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河北省唐山市2026年3月高三第一次模拟演练数学试卷
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟。
2026.03
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，使用0.5毫米黑色字迹签字笔，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.样本数据1,2,3,6,12,24的中位数为
A. 8 B. 6
C. 4.5 D. 3
2. z表示复数z的共轭复数,若z=3+4i,则
A. 2-4i B. 8-4i
C. 22-4i D. 28-4i
3.已知全集U 及其两个非空真子集M,N,则 u(M∪N)=
A. B. M∩N
C. (uM)∩(CvN) D. (uM)∪(CvN)
4.记 Sn为等差数列{an}的前n项和，若 则
A. 11 B. 9
C. 8 D. 5
5.某学校组织同学们假期参加社区服务活动，4名同学被分配到甲、乙两个社区，每个社区至少一名同学，则不同的分配方案有
A. 6种 B. 12种
C. 14种 D. 28种
6.若x为锐角，且 则x的取值范围是
A. B.
C. D.
7.等轴双曲线C的左、右焦点分别为 F ，F ，以F F 为直径的圆O与双曲线C交于M，N，P，Q四点.设四边形MNPQ的面积为S ，圆O的面积为S ，O为坐标原点，则
A. B.
C. D.
8.已知cosαcosβ=cosα-cosβ,M=cosα-cosβ,N=cosα+cosβ,则
A. M的最小值为 B. M的最大值为1
C. N 的最小值为0 D. N的最大值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知 为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的有
A. {an}是等比数列
C. 是递减数列 D. {an}中存在连续三项成等差数列
10.若函数y=g(x)与函数f(x)=xe 的图象关于y轴对称，则
A. f(x)与 g(x)有相同的零点 B. f(x)+g(x)为偶函数
C. f(x)与g(x)有相同的极值点 D. 对任意的x∈R,都有 f(x)+g(x)≥0
11. O为坐标原点，抛物线C: 的准线与x 轴的交点为M，直线l与x 轴交于点N,与抛物线C交于A,B两点,满足OA⊥OB,作OD⊥l于D,则
A. N 的横坐标是4 B. |NA|·|NB|≤|ON|
C. 直线 MD斜率的最大值为 D. 当直线 MA 与C相切时,|BN|=4|AN|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分.
12.已知f(x)=x|x-2|,若.f(x)=3,则x= .
13.已知点A(1,1),B(5,3),若将 绕点 A 逆时针旋转90°得到 ，则点C的坐标为 .
14.若一个棱长为2 的正四面体可以绕其中心在一个封闭的圆锥形容器(容器壁厚度忽略不计)内任意转动，则此圆锥体积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
如图,在三棱锥 P-ABC中,BC=PB=PC=2,BC⊥AP,D是BC的中点.
(1)证明：平面
(2)若AD=1,三棱锥 P—ABC的体积为 ，求直线 PC与平面 PAB所成角的正弦值.
16.(15分)
已知椭圆 C：（a＞b＞0）的离心率为 ，其左顶点为A，上顶点为B， 的面积是1，其中O是原点，平行于 AB的直线l与C交于M，N.
(1)求 C 的方程;
(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形 若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由。
17.(15分)
记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知
(1)证明:
(2)若 ，求 A.
18.(17分)
函数
(1)若 f(x)在(0,+∞)单调递减,求a的取值范围;
(2)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处有相同的切线,
(i)求 a 的值;
(ji)若 证明：
19.(17分)
某销售公司为了激励员工，对销售冠军——员工甲进行奖励，奖励方案为：在一个盲盒里，有n(足够多)张奖券，这些奖券的金额各不相等，其最大值为M，但金额具体是多少，并未公开.该员工甲需逐张随机抽取并查看金额，如果对抽取的奖券不满意就弃掉，继续抽奖(弃掉的奖券不能再抽取)，如果对这张奖券比较满意就保留，从而停止抽奖，公司将以此奖券金额作为奖励.
(1)若甲抽取了两张，把第2张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励M的概率；
(2)若甲先抽取了k(k∈N*，且k＜n)张奖券，记录下其中的最大金额为m，然后继续抽取，若抽到奖券的金额小于m，就继续抽，当抽到第i(i∈N*，k＜i≤n)张奖券时，其金额大于m，则保留该奖券，停止抽奖，若未抽到金额大于m的奖券，则保留第 n张.
(ⅰ)若n=5，当k=2时，求甲获得最大金额奖励M的概率p；
(ⅱ)当调整k的取值时，甲获得最大金额奖励M的概率p也会发生变化.
若n=100，请估计p的最大值，并求此时k的值.
(估值参考:当 n≥100时， 0.37ln0.37≈-0.3679.)
数学参考答案
一.选择题(单选)：
1~4. CBCA 5~8. CBBD
二.选择题(多选)：
9. AC 10. ABD 11. AD
三.填空题：
12.3 13.(-1,5) 14.8
四.解答题：(若有其他解法，请参照给分)
15.解:
(1)证明:由于 BC=PB=PC,D是BC的中点.
得BC⊥PD. 又BC⊥PA. 且PD∩PA=P, …… 2分
所以 BC⊥平面 APD,又BC 平面ABC,所以平面ABC⊥平面APD. …… 4分
(2)由(1)知BC⊥平面APD,于是 …… 5 分
即：
得:sin∠ADP=1,∠ADP=90°.
所以 PD⊥AD. ……6分
以D为原点，DA，DB，DP 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),P(0,0, ),
所以 8分
设平面 PAB 的法向量为m=(x,y,z),则
所以 取 10分
又 11 分
设 PC 与平面 PAB 所成的角为θ,则
…… 12分
所以 PC与平面PAB 所成角的正弦值为 …… 13分
16.解:
(1)由题意得得a=2b,椭圆 ……2分
所以A(-2b,0),B(0,b).……3分
因为△AOB 的面积是1，所以
则椭圆C的方程为： …… 5 分
(2)由题可设直线l的方程为x-2y+t=0,M(x ,y ),N(x ,y )
由 得 ……6分
则： ……7分
所以
又因为A(-2,0),B(0,1),
所以
……9 分
……11分
若四边形ABNM为等腰梯形，则
所以 或 ……13分
当 时,M(0,-1),N(2,0),所以|AB|=|MN|,
则四边形ABNM为平行四边形，不合题意；
当 时,M(-2,0),N(0,1),
则直线 AB 与直线MN 重合，不合题意；
综上所述，不存在这样的直线l使得以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形. 15分
17.解:
(1)证明:因为 cos2A+cos2B=2cos2C,
所以 , …… 3分
整理得 由正弦定理得： …… 6 分
(2)由(1)得 由余弦定理得： ……8分
因为 所以 ……10分
整理得 所以 ……12分
整理得 …… 14分
因为A∈(0,π),所以 ·……15分
18.解:
2分
由已知得:f'(x)≤0,即: 解得a≤2, 4分
所以当a≤2时,f(x)单调递减. 5分
解得a=2. 7分
(ii)证明:当a=2时,f(x)在(0,+∞)上单调递减,且 f(1)=0,
因为 ,所以当x∈(0,1)时,g(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,g(x)单调递增,且g(1)=0. 8分
当x ∈(1,+∞)时, 不符合题意，舍去； 9分
当 时， 所以 即 可得 符合题意； 10分
当 时， 符合题意； 11分
当 时，
12分
令
所以m(x)单调递增. 13分
因为m(1)=0,所以m(x)＜0,得
从而可得 ……14分
因为 所以 ……15分
因为x∈(1,+∞)时,g(x)单调递增 所以 故
综上， 17分
19.解:
(1)设抽到的第 j张奖券的金额为(a;,j=1,2.
设A:a =M,B:a ＜M,C:甲获得最大金额奖励M.
注意到 ……3分
则 …… 5分
(2)仍设C：甲获得最大金额奖励M，
若m=M,则P(C)=0,故只需考虑m＜M的情况. ……6分
设 Di:抽到的第i(i∈N*,k＜i≤n)张奖券金额为 M.…… 7分
只有当m是前i-1张奖券中的最大金额，甲才会保留第i张奖券，则
则 …… 10分
(i)若n=5,当k=2时, ……12分
( ii)由估值参考得 则 ……13 分
令 则
当x=e时,f'(x)=0.
当1＜x＜e时,f'(x)＞0,f(x)单调递增;当x＞e时,f'(x)＜0,f(x)单调递减,
因此，当x=e时，f(x)取得最大值 …… 15分
此时 不是整数 ……16分
又p(36)=-0.36ln0.36≈0.3678,p(37)=-0.37ln0.37≈0.3679,所以p的最大值约为0.3679,此时k=37. 17分

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