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2026新人教版八年级数学下册第一次月考检测试卷
（测试范围：二次根式 勾股定理，时间：100分钟，总分：120分）
一、单选题（共30分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ）
A． B．，
C． D．
3．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）化简的正确结果是（ ）
A．2 B． C． D．3
5．（3分）《九章算术》有个问题“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）

A． B．
C． D．
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为（ ）．
A．13 B．5 C． D．
8．（3分）下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定
9．（3分）如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（ ）
A．48 B．54 C．24 D．60
10．（3分）如图，的周长是40，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点 M，N，分别以M，N为圆心大于 长为半径画弧，两弧交于点 D，作射线；再以C为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点P，Q，分别以P，Q为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点 G，过点 G作于点F， 若， 则的长度分别是（ ）
A．15， 11 B．14， 12 C．14， 11 D．13， 12
二、填空题（共15分）
11．（3分）计算： ； ； ．
12．（3分）已知，则的值为 ．
13．（3分）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形围成，在中，，， ，若图中大正方形的面积为60，一个直角三角形的面积为10，则的值为 ．
14．（3分）对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ．
15．（3分）如图，点为线段上一点，且，分别以、为边，在的同一侧作等边和等边，连接，，，则的面积为 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算：
(1)
(2)
17．（9分）如图，在中，.
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知，求的周长.
18．（9分）计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
19．（9分）如图，中，，，．将沿折叠，使点恰好落在斜边的处．
(1)求的长：
(2)求的长．
20．（9分）如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，．
(1)小路的长为 m．
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？
21．（10分）阅读下列材料，然后回答问题．
；
；
．
(1)请你直接写出结果：______，______；
(2)根据你的猜想、归纳，运用规律计算．
22．（10分）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
(1)在中，已知，求的面积；
(2)计算（1）中的边上的高．
(3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积.
23．（11分）综合与实践
数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系．
【实践探究】
（1）如图1，和均为等腰直角三角形，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（2）如图2，和中，，，D为上的一点，连结并延长交的延长线于M，若，．
①求证：
②试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
答案解析
一、单选题（共30分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识点，根据二次根式有意义的条件可知，解不等式即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故选：B．
2．（3分）满足下列条件时，不是直角三角形的是（ ）
A． B．，
C． D．
【答案】D
【分析】主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180度，三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键．根据三角形内角和定理即可判断B、D；根据勾股定理的逆定理即可判断A、C．
【详解】解：A、设、、，
∵，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
B、∵，，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、设，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
D、设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，判断同类二次根式的关键是化简后是否含有相同的被开方数，需将各选项化简为最简二次根式，再比较被开方数是否与相同即可．
【详解】解：选项A：，化简后为，被开方数为2，与相同，属于同类二次根式；
选项B：，结果为整数，无二次根式部分，与不是同类二次根式；
选项C：已是最简二次根式，被开方数为6，与不是同类二次根式；
选项D：，化简后为，被开方数为3，与不是同类二次根式．
故选：A．
4．（3分）化简的正确结果是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】主要考查了二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘法运算法则．
利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
5．（3分）《九章算术》有个问题“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．
【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则，，
在中，，
即．
故选D．

6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则和二次根式的性质分别判断得出答案．
【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意；
B、与无法合并，故选项B计算错误，不符合题意；
C、，故选项C计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（3分）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为（ ）．
A．13 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】设斜边为，斜边上的高为，利用勾股定理可求出斜边的长，根据面积法即可得答案，
【详解】设斜边为，斜边上的高为，
∵直角三角形两直角边长分别为和，
∴ ，
∴此直角三角形的面积 ，
解得： ．
故选：C．
【点睛】考查了利用勾股定理求直角三角形的边长及利用面积法求直角三角形的高，解题的关键是熟练掌握面积法．
8．（3分）下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（ ）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定
【答案】A
【分析】考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短和三角形的三边关系，熟练掌握垂线段最短是解决的关键．
根据勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形的三边关系分析乙图，从而做出判断．
【详解】解：图甲中，∵，
∴三角形是直角三角形
再根据垂线段最短，可知，
∴图甲可验证；
图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得
∴
∴
无法验证；
故选：A．
9．（3分）如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（ ）
A．48 B．54 C．24 D．60
【答案】C
【分析】考查了勾股定理以及勾股定理逆定理、三角形面积公式，连接，由勾股定理得，由勾股定理逆定理得出为直角三角形，再根据这个图形的面积，计算即可．
【详解】解：如图，连接，
， ，，，
，
，，，
，
为直角三角形，
这个图形的面积，
故选：C．
10．（3分）如图，的周长是40，以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点 M，N，分别以M，N为圆心大于 长为半径画弧，两弧交于点 D，作射线；再以C为圆心，任意长为半径画弧，分别交边于点P，Q，分别以P，Q为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点 G，过点 G作于点F， 若， 则的长度分别是（ ）
A．15， 11 B．14， 12 C．14， 11 D．13， 12
【答案】A
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作，垂足分别为，连接，根据角平分线的性质，证明、、，则，得到，即可求得答案．
【详解】解：过点作，垂足分别为，连接，
由题意可知，分别是的角平分线，
∴平分，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
故选：A
二、填空题（共15分）
11．（3分）计算： ； ； ．
【答案】 3 7
【分析】主要考查二次根式的性质，运用二次根式的性质进行化简即可
【详解】解：；
；
．
故答案为：，，．
12．（3分）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】考查二次根式的定义，根据二次根式的被开方数大于等于0，确定的值，然后代入求，最后计算．
【详解】解：由二次根式的定义可得：，
解得：，
将代入可得：，
．
故答案为：．
13．（3分）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形围成，在中，，， ，若图中大正方形的面积为60，一个直角三角形的面积为10，则的值为 ．
【答案】20
【分析】主要考查了勾股定理，完全平方公式的应用，根据代入即可
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∴，
故答案为：20．
14．（3分）对于任意两个实数，，定义运算“”：若，则；若，则，其他运算符号的意义不变．按照上述定义，计算的值为 ．
【答案】
【分析】考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键．
先化简每个根式，比较大小以确定运算规则，再计算每个“”运算的结果，最后相减即可．
【详解】解：化简根式： ， ， ，
计算：由于，根据规则，
计算：由于，根据规则，
整体计算：
故答案为：．
15．（3分）如图，点为线段上一点，且，分别以、为边，在的同一侧作等边和等边，连接，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，三角形面积的计算等知识，由等边三角形的性质得出，，，由平角的定义得出，由三角形内角和定理得出，由含角的直角三角形的性质得出，即，由勾股定理得，又，则，即可得出结果，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16．（8分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】主要考查了乘方，负整数指数幂，二次根式的化简及乘法等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）原式利用乘方、二次根式的乘法、负整数指数幂的性质计算即可求出值；
（2）原式利用二次根式乘法法则计算即可求出值．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．（9分）如图，在中，.
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知，求的周长.
【答案】(1)尺规作图见解析
(2)9
【分析】主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及等腰三角形的判定与性质，尺规作线段的垂直平分线等知识，熟练掌握五种基本作图是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可；
（2）根据勾股定理可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，。再由得出。从而可得，再求解即可．
【详解】（1）如图，直线即为所求；
（2）中，，
，
是的垂直平分线，
，
。
。
，
，
的周长为
18．（9分）计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)当，时，原式；当，时，原式
(3)当时，原式；当时，原式
【分析】（1）先将二次根式进行化简，然后去括号计算加减即可；
（2）先将二次根式化简，然后分情况讨论即可；
（3）先将二次根式化简，然后分情况讨论即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
当，时，原式，
当，时，原式；
（3）原式
当时，原式，
当时，原式．
【点睛】考查了二次根式的化简和计算，注意对字母取值范围的讨论．
19．（9分）如图，中，，，．将沿折叠，使点恰好落在斜边的处．
(1)求的长：
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（1）直接根据勾股定理，即可解答；
（2）根据折叠的性质得出，设，则，，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴．
（2）解：∵沿折叠，使点恰好落在斜边的处，
∴，
设，
则，，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴．
20．（9分）如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，．
(1)小路的长为 m．
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？
【答案】(1)25
(2)当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s
【分析】（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出长度，最后结合运动速度，即可作答．
【详解】（1）解：
在中，
，
小路的长为.
故答案为：25.
（2）解：如图所示，过点作于点．
当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与淇淇的距离最近．
，，，，
，
是直角三角形，，
则，
，
，
．
．
故当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s．
【点睛】考查了勾股定理的应用，等面积法，解题的关键是正确掌握相关性质内容．
21．（10分）阅读下列材料，然后回答问题．
；
；
．
(1)请你直接写出结果：______，______；
(2)根据你的猜想、归纳，运用规律计算．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，正确理解题意得到计算的规律并应用规律解决问题是解题的关键．
（1）根据已知，将式子的分子分母都乘以两个数的差，再化简即可；
（2）应用规律将加法算式化简，合并同类二次根式，再根据平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；；
（2）
．
22．（10分）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
(1)在中，已知，求的面积；
(2)计算（1）中的边上的高．
(3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理．
（1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解；
（2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解．
（3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，勾股定理求得，利用海伦公式求得，进而根据即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
答：的面积是；
（2）解：设的边上的高为h，
，
，
答：边的高是．
（3）解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
在中，
∴周长的一半为
∴
∴四边形的面积为
23．（11分）综合与实践
数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系．
【实践探究】
（1）如图1，和均为等腰直角三角形，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（2）如图2，和中，，，D为上的一点，连结并延长交的延长线于M，若，．
①求证：
②试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），理由见解析；①证明见解析，②，理由见解析
【分析】考查了等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
（1）由等腰直角三角形的性质得出，，，从而推导，证明，最终得出结论；
（2）①根据已知条件需证出是等腰三角形后，即可得证结论；
②过点作于点，交于点，需证明，再利用等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：（1），
理由：和均为等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）①证明：，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②，
理由：过点作于点，交于点，
∴，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
．2026新人教版八年级数学下册第一次月考检测试卷
答题卡
A
C
B
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