. 得分低于 80 的人数和优秀的人数大致相等
10. 双曲线 的左、右焦点分别为点 ,斜率为正的渐近线为 ,过点 作直线 的垂线,垂足为点 ,交双曲线于点 ,设点 是双曲线 上任意一点, 若 ,则 ( )
A. 双曲线 的共轭双曲线方程为
B.
C. 当点 位于双曲线 右支时,
D. 点 到两渐近线的距离之积为
11. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记 . 若 , 为偶函数，则下列结论中正确的有( )
A. B.
C. D.
第二部分 (非选择题 共 92 分)
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 设 是椭圆 的两个焦点,若椭圆上点 满足 ,记 的外接圆和内切圆半径分别是 ,则 的值为_____.
13. 已知 的外接圆为单位圆，且圆心为 ， ，点 是线段 上一动点，则 的最小值是_____.
14. 对于函数 ，下列说法正确的序号是_____.
①函数 的单调递减区间为 和
② 当 时，
③若方程 有 6 个不同的实根，则
④ 设 ,若对 ,使得 成立,则
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.)
15. 已知等差数列 的公差 ,且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 前 项和为 ；
16. 如图,在四棱锥 中,四边形 是正方形, 是边长为 2 的正三角形, 且 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 近年来，轻食作为餐饮的一种创新形态，广受消费者青睐. 某公司为了获得轻食消费者行为数据, 对一地区消费者进行抽样调查. 统计其中 300 名消费者 (表中 3 个年龄段的人数各 100 人)食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表.
年龄食 用频数 25 岁以下 (<25) 25 岁到 50 岁 50 岁及以上 (≥50)
轻食低频消费者(每周 ≤1 次) 15 35 50
轻食中频消费者(每周 2-3 次) 55 45 40
轻食高频消费者(每周 4-6 次及以上) 30 20 10
(1)已知该地区 25 岁以下、 25 岁到 50 岁、 50 岁及以上三个年龄段的人数比例为 ，用频率估计概率, 求从该地区随机抽取一人, 其为高频消费者的概率.
(2)从以上样本的轻食高频消费者(每周 4-6 次及以上)中，采用按比例分配的分层随机抽样抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中年龄在 25 岁以下与 25 岁到 50 岁的人数分别为 ,记 ,求 的分布列与期望.
18. 已知 是椭圆 的右焦点， 为坐标原点， 为椭圆上一点， 的最小值为 1,当 轴时, .
(1)求椭圆 的方程；
(2) 为椭圆的左、右顶点，点 满足 ，当 与 不重合时，射线 交椭圆 于点 ，直线 相交于点 .
(i) 求证: 点 在定直线上;
(ii) 求 的最大值.
19. 已知函数 ,其中 .
(1)讨论 的单调性;
(2)已知 且 ，求证: ；
(3)若函数 有三个不同的零点，求正数 的取值范围.
1. B
根据复数的运算法则, 可得 . 故选: B.
2. A
向量 ,
若 ,则 ,即 ,解得 或 ,
故“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选: A
3. D
因为 ,所以 ,
所以 ,
故选: D.
4. A
因为 ,所以 ,又 ,
所以
故选: A.
5. C
由题意: ,
依次类推: .
所以 .
故选:
6.
不考虑甲是否去场馆 ,所有志愿者分配方案总数为 ,
甲去场馆 的概率相等,所以甲去场馆 或 的总数为 ,
甲不去场馆 ,分两种情况讨论,
情形一,甲去场馆 ,场馆 有两名志愿者共有 种;
情形二,甲去场馆 ,场馆 场馆 均有两人共有 种,
场馆 场馆 均有两人共有 种,所以甲不去场馆 时,
场馆 仅有 2 名志愿者的概率为 .
故选: B.
7. B
因为内切球的体积为 ,所以内切球的半径 ,
设圆锥的轴截面图 如图所示，底面圆心为 ,球心为 ,球与圆锥侧面切点为 ， 圆锥高为 ，半径为 ，母线长为 ，
所以 ;
因为 与 相似,所以 ,即 ,得到 ,
在 Rt 中有 ,即 得到 ,
所以圆锥的侧面积为 ;
故选: B
8. D
由题设 在 上有两个实根,
即 在 上有两个实根,
所以 与 在 上有两个交点,
由 ,令 ,则 ,
所以 在 上单调递减, ,
所以 使 ,即 ,
在 上 单调递增,
在 上 单调递减,
根据解析式易知 趋向 0 或 时, 均趋向于 ,
且 ,
综上,只需 .
故选: D
9. ACD
由题意知, ,故 A 正确;
B:
,故 B 错误;
C: ,
人,故 正确;
D: ,
因为成绩服从标准正态分布,
,故 D 正确,
故选: ACD.
10. BD
对于选项 : 设右焦点 ,直线 的方程为 ,即 , 则 到 的距离为 ,即 ,则 , 因为 ,即 ,所以 ,则 ,
可得 ,
因为 ,则 ,故 正确;
对于选项 : 易得点 在 的右支上,所以有 ,即 ,
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ,化简得 ,
所以 ,双曲线 方程为 ,
双曲线 的共轭双曲线方程为 ,故 A 错误;
对于选项 : 因为 位于双曲线 右支,则有 ,
则 ,
且 ,则 ,
所以 ,故 错误;
对于选项 : 因为双曲线的渐近线方程为 ,即 和 ,
设 ,则 ,即 ,
则点 到 的距离为 ,到 的距离为 , 所以点 到两渐近线的距离之积为 , D 正确.
11. ACD
对于 ,由 ,可得 ,
两式相减可得 ,故 正确;
对于 ,由 为偶函数,可得 ,
即 ,所以 的图象关于直线 对称,
由 ,两边求导得 ,即 ,
所以 是以 4 为周期的周期函数,
则有 ,无法推出 ,故 B 错误;
对于 ,由 ,两边求导得 ,
即 ,令 ,可得 ,
又 ,令 ,可得 ,
联立 ，解得 ，故 C 正确；
对于 ,由 ,当 时, ,又 ,可得 , 当 时,可得 ,
由 ,即 ,
所以 ,令 ,可得 ,
所以 ,令 ,可得 ,
由 知 的周期为 4,则 ,所以 ,
,故 D 正确.
故选: ACD.
12. 3
由椭圆的标准方程可得 .
设 ,则 ,
在 中，由余弦定理有 ，
故 ,故 ,
故 ,
而 ,故 即 ,
由正弦定理可得 ,故 .
故答案为: 3 .
13.
因为 ,可知 为 的中点,
又因为 为 的外接圆圆心,则 ,
且 ,则 ,则 ,
可知 为等边三角形,即 ,
如图, 建立平面直角坐标系,
则 ,设 ,
可得 ,
则 ,
可知当 时， 取到最小值 .
故答案为:
14. ①③④
对于①,由 ,由 ,则 ,
所以 的定义域为 ,
又 ,令 ,解得 ,
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 的单调递减区间为 和 ,故①正确；
对于②,由①可知函数 在 上单调递减,当 时, ,
即 ,由 ,则 ,故②错误;
对于③，当 时， ，当 时， ，
令 ,易知 的单调递减区间为 和 ,
单调递增区间为 和 ,
且当 时, ,当 时, ,
可作图如下
方程 有 6 个不同的实数根,等价于直线 与函数 的图象有 6 个交点,
由图可得 ,故 3 正确;
对于④,因为 ,使得 成立,
所以函数 在区间 上的值的集合为函数 在区间 上的值的集合的子集,
由 ,求导可得 ,令 ,解得 ,
当 时, ,则函数 在 上单调递增,即 ,
由当 时, ,则 ,故④正确.
故答案为:①③④.
15. (1)
(2)
(1)由条件可知 ,且 , 解得 ,
所以 ;
(2) ,
所以 .
16.( 1 )证明:取 的中点 ，连接 ， .
因为 是边长为 2 的正三角形,所以 .
在正方形 中, ,所以 ,
又 ,所以 ,即 .
因为 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ,所以平面 平面 .
(2)取 的中点 ，连接 ，
因为四边形 是正方形, 分别是 的中点,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 ,
即直线 两两垂直,
以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 .
设 为平面 的一个法向量,
则 ,
令 ,得 .
设 为平面 的一个法向量,
则 ,
令 ,得 .
所以 ,即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.(1)记从该地区中任抽一人，其年龄在 25 岁以下、25 岁到 50 岁、50 岁及以上分别为事件 ,其为高频消费者为事件 ,则 , 由表中数据估计概率 ,
所以 , 即从该地区中任抽一人，其为高频消费者的概率为 .
(2)由表知, 利用分层抽样的方法抽取的 6 人中, 年龄在 25 岁以下与 25 岁到 50 岁的人数分别为3 和 2,依题意, 的所有可能取值分别为 .
所以 ,
所以 的分布列为:
0 1 2 3
1 5
所以 的数学期望为 .
18.(1)已知椭圆 ,右焦点 ,椭圆上点 到 的最小距离为 (当 为右顶点时取得),故 ,当 轴时, 的横坐标为 ,代入椭圆方程得 ,
故依据题意得 ,解得 .
故椭圆 的方程为
(2)(i) ，因为点 满足 ，设 ，得:
,所以 ,
设直线 的方程为 ,设 ,
联立 ,得 ,
易得 ,直线与椭圆恒有两个不同交点,则
直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
联立得 ,
由韦达定理得 ,则 ,
若 ,代入 ,得 ,
将所求值代入 中,得 ,
简后得 ,矛盾,因此 ,
所以 ,解得 .
因为 与 不重合,所以动点 在定直线 上.
(ii) 由椭圆的对称性不妨设 ,直线 的倾斜角分别为 ,
,斜率 ,
斜率为负,则直线 的倾斜角 均在 内,由于 比 更靠近 ,
故 ，因此 ，所以 ，
因为 ,
所以 ,
依据基本不等式可知 ,
所以
因为正切函数在 内单调递增,因此 ,
当且仅当 时,等号成立,此时 ,
所以 的最大值为 .
19.(1)函数 定义域为 ,又 , 设 ,则 ,
① 当 时， 恒成立，且至多一点处为 0，函数 在 上单调递减;
② 当 时， 有两个零点 ,
则当 或 时, ,即 ; 当 时, ,即 , 即函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以当 时, 的单调递减区间为 ;
当 时, 的单调递减区间为 ,单调递增区间为
(2)由(1)知，当 时， 时， ， 则 ,令 , 于是 , 所以 所以 .
(3)函数 , 由于 与 同号,则 只有一个零点 ,
令 ,由 ,则 有三个不同的零点等价于函数 有三个不同的零点,
由( 1 )知，当 时， 在 上单调递减，不合题意；
当 时，由( 1 )知， 的两极值点 满足 ，所以 ，得 ， 由 ,则 ,由 (2) 知,当 时, ,
则 ,即 ,
因此 ,
由零点存在性定理知, 在区间 上有唯一的一个零点 ,
显然 ,
而 ,则 ,于是当 时, 存在三个不同的零点 ,
所以 的取值范围是 .

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