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20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第二十章 勾股定理
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
学习目标
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.（重点）
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的
数学问题.（难点）
新课导入
问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理
的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗
回顾与思考
a2+b2=c2
(a,b为直角边，c为斜边)
Rt△ABC,∠C是直角
勾股定理
勾股定理的逆定理
a2+b2=c2
(a,b为较短边，c为最长边）
Rt△ABC，且∠C是直角.
思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理能解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？
讲授新课
典例精讲
归纳总结
讲授新课
一、勾股定理的逆定理的应用
1
2
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
E
P
Q
R
问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的
问题是什么？
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5=24
12×1.5=18
30
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？
实质是要求出两艘船航
向所成角.
勾股定理逆定理
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
解决实际问题的步骤： 构建几何模型(从整体到局部)； 标注有用信息,明确已知和所求； 应用数学知识求解.
归纳：
例2 一个零件的形状如图 所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 所示,这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图
图
在△BCD中，
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
图
例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
二、勾股定理及其逆定理的综合应用
解：连接AC.
A
D
B
C
3
4
13
12
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
归纳：四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.
【变式题】 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
解：连接BD.
在Rt△ABD中,
由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
∴BD=5m.
又∵ CD=12cm，BC=13cm,
∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD CD－ AB AD
= ×(5×12－3×4)=24 (cm2)．
C
B
A
D
（1）证明：∵CD=1，BC＝ 5 ，BD=2，
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形；
（2）解：设腰长AB=AC=x，
在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，
∴x2=(x-1)2+22，
解得
用到了方程的思想
例4 如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
当堂练习
当堂反馈
即学即用
当堂练习
1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.
东
医院
公园
超市
北
65°
2.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)，
又∵A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
∴A，B两组行进的方向成直角．
3.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，
∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又∵AC2＝92＝81，
∴AB2＋BC2≠AC2，
∴∠ABC≠90°，
∴该农民挖的不合格．
4.如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
∴ AC=5 cm.
又∵
∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
∴
D
C
B
A
5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里),
OB=12×1.5=18(海里)，
∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900，
∴OB2+OA2=AB2，
∴∠AOB=90°.
∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O(如图)沿北偏东40°的方向向目标A的前进，
∴∠BOD=50°，
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．
课堂小结
归纳总结
构建脉络
课堂小结
勾股定理及其逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆
定理来解决问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
侵权必究
THANKS

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