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第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第2课时 勾股定理的应用
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
（重点）
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联
系，并进一步求出未知边长.（难点）
新课导入
教学目标
教学重点
新课导入
数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看下图，你们能帮他们将鱼缸装进电梯吗？
讲授新课
典例精讲
归纳总结
讲授新课
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
一、勾股定理的简单实际应用
这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
1m
A
B
D
C
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42 = 1.
∴OB= =1.
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.
OD = ≈1. 77,
BD=OD-OB≈l.77-1=0.77.
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5 m，而是外移约0.77 m.
例2 如图, 一架2. 6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2. 4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，
那么梯子底端B也外移0.5 m吗？
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
归纳总结
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解
1.一池塘的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为 ( )
A
B
C
A.5米 B.12米 C.10米 D.13米
13
12

A
练一练
2. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　)
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
B
C
A
B
3.如图，学校教学楼前有一块长为4米，宽为3米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
解：(1)在Rt△ ABC中，
根据勾股定理，得
∴这条“径路”的长为5米.
（2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步).
别踩我,我怕疼!
A
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
2
3
1
4
5
二、利用勾股定理求两点距离
例3 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.
y
O
x
3
B
C
解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.
∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
∴A,B两点间的距离为5.
方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
A
B
A'
A
B
B
A
O
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？
蚂蚁A→B的路线
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？
B
A
根据两点之间线段最短易知第三个路线最近.
三、求实际中的最短距离的应用
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3.
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
A'
A'
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得
归纳：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
例4 如图所示的长方体的高为8 cm，底面是长为10 cm，宽为6 cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点B.求：
(1)蚂蚁经过的最短路程；
(1)蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据“两点之间，
线段最短”去探求，而与顶点A，B相关的两个面展开共
有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁
爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程．
导引：
B
B1
8
A
B2
6
10
B3
AB12 =102 +（6+8）2 =296，
AB22= 82 +（10+6）2 =320，
AB32= 62 +（10+8）2 =360，
解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理，得
∴AB1＜AB2＜AB3.
∴小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为 .
当堂练习
当堂反馈
即学即用
1.如图，从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是
（　　）
A.24m B.12m C. m D. m
D
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　）
A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm
D
3. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C
的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A
爬到点B，需要爬行的最短距离是(　　)
A．5　　　 B．25　　　
C．10 ＋5　　　D．35
B
4.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.
10
5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
A
B
C
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
课堂小结
归纳总结
构建脉络
课堂小结
勾股定理
的应用
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决点的距离及路径最短问题
侵权必究
THANKS

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