资源简介

２０２６ 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数　 学 ２０２６．３
注意事项：
１．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。
２．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。 写在本试卷上无效。
３．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 ８ 小题，每小题 ５ 分，共 ４０ 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
１． ｉ－ ＋ 的虚部是２ ｉ
Ａ． １ 　 　 　 　 　 　 Ｂ． － １ 　 　 　 　 　 　 Ｃ． ２ 　 　 　 　 　 　 Ｄ． － ２
５ ５ ５ ５
２． 已知集合 Ａ＝｛１，２，３，４｝，Ｂ＝｛ｙ ｜ ｙ＝ ｌｏｇ２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则 Ａ∩Ｂ＝
Ａ． ｛１，２｝ Ｂ． ｛２，４｝ Ｃ． ｛１，２，３｝ Ｄ． ｛１，２，４｝
３． 已知等差数列｛ａｎ｝的前 ｎ 项和为 Ｓｎ，若 ５ａ５ 和 Ｓ２ 的等差中项为 ６，则 Ｓ７ ＝
Ａ． ６ Ｂ． ９ Ｃ． １２ Ｄ． １５
４． 在△ＡＢＣ 中，“ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ－ｃｏｓ２Ｃ＝ １”是“△ＡＢＣ 为直角三角形”的
Ａ． 充分不必要条件 Ｂ． 必要不充分条件
Ｃ． 充要条件 Ｄ． 既不充分也不必要条件
５． ３ １对于事件 Ａ，Ｂ，Ｐ（Ａ）＝ ，Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ ，Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝ １，则 Ｐ（Ｂ）＝
５ ６
Ａ． ７ Ｂ． ３ Ｃ． １ Ｄ． ２
１０ ５ ２ ５
６． 已知锐角 α，β 满足 ｓｉｎ（α＋β）＝ ３ｓｉｎ（α－β），则 ｓｉｎ（α－β）的最大值是
Ａ． ３ １０ Ｂ． １ Ｃ． １０ Ｄ． １
１０ ２ １０ ３
７． １ ３函数 ｆ（ｘ）＝ ２ｘ３－ ｘ ＋ ，若对任意 ｘ∈［－２，２］，都有 ｆ（ｘ＋ａ）＋ ｆ（１－ｘ
２）＞２，则 ａ 的取值范
４ ＋１ ２
围是
Ａ． （ ４ ，＋ ） Ｂ． （５，＋ ） Ｃ． （－ ４ ， ） Ｄ． （－ ，５）
５ ５
数学试题 第　 １ 页（共 ４ 页）
２ ２
８． 已知双曲线 Ｃ：ｘ２ －
ｙ
２ ＝ １（ａ＞０，ｂ＞０）的左右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，经过 Ｆａ ｂ ２
的直线与 Ｃ 的右
１
支交于 Ａ，Ｂ 两点，且 ｜ＡＦ１ ｜ ＝ ｜ＡＢ ｜ ，ｃｏｓ∠ＢＡＦ１ ＝ ，则 Ｃ 的离心率是９
Ａ． ２１ Ｂ． １５ Ｃ． ３ Ｄ． ５
３ ３
二、选择题：本题共 ３ 小题，每小题 ６ 分，共 １８ 分。 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。 全部选对的得 ６ 分，部分选对的得部分分，有选错的得 ０ 分。
９． 下列说法正确的是
Ａ． 若样本数据 ｘ ２１，ｘ２，ｘ３，…，ｘｎ 的方差 ｓ ＝ ０，则所有的 ｘｉ（ ｉ＝ １，２，３，…，ｎ）都相等
Ｂ． 以模型 ｙ＝ａｅｂｘ＋ｃ（ａｂｃ＞０）去拟合一组数据时，令 ｚ＝ ｌｎ（ｙ－ｃ），求得线性回归方程为 ｚ^ ＝
１．３２ｘ＋４．１６，则 ａ＝ ４．１６，ｂ＝ １．３２
Ｃ． 在（１－ｘ） ４＋（１－ｘ） ５＋（１－ｘ） ６＋（１－ｘ） ７ 的展开式中，含 ｘ３ 项的系数是－６９
Ｄ． 某校高三年级男生的身高 Ｘ（单位：ｃｍ）近似服从 Ｎ（１７０，５２），随机选择一名该校高三
年级的男生，则 Ｐ（１７５＜Ｘ＜１８０）＝ ０．２７１８
（若 Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则 Ｐ（μ－σ≤Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７，Ｐ（μ－２σ≤Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５）
１０． 函数 ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎωｘ（ω＞０）的图象与函数 ｇ（ｘ）＝ ｃｏｓωｘ 的图象相邻的三个公共点为 Ａ（ｘ１，ｙ１），
Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｃ（ｘ３，ｙ３）（ｘ１＜ｘ２＜ｘ３），已知 ｈ（ｘ）＝ ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ），若△ＡＢＣ
２π
的面积为 ，则
３
Ａ． ｙ ２１ ＋ｙ ２２ ＝ １ Ｂ． ｆ（ｘ）＝ ｇ（ｘ－
π ）
６
ｘ
Ｃ． ｈ（ｘ ）＝ ２ Ｄ． ｈ（ ２
＋ｘ３
１ ）＝ ０２
１１． 已知函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ＋ｙ）＝ ｆ（ｘ）＋ ｆ（ｙ）－１，且当 ｘ＞０ 时，ｆ（ｘ）＞１，则
Ａ． ｆ（ｘ）＋ ｆ（－ｘ）＝ ２ Ｂ． ｆ（ｘ）＝ ｆ（－ｘ）
Ｃ． ｆ（ｌｎ １ ）＋ ｆ（ ２ ）＞２ Ｄ． ｆ（πｅ）＜ ｆ（ｅπ）
２
三、填空题：本题共 ３ 小题，每小题 ５ 分，共 １５ 分。
１２． 已知向量 ａ＝（１，２），ａ－２ｂ＝（－５，０），则向量 ａ 与 ｂ 的夹角正切值为　 　 　 　 ．
１３． 已知曲线 ｙ＝ｅｘ＋ｓｉｎ３ｘ 在点（０，１）处的切线为 ｌ，若直线 ｌ 与抛物线 ｙ２ ＝ ４ｘ＋ｍ 也相切，则
ｍ＝ 　 　 　 　 ．
１４． 已知圆柱 ＯＯ１，点 Ｐ 是上底面圆周上的一动点，点 Ａ，Ｂ，Ｃ 在下底面的圆周上，且满足
ＡＢ＝ ２，∠ＡＣＢ＝ ３０°，三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ 外接球的表面积为 ５２π，则三棱锥 Ｐ－ＡＢＣ 体积的最
大值为　 　 　 　 ．
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四、解答题：本题共 ５ 小题，共 ７７ 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１５． （１３ 分）
已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎｘ－ａｘ＋１．
（１）求 ｆ（ｘ）的单调区间；
（２）已知 ｆ（ｘ）在（０，ｅ）上有且仅有两个零点，求 ａ 的取值范围．
１６． （１５ 分）
如图，多面体 ＥＦ－ＡＢＣＤ 中，四边形 ＡＢＣＤ 为正方形，四边形 ＢＤＥＦ &
为矩形，ＢＦ＝ ２ＡＢ，Ｍ 为 ＡＥ 的中点． '
（１）求证：ＤＭ∥平面 ＣＥＦ； .
（２）当平面 ＡＢＣＤ⊥平面 ＢＤＥＦ 时，求直线 ＣＭ 与平面 ＣＥＦ 所成角的
正弦值． % $
" #
１７．（１５ 分）
某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有 ３ 局，每局获
胜可获对应奖金，奖金可累计．具体规则如下：
游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币
第 １ 局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得 １００ 元奖金；第 ２ 局，抛三枚，向上的图案
相同则获胜，得 ５００ 元奖金；第 ３ 局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得 ９００ 元奖金；
游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记 ０，２，６ 的骰子） ．
第 １ 局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得 ３００ 元奖金；第 ２ 局，抛三颗，向上的数字
相同则获胜，得 ６００ 元奖金；第 ３ 局，抛四颗，向上的数字是 ２，０，２，６（不计顺序）则获胜，得
９００ 元奖金．
（１）求游戏Ⅰ第 ２ 局获胜的概率；
（２）若销售部门的 ３ 位员工均选择游戏Ⅰ，设 Ｘ 为前两局均未获胜的人数，求 Ｘ 的分
布列和数学期望；
（３）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？ 请说明理由．
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１８．（１７ 分）
Ｃ：ｘ
２ ｙ２
已知椭圆 ２ ＋ ２ ＝ １（ａ＞ｂ＞０）的两个焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，点 Ｐ 是 Ｃ 上的一动点，当ａ ｂ
△ＰＦ１Ｆ２ 面积取到最大值 ４ ３时，∠ＰＦ１Ｆ２ ＝ ６０°．
（１）求 Ｃ 的方程；
（２）过点 Ｅ（３，０）的直线 ｌ 与 Ｃ 交于 Ａ，Ｂ 两点，点 Ａ 关于 ｘ 轴的对称点为 Ａ１（Ａ１ 与 Ｂ 不
重合） ．
（ｉ）求证：直线 Ａ１Ｂ 过定点；
（ｉｉ）求△ＥＡ１Ｂ 面积的最大值．
１９．（１７ 分）
ｆ（ｘ ）
对于可导函数 ｆ（ｘ），从初始值 ｘ０ 出发，定义序列｛ｘｎ｝：ｘｎ＋１ ＝ ｘｎ －
ｎ （ ｆ ′（ｘ ）≠０） ．
ｆ ′（ｘｎ）
ｎ
已知ｆ（ｘ）＝ ｘ２－３ｘ＋１，ｘ０ ＝ ２．
（１）设 ｘｎ＋１ ＝ｇ（ｘｎ），求函数 ｇ（ｘ）的解析式，并求 ｘ２ 的值；
＋ － ｘ －α
（２） ３ ５ ３ ５ ｎ记 α＝ ，β＝ ，并设 ａ ＝ ．
２ ２ ｎ ｘｎ－β
（ｉ）求证：ａ ２ｎ＋１ ＝ａｎ ；
（ｉｉ）是否存在正整数 ｍ，ｎ，ｐ（ｍ＜ｎ＜ｐ）使得 ａｍ，ａｎ，ａｐ 成等比数列，若不存在，说明理由．
若存在，求出所有满足条件的 ａｍ，ａｎ，ａｐ ．
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２０２６ 年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）
数学试题参考答案及评分标准 ２０２６．３
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要
考查内容参照评分标准酌情赋分．
二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可
视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如
果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，填空题不给中间分．
一、单项选择题：本题共 ８ 小题，每小题 ５ 分，共 ４０ 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
１． Ｄ　 ２． Ａ　 ３． Ｃ　 ４． Ａ　 ５． Ｃ　 ６． Ｄ　 ７． Ｂ　 ８． Ａ
二、选择题：本题共 ３ 小题，每小题 ６ 分，共 １８ 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 ６ 分，部分选对的得部分分，有选错的得 ０ 分．
９． ＡＣ　 １０． ＡＢＤ　 １１． ＡＣＤ
三、填空题：本题共 ３ 小题，每小题 ５ 分，共 １５ 分．
１２． １　 １３． ３ 　 １４．４＋２ ３
４
四、解答题：本题共 ５ 小题，共 ７７ 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
１５． （１３ 分）
解：（１）函数的定义域为（０，＋ ）， …………………………………………………… １ 分
－
ｆ ′（ｘ）＝ １ －ａ＝ １ ａｘ， ………………………………………………………………… ２ 分
ｘ ｘ
当 ａ≤０ 时， ｆ ′（ｘ）＞０，所以 ｆ（ｘ）在（０，＋ ）上单调递增． …………………………… ３ 分
当 ａ＞０ 时，由 ｆ ′（ｘ）＝ ０ ｘ＝ １得 ， …………………………………………………… ４ 分
ａ
当 ｘ∈（０， １ ）时 ｆ ′（ｘ）＞０， １当 ｘ∈（ ，＋ ）时 ｆ ′（ｘ）＜０，
ａ ａ
数学试题答案 第　 １ 页（共 ５ 页）
∴ ｆ（ｘ）在（０， １ ） １上单调递增，在（ ，＋ ）上单调递减， …………………………… ６ 分
ａ ａ
综上，当 ａ≤０ 时， ｆ（ｘ）的单调递增区间为（０，＋ ），
ａ＞０ ， ｆ（ｘ） （０， １当 时 的单调递增区间为 ）， ｆ（ｘ） １的单调递减区间为（ ，＋ ） ． … ７ 分
ａ ａ
（２）由（１）知，当 ａ≤０ 时不合题意，
ａ＞０ ， ｆ（ｘ） （０， １ ） ， （ １当 时 在 上单调递增 在 ，＋ ）上单调递减，
ａ ａ
故 ｆ（ｘ） １在 ｘ＝ 上时取得极大值，也是最大值，
ａ
１ １ １
最大值 ｆ（ ）＝ ｌｎ（ ）－ａ× ＋１＝ －ｌｎａ， …………………………………………… ８ 分
ａ ａ ａ
要满足 ｆ（ｘ）有且仅有两个零点，则－ｌｎａ＞０，得 ０＜ａ＜１， …………………………… １０ 分
１
当 ０＜ａ＜１ 时， ｆ（ ）＝ ｌｎ（ １ ）－ａ× １ ＋１＝ － ａ ＜０， ………………………………… １１ 分
ｅ ｅ ｅ ｅ
又由 ｆ（ｅ）＝ ｌｎｅ－ａｅ＋１＝ ２－ａｅ＜０， ａ＞ ２得 ， ………………………………………… １２ 分
ｅ
　 ２综上可知，所求 ａ 的取值范围为（ ，１） ． ………………………………………… １３ 分
ｅ
１６．（１５ 分）
（１）证明：连结 ＡＣ 交 ＢＤ 于点 Ｏ，连结 ＭＯ， [
则 ＭＯ∥ＣＥ， …………………………………………………… ２ 分 &
又 ＤＯ∥ＥＦ，ＭＯ∩ＤＯ＝Ｏ， '
∴ 平面 ＭＯＤ∥平面 ＣＥＦ， …………………………………… ４ 分 .
∵ ＤＭ 平面 ＭＯＤ，
∴ ＤＭ∥平面 ＣＥＦ． …………………………………………… ６ 分 %" 0 $ Z
（２）解：∵ 平面 ＡＢＣＤ⊥平面 ＢＤＥＦ，ＥＤ⊥ＤＢ， #Y
又平面 ＡＢＣＤ∩平面 ＢＤＥＦ＝ＢＤ，
∴ ＥＤ⊥平面 ＡＢＣＤ，
∴ ＥＤ⊥ＡＤ，ＥＤ⊥ＤＣ，
又 ＡＤ⊥ＤＣ，故以 Ｄ 为坐标原点，
以 ＤＡ，ＤＣ，ＤＥ 所在直线为 ｘ 轴，ｙ 轴，ｚ 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系， ………………………………………………… ８ 分
设 ＢＦ＝ ２ＡＢ＝ ４，
数学试题答案 第　 ２ 页（共 ５ 页）
则 Ｄ（０，０，０），Ｃ（０，２，０），Ｅ（０，０，４），Ｆ（２，２，４），Ｍ（１，０，２），……………………… ９ 分
∴ Ｃ→Ｍ＝（１，－２，２），Ｃ→Ｅ＝（０，－２，４），Ｃ→Ｆ＝（２，０，４）， ……………………………… １０ 分
设平面 ＣＥＦ 的一个法向量为 ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
→
{ｎ·ＣＥ＝ ０， －２ｙ＋４ｚ＝ ０，则 ｎ·Ｃ→ 即{Ｆ＝ ０， ２ｘ＋４ｚ＝ ０，
令 ｙ＝ ｚ，得 ｎ＝（－２，２，１） ． …………………………………………………………… １２ 分
记直线 ＣＭ 与平面 ＣＥＦ 所成的角为 θ，
→ － － ＋
∴ ｓｉｎθ＝ ｜ＣＭ·ｎ ｜ ＝ ｜ ２ ４ ２ ｜→ ＝
４ ，………………………………………………… １４ 分
｜ＣＭ ｜ ｜ｎ ｜ ９· ９ ９
因此直线 ＣＭ ４与平面 ＣＥＦ 所成角的正弦值为 ． ………………………………… １５ 分
９
１７． （１５ 分）
解：（１） ２ １由题知，游戏Ⅰ第 ２ 局获胜的概率 Ｐ＝ ３ ＝ ． …………………………… ２ 分２ ４
（２）Ｘ＝ ０，１，２，３， ……………………………………………………………………… ３ 分
游戏Ⅰ第 １ １ １局获胜的概率为 ，第 ２ 局获胜的概率为 ，
２ ４
第 １ 局和第 ２ １ ３ ３局均没获胜的概率为 × ＝ ， …………………………………… ４ 分
２ ４ ８
Ｘ～Ｂ（３， ３ ）， ………………………………………………………………………… ５ 分
８
２
∴ Ｐ（Ｘ＝ ０）＝ （１－ ３ ） ３ ＝ １２５，Ｐ（Ｘ＝ １）＝ Ｃ１３ （１－
３ ） × ３ ＝ ２２５，
８ ５１２ ８ ８ ５１２
Ｐ（Ｘ＝ ２）＝ Ｃ２ ３ ３ ２ １３５ ３ ３ ２７３（１－ ）×（ ） ＝ ，Ｐ（Ｘ＝ ３）＝ （ ） ＝ ， ……………………… ７ 分８ ８ ５１２ ８ ５１２
随机变量 Ｘ 的分布列为
Ｘ ０ １ ２ ３
１２５ ２２５ １３５ ２７
Ｐ ５１２ ５１２ ５１２ ５１２
　 　 ………………………………………………………………………………………… ８ 分
随机变量 Ｘ 的期望 Ｅ（Ｘ）＝ ０×１２５＋１×２２５＋２×１３５＋３× ２７ ＝ ５７６ ＝ ９ （ Ｅ（Ｘ）＝ ３× ３或 ＝
５１２ ５１２ ５１２ ５１２ ５１２ ８ ８
８ ） ． ………………………………………………………………………………………… ９ 分
９
（２）应该参加游戏Ⅱ，理由如下：
记 Ｙ１，Ｙ２ 分别为参加游戏Ⅰ、Ⅱ所获奖金总额，
数学试题答案 第　 ３ 页（共 ５ 页）
１ １ １
游戏Ⅰ第 １ 局获胜的概率为 ，第 ２ 局获胜的概率为 ，第 ３ 局获胜的概率为 ，
２ ４ ８
……………………………………………………………………………………… １０ 分
１
参加 Ｅ（Ｙ１）＝ １００× ＋５００×
１ ＋９００× １ ＝ ２８７．５， ………………………………… １１ 分
２ ４ ８
Ⅱ １ １ ， ２ １游戏 第 局获胜的概率为 第 局获胜的概率为 ， ……………………… １２ 分
３ ９
２
第 ３ 局获胜的概率为 Ｃ２×（ １４ ） ×Ｃ１×
１ １ ４
２ × ＝ ， ………………………………… １３ 分３ ３ ３ ２７
Ｅ（Ｙ２）＝ ３００×
１ ＋６００× １ ＋９００× ４ ＝ ３００，…………………………………………… １４ 分
３ ９ ２７
∵ Ｅ（Ｙ２）＞Ｅ（Ｙ１），
∴ 从奖金期望角度来看，应该选择参加游戏Ⅱ．…………………………………… １５ 分
１８． （１７ 分）
解：（１）易知当点 Ｐ 在椭圆 Ｃ 短轴端点处时△ＰＦ１Ｆ２ 面积取到最大值， ………… １ 分
设 Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ
１
２（ｃ，０），则△ＰＦ１Ｆ２ 面积的最大值为 ×２ｃ×ｂ＝ ｂｃ，２
∴ ｂｃ＝ ４ ３ ， …………………………………………………………………………… ２ 分
又△ＰＦ１Ｆ２ 面积取到最大值时∠ＰＦ１Ｆ２ ＝ ６０°，∴ ａ＝ ２ｃ， …………………………… ３ 分
　
又 ａ２ ＝ ｂ２＋ｃ２，解得，ａ＝ ４，ｂ＝ ２ ３ ，
ｘ２ ｙ２∴ 椭圆 Ｃ 方程为 ＋ ＝ １．…………………………………………………………… ４ 分
１６ １２
（２）（ｉ）设直线 ｌ 的方程为 ｘ＝ ｔｙ＋３（ ｔ≠０），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ａ１（ｘ１，－ｙ１），
ì ｘ＝ ｔｙ＋３
联立íｘ２ ｙ２ ，整理得（３ｔ２＋４）ｙ２＋１８ｔｙ－２１＝ ０， …………………………………… ５ 分
＋ ＝ １
１６ １２
ｙ１＋ｙ２ ＝ －
１８ｔ
２ ，ｙ ｙ
２１
３ｔ ＋４ １ ２
＝ － ，………………………………………………………… ７ 分
３ｔ２＋４
ｙ１＋ｙ
直线 Ａ ２１Ｂ 方程为 ｙ＋ｙ１ ＝ － （ｘ
－ｘ
ｘ ｘ １
），
２ １
ｘ ｙ ＋ｘ ｙ （ ｔｙ ＋３）ｙ ＋（ ｔｙ ＋３）ｙ ２ｔｙ ｙ
令 ｙ＝ ０，ｘ＝ １ ２ ２ １ ＝ １ ２ ２ １ ＝ １ ２＋３＝ １６＋ ， …………………… ９ 分ｙ１ ｙ２ ｙ１＋ｙ２ ｙ１＋ｙ２ ３
Ａ Ｂ Ｍ（１６直线 １ 过定点 ，０） ． ………………………………………………………… １０ 分３
（ｉｉ）Ｓ １ １△ＥＡ Ｂ ＝ ｜ Ｓ△ＥＡ Ｍ－Ｓ△ＥＢＭ ｜ ＝ × ｜ＥＭ ｜ × ｜ ｙ２－（－ｙ１） ｜ ＝ ×（
１６－３）× ｜ ｙ ＋ｙ
１ １ ２ ２ ３ ２ １
｜ ， … １２ 分
Ｓ ＝ ７ × ｜ １８ｔ ｜ ＝ ７ × １８ ｜ ｔ ｜△ＥＡ Ｂ ２ …………………………………………………… １４ 分１ ６ ３ｔ ＋４ ６ ３ ｜ ｔ ｜ ２＋４
数学试题答案 第　 ４ 页（共 ５ 页）
＝ ７ × １８ ≤ ７ × １８ ＝ ７ ３ ，当且仅当 ｔ＝ ±２ ３时取等号， …………………… １６ 分
６ ３ ｜ ｔ ｜ ＋ ４ ６ ４ ３ ４ ３
｜ ｔ ｜
∴ 当 ｔ＝ ±２ ３时，△ＥＡ１Ｂ
７ ３
的面积的最大值为 ． ………………………………… １７ 分
３ ４
１９． （１７ 分）
解：（１）∵ ｆ（ｘ）＝ ｘ２－３ｘ＋１，∴ ｆ ′（ｘ）＝ ２ｘ－３， ………………………………………… １ 分
ｘ ２ｎ －３ｘ ＋１ ｘ ２－１∴ ｘｎ＋１ ＝ ｘ
ｎ ｎ
ｎ－ ＝－ － ， ……………………………………………………… ２ 分２ｘｎ ３ ２ｘｎ ３
ｘ２∴ ｇ（ｘ）＝
－１
－ （ｘ≠
３ ） ． ……………………………………………………………… ３ 分
２ｘ ３ ２
ｘ ２０ －１ ｘ ２－１∵ ｘ０ ＝ ２，∴ ｘ ＝ ＝ ３，ｘ ＝
１
１ ＝
８
－ ． …………………………………………… ４ 分２ｘ０ ３
２ ２ｘ１－３ ３
ｘ ２ｎ －１
２ －ｘｎ －
α
１ ｘｎ＋１－α ２ｘｎ－３ ｘ ２ｎ －２αｘｎ＋３α－１（２）（ｉ）∵ ｘｎ＋１ ＝ ＝ ＝ ＝－ ，∴ ａｎ＋１ － ２ ２ ． ……………… ６ 分２ｘｎ ３ ｘｎ＋１ β ｘｎ －１ ｘｎ －２βｘｎ＋３β－１－β
２ｘｎ－３
＋ －
∵ α＝ ３ ５ ，β＝ ３ ５是方程 ｘ２－３ｘ＋１＝ ０ 的两个根， ……………………………… ７ 分
２ ２
∴ α２ ＝ ３α－１，β２ ＝ ３β－１， ……………………………………………………………… ９ 分
ｘ ２－２αｘ ＋α２ ｘ －α
∴ ａｎ＋１ ＝
ｎ ｎ ＝（ ｎ ） ２ ＝ａ ２２ ２ － ｎ ． ……………………………………………… １０ 分ｘｎ －２βｘｎ＋α ｘｎ β
（ｉｉ）∵ ａｎ＋１ ＝ａ ２ｎ ，∴ ｌｎａｎ＋１ ＝ ２ｌｎａｎ，…………………………………………………… １１ 分
ｘ
ａ ＝ １
－α
又 １ ＝
３－α＝ ３－ ５ ＝（３
－ ５ ） ２，
ｘ１－β ３－β ３＋ ５ ２
－
∴ ｌｎａ ３ ５１ ＝ ２ｌｎ ≠０， ……………………………………………………………… １２ 分２
－
∴ {ｌｎａｎ}是等比数列，∴ ｌｎａ ＝ ２ｎ
－１
ｎ ｌｎａ１，∴ ａｎ ＝（
３ ５ ） ２ｎ ． ………………………… １３ 分
２
∵ ｍ＜ｎ＜ｐ，∴ ａｍ＞ａｎ＞ａｐ ．
若 ａ ２ｍ，ａｎ，ａｐ 成等比数列，则 ａｎ ＝ａｍａｐ ．
３－ ５ ２ｎ＋１ ＝ ３－∴ （ ） （ ５ ） ２ｍ（３
－ ５ －） ２ｐ ＝（３ ５ ） ２ｍ＋２ｐ， ……………………………… １４ 分
２ ２ ２ ２
∴ ２ｎ＋１ ＝ ２ｍ＋２ｐ，∴ ２×２ｎ－ｍ ＝ １＋２ｐ－ｍ，∴ ２×２ｎ－ｍ－２ｐ－ｍ ＝ １．……………………………… １５ 分
∵ ｎ－ｍ≥１，ｐ－ｍ≥１，∴ ２×２ｎ－ｍ，２ｐ－ｍ均为偶数，而右边为奇数 １，
∴ 方程 ２×２ｎ－ｍ－２ｐ－ｍ ＝ １ 无整数解． ………………………………………………… １６ 分
综上可得：不存在正整数 ｍ，ｎ，ｐ（ｍ＜ｎ＜ｐ）使得 ａｍ，ａｎ，ａｐ 成等比数列． ………… １７ 分
数学试题答案 第　 ５ 页（共 ５ 页）

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