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第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一
些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体
会数形结合的思想.（重点）
2.会用勾股定理进行简单的计算 .（难点）
新课导入
教学目标
教学重点
新课导入
其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.
据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).
很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.
讲授新课
典例精讲
归纳总结
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，
发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我
们也来观察右面的图案，
看看你能发现什么？
讲授新课
一、勾股定理的认识及证明
A
B
C
问题1 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？
以等腰三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为边长的大正方形的面积. 即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.
发现：
问题2　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
你还有其他办法求C的面积吗？
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
SA+SB=SC
A的 面积 B的 面积 C的
面积
左图
右图
4
13
25
9
16
9
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.
由上面的几个例子，我们猜想：
a
b
c
下面的动图形象的说明了命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的. 　　
弦
股
勾
图1
勾股定理的证法1：
a
b
b
c
a
b
c
a
让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
勾股定理的证法2：
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：
∵S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
a
a
b
b
c
c
∴ a2 + b2 = c2.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.（提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积）
勾股定理的证法3：
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
勾股定理：
a
b
c
归纳总结
分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
导引：
二、勾股定理的简单运用
C
A
B
(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得
(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，
解得b＝
解：
【变式题】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,BC=8.求CD的长.
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=100，
即 AB=10.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
B
C
6
8
归纳：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
当堂练习
当堂反馈
即学即用
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
当堂练习
2. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
C
3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，则b= .
(2)已知a=5，b=12，则c= .
(3)已知c=17，b=15，则a= .
8
13
8
4.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
5.求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理，得
81+ 144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理，得
y2+ 144=169，
解得 y=5
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴BD=AD=1，∴AB= ．
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AD=2，
∴CD= ， ∴BC=BD+CD=1+ ，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ．
7. 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________；
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径向三角形
外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是______ ；(用图中字母表示)
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
24
S1＋S2＝S3
(1)24　
(2)S1＋S2＝S3
(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆形 的面积为S3，三角形的面积为S△，
则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3 ＝S△＝ ×3×4＝6.
解：
本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形
面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给
图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易
联想到勾股定理．
以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，等腰直角三角形等，都具有相同的结论：S1+S2=S3 ,即两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．
总结：
课堂小结
归纳总结
构建脉络
课堂小结
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
侵权必究
THANKS

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