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20.1 勾股定理及其应用
第二十章 勾股定理
第3课时 利用勾股定理作图
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
学习目标
会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决
网格问题.（重点）
新课导入
教学目标
教学重点
新课导入
欣赏下面海螺的图片：
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，
如第七届国际数学教育大会的会徽.
这个图是怎样绘制出来的呢？
讲授新课
典例精讲
归纳总结
讲授新课
-1 0 1 2 3
问题1 你能在数轴上画出表示 的点吗？ 呢？
用同样的方法作 呢？
一、勾股定理与数轴
提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴 上画出表示 的点吗？
如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示 的点.容易知道，长为 的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.那么长为 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
的直角三角形的斜边长为 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 的点.
0
1
2
3
4
l
A
B
C
O
也可以使OA=2，AB=3，同样可以求出C点.
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
归纳总结
“数学海螺”
类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段.
1
1
类比迁移
例1 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边长为1和2，
∴斜边长为 ，
即－1到A的距离是 ，
∴点A所表示的数为 .
易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.
二、勾股定理与网格
画一画 在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB．
B
B
B
例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).
由勾股定理得
∴△ABC的周长为
归纳：勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
A
B
C
A′
B′
C′
例3 证明：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′,AC=A′C′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
根据勾股定理，
又AB=A′B′,AC=A′C′，
∴BC=B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SSS）
三、勾股定理与在几何问题中的应用
例4 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC
＝10. 求BC的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC于D.
∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝ AC＝5.
在Rt△ACD中，
AD
在Rt△ABD中，
BD
∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.
例5 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
D
A
B
C
E
F
解：在Rt△ABF中,由勾股定理，得 BF2=AF2－AB2=102－82=36，
∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.
设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ，
在Rt△ECF中,根据勾股定理
得 x2+ 42=(8－x)2，
解得 x=3.
即EC的长为3cm.
要用到方程思想
例6 如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．
解：如图，延长AD、BC交于E．
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠E=90°－60°=30°，
在Rt△ABE和Rt△CDE中，
∵AB=2，CD=1，
∴AE=2AB=2×2=4，CE=2CD=2×1=2，
由勾股定理得
E
D
C
B
A
补形法求面积
当堂练习
当堂反馈
即学即用
1. 如图，点C表示的数是(　　)
A．1 B. C．1.5 D.
D
当堂练习
2.如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　）
C
3.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(　　)
A．－4和－3之间
B．3和4之间
C．－5和－4之间
D．4和5之间
A
4. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为(　　)
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
B
5.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为 的线段________条．
8
6.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.
解：∵AB=AD=8cm，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∵∠ADC=150°,
∴∠CDB=150°－60°=90°，
∴△BCD是直角三角形.
又∵四边形的周长为32cm，
∴CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm).
设CD=xcm，则BC=(16-x)cm，
由勾股定理得82+x2=(16-x)2,
解得x=6. ∴S△BCD= ×6×8=24(cm2).
7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．
课堂小结
归纳总结
构建脉络
课堂小结
利用勾股定理
作图或计算
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理解决网格中的问题
利用勾股定理解决折叠问题及其他图形的计算
通常与网格求线段长或面积结合起来
通常用到方程思想
侵权必究
THANKS

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