资源简介

(共34张PPT)
数学文化——
初中数学社团课
历史上,数学的发展有顺利也有曲折.大的曲折也可以叫做危机.危机也意味着挑战,危机的解决就意味着进步.所以,危机往往是数学发展的动力.数学发展史上共有三次数学危机.每一次都是数学的基本部分受到质疑.实际上,也恰恰是这三次危机引发了数学史上的三次思想解放,大大推动了数学科学的发展.
今天我们要学习了解历史上第一次数学危机是如何发生的，又是如何解决的。
课前话
目录
古希腊的数学
1.古希腊的数学
古代希腊的地理范围包括希腊半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚西部沿海地带.那里自然条件优越.农业、手工业和航海业很早得到发展.公元前8世纪以后，希腊逐渐形成奴隶制社会，经济和科学得到发展，出现了许多奴隶制城邦.这些城邦加强了希腊和海外各地的商业联系，并为接触和吸收周边的文化提供了方便.
从公元前6世纪起，逐步形成以雅典为中心的古希腊，出现了欧洲文化的第一个高峰，古希腊数学是其中的重要组成部分.古代希腊的第一个著名数学家是泰勒斯(Thales of Miletus,约公元前625-前547),他生于小亚细亚爱奥尼亚地区的滨海城市米利都.公元前6世纪上半叶，泰勒斯曾经去巴比伦和埃及进行商业活动，在那里学到了许多数学知识，他把这些数学知识带回希腊，在米利都创立了爱奥尼亚学派.继爱奥尼亚学派之后推动数学发展的主要是毕达哥拉斯学派.
古希腊的数学
2.毕达哥拉斯
毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家.
毕达哥拉斯出生于爱奥尼亚沿海的萨摩斯岛.相传毕达哥拉斯青年时代曾就学于泰勒斯.以后他到过亚洲和埃及旅行，特别是在埃及，他学到了很多数学知识.约公元前530年，他返回故里，并建立了自己的学派.
由于毕达哥拉斯坚持奴隶主贵族的立场和利益，与当时的“民主派”相悖，不久他被迫迁到意大利东海岸的克洛吞.公元前497年，他进行反对民主派的活动，因此被杀于米太旁登.
古希腊的数学
2.毕达哥拉斯
毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但以很大精力从事哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大的影响.
毕达哥拉斯本人并没有什么著作流传下来，我们对他的了解，都间接来自他之后的希腊学者的著述中关于毕达哥拉斯学派的介绍.
相传“哲学”(希腊原词意为“智力爱好”)和“数学”(希腊原词意为“可学到的知识”)这两个词正是毕达哥拉斯本人所创.可见毕达哥拉斯在数学和哲学这两门重要学科中的地位.
由于毕达哥拉斯学派的宗教性质，该学派内部有严格的纪律，把一切发现都归功于学派的领袖，所以我们现在分不清该学派的成就中哪些是毕达哥拉斯本人的贡献.
古希腊的数学
3.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献
那时人类从漫长岁月的经验中已经积攒了相当丰富的数学知识.大批游历埃及、美索不达米亚(两河流域)的古希腊商人、学者带回了从那里收集到的数学知识.在古代希腊城邦社会和奴隶主民主政治特有的维理主义氛围下，这些来自经验的算术、几何知识被加工为具有初步逻辑结构的论证数学的体系.
公元前6世纪之前，人们虽然已经懂得并在实践中运用了许多数学知识，但并没有人想到这些结论是需要证明的.最早开创“命题证明”先河的是泰勒斯，他也因此被誉为“世界上第一位数学家”.
同时，希腊数学著作的许多评论者把论证数学的成长归功于毕达哥拉斯学派.
（1）数学证明的起始
古希腊的数学
3.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献
毕达哥拉斯学派在这方面的贡献在于他们首先意识到，证明某个命题需要其他命题，证明“其他命题”则还需要别的命题，所以，总有某些最前面的命题是无法证明的，人们只能把它们当作“假设”预先承认.这样一些预先承认的“假设”被称为“公理”和"公设".据说毕达哥拉斯学派已经制定了一些公理和公设.这种想法和做法，把论证数学的体系大大推进了一步；同时也推出了许多过去不知道的命题。
欧几里得继承了这种“证明需要有假设”的思想和做法，并且在实践上撰写了十三卷的几何《原本》.许多人还推测，欧几里得几何《原本》前两卷的大部分材料来源于毕达哥拉斯学派.
（1）数学证明的起始
古希腊的数学
3.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献
毕达哥拉斯作为一个哲学家，善于对客观事物进行概括和抽象.
自远古以来，人类已经从长期的实践中对接触到的事物进行了数和形的概括.例如自然数的产生、对简单几何图形的认识就是这种概括的结果.但是，人类长期以来的概括和抽象不是自觉的，只是自然的.而自觉的数学抽象是数学思维中最根本、最基础的内容.
毕达哥拉斯学派就自觉地提出了数学抽象.他们认为，数学上的数和图形都是思维的抽象，它们与实际生活中的数与形已经有了本质上的不同.比如，数学上的1+2是实际生活中的一个果子加两个果子、一条鱼加两条鱼、一个人加两个人等的抽象；其中舍弃了果子、鱼、人等的具体所指，只考虑当中的数量关系再如几何图形是舍弃了物体诸如密度、颜色、材料、重量等性质，而只考虑该物体的空间形式.因此，从实物的数与形抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学.
（2）数学抽象的提出
古希腊的数学
3.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献
思考：实际生活中有圆或者长方形吗？
（2）数学抽象的提出
圆的形象
数学概念：圆
抽象出数学概念
长方形的形象
数学概念：长方形
抽象出数学概念
发现：
其实对于生活中的“直线”，只要拿放大镜放大无数倍，你会发现它一定是弯的而并非直的.
古希腊的数学
3.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献
该定理即“任意直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”.在我国叫“商高定理”或“勾股定理”,最早见于《周髀算经》中的记载.西方文献中此定理一直以毕达哥拉斯命名.
当发现无论什么样的直角三角形，其三条边的长度之间都有这种简明、统一的数量关系时，毕达哥拉斯学派是非常兴奋的.据传毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，曾宰牛祭神(有传说宰了一百头牛，所以也有人称这个定理为“百牛定理”).
（3）毕达哥拉斯定理
由于我们前面有一节课专门讲解了勾股定理的相关概念及数学文化知识，在此处我们就不在详细展开讲解。
1.“万物皆数”学说的要点
"万物皆数"学说认为世界上一切事物都可以归结为“数”,数是世界的法则，是宇宙间最基本的规律.毕达哥拉斯学派所说的“数”是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数
"万物皆数"是毕达哥拉斯学派的中心理念，但流传下来的有关原话，目前只有该学派的晚期成员费洛罗斯(Philolaus,约卒于公元前390年)的一段话，他说：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物.”
（1）数是世界的法则，一切都可以归结为整数比
1.“万物皆数”学说的要点
这是“万物皆数"学说的又一个要点.所谓任意两条线段a、d都是"可公度的”,意即它们一定有公共的度量单位t(如图所示).这就是说，对于任意两条线段a、d,总能找到第三条线段t,使得a、d的长度都是t的长度的整数倍.例如，a是t的m倍，d是t的n倍.那时毕达哥拉斯学派的成员直观地设想，只要把t的长度取得足够小，这件事就一定能够办到.
（2）任意两条线段a、d都是“可公度的”
2.“万物皆数”学说的实例
毕达哥拉斯学派对“形数”的研究，鲜明地表达了他们从几何图形中挖掘数量因素的愿望.这里所说的形数诸如三边形数、四边形数、五边形数、六边形数.三边形数为3,6,10,15等，四边形数为4,9,16,25等，五边形数为5,12,22,35等，六边形数为6,15,28,45等.
“形数”体现了毕达哥拉斯学派把数量元素与几何元素紧密结合的观点，是最早的“数形结合”思想.
（1）形数
毕达哥拉斯学派并不是仅仅从理论上谈论“万物皆数”,而是有大量的实例作为论据的.这里我们介绍毕达哥拉斯学派当时举出的两个实例.
1
4
9
16
25
...
1
5
12
22
35
...
1
6
15
28
45
...
1
3
6
10
15
...
2.“万物皆数”学说的实例
思考：同学们，你们能尽可能多的找出三边形数、四边形数、五边形数、
六边形数等“形数”的规律吗？
2.“万物皆数”学说的实例
毕达哥拉斯学派还用几何方法证明了关于“形数”的一些定理，例如，任两个相继的三边形数之和都是一个四边形数：3+6=9,6+10=16,10+15=25,等等.如图1,用几何方法证明了6+10=16.再例如，第n个五边形数等于第(n-1)个三边形数的三倍加上n.如图2,用几何方法证明了第四个五边形数35=(3×10)+5.
（1）形数
图1
图2
毕达哥拉斯学派相信，造物主是按照数学来创造世界的，各种现象都可以通过数学来理解.毕达哥拉斯学派的这种“数字神秘主义”外壳中，包含着合理的理性内核；他们的“万物皆数”学说加强了数学中的理论化倾向.
2.“万物皆数”学说的实例
"万物皆数"中所说的“数”,是指正整数以及它们的比.毕达哥拉斯学派还特别发现，小整数的比更加常见，在多个场合下出现.下面举音乐和几何两个场合中的例子.
①产生谐音的各个弦的长度成小整数比
毕达哥拉斯学派发现，弦的振动产生声音，越短的弦发出的音越高.毕达哥拉斯学派还发现，绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数比，就会发出谐音.当三根弦的长度之比为3:4:6时，就得到更加悦耳的谐音.
这里具有重大意义的并不仅仅在于毕达哥拉斯学派发现了音调的高、低与弦的短、长之间的关系；主要在于他们对这一事实的解释，该解释把音乐与整数联系在一起，成为对"万物皆数"理论的佐证.
（2）多个场合下的小整数比
2.“万物皆数”学说的实例
②同名正多边形覆盖平面的情形(即铺正多边形地砖的情形)
这里所谓同名正多边形，首先是指正多边形，其次是指名称相同的正多边形，如正六边形就都是正六边形，正八边形就都是正八边形.这里所谓覆盖平面，是指用一批同名正多边形把平面盖满，既没有遗漏又没有重叠，很像装修房间时铺正多边形地砖的情形，但只许使用同一种型号的正多边形地砖.
毕达哥拉斯学派从理论上证明了，同名正多边形覆盖平面，有且只有三种情况：用正三角形覆盖平面，用正方形覆盖平面，用正六边形覆盖平面.
（2）多个场合下的小整数比
2.“万物皆数”学说的实例
如图，环绕平面上一个点可以紧密地放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形.
（2）多个场合下的小整数比
这里，如果从同名正多边形的边数看，三边形、四边形、六边形成小整数比3:4:6;如果从同名正多边形的个数看，6个、4个、3个也成小整数比6:4:3.似乎有一种数字的神秘含于其中.
3.“万物皆数”学说的意义和影响
毕达哥拉斯学派根据类似的观察确信：整个宇宙的现象依附于某种正整数的相互关系，“宇宙的和谐在于数”,神是以数的规律创造世界的.
因此，毕达哥拉斯学派努力研究数学，企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的真理.据说，毕达哥拉斯学派把整个学习过程分成四大部分：数的绝对理论——算术；静止的数——几何；运动的数——天文；数的应用——音乐.这四门学科都被看成是数学学科，甚至一直到中世纪，它们仍然被包含在学校课程中，当时号称“四大科”,后来加上文法、逻辑、修辞，合称“七艺”.
公元1世纪的希腊数学家尼可马科斯说，算术是其他各科之母，这“不仅是因为我们说它在造物主心中先于其他一切而存在，被造物主作为一种普天下适用的至高方案来使用，以使他所创造的物质世界秩序井然并使之达到应有的目标；而且也因为它本来就是出生较早的……"
毕达哥拉斯学派的"万物皆数”理论在当时看起来相当完美，但是对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派成员自己的一个发现，用现在的语言就是：不能表成整数比.
1. 的发现与危机的产生
（1）一个不能表成整数比的数
边长为1的正方形，其对角线长度若记为c,则根据毕达哥拉斯定理，有c =1 +1 =2,推出c =2,如图，按照毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理论，c应该能表成整数比.但是毕达哥拉斯学派自己却证明了，当c =2时，c不能表成整数比.同学们，你们知道该如何证明吗？
反证法证明：当c =2时，c不能表成整数比
如若不然，有两个正整数m和n,使c=
(不妨设 是既约分数，即m与n互素：(m,n)=1)
c=
两端同时平方
c2=
2m =n
由2m =n 可知n 是偶数，由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，所以n是偶数.
因为 是既约分数，所以m不能再是偶数，于是m是奇数.
于是2m =n 的左端，因m是奇数而不能被4整除，但其右端却因n是偶数，故平方后可以被4整除.
从而c不能表示成两个整数比.
这个矛盾说明开始的假设c= 是错误的.
1. 的发现与危机的产生
（2）不可公度的线段
毕达哥拉斯学派“万物皆数”理论的另一个要点，是任意两条线段都是“可公度的".但是毕达哥拉斯学派的成员自己发现，这个命题也是错误的.证明如下.
设正方形的边长为a,对角线长为d,如图，根据毕达哥拉斯定理，有d =2a 如果存在第三条线段长为t,使得a和d都是t的整数倍，例如，a=mt,d=nt,这里m,n是整数.由d =2a ,把a、d代入得n t =2m t ,从而n =2m .至此，又可以类似于上一个证明导出矛盾.所以不可能"存在长度为t的线段，使得a和d都是t的整数倍"于是a与d就是不可公度线段.证毕.
2.危机产生，封锁消息
这样一来，毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理论从根本上受到了冲击，数学史上称之为“第一次数学危机”.一开始，只有毕达哥拉斯学派的成员知道这些问题，他们非常恐慌.毕达哥拉斯学派是宗教式的组织，他们极力掩盖事实，希望在内部化解危机.传说一位成员希帕苏斯(Hippasus,公元前470年左右)泄露了秘密，竟被抛进大海.
但纸是包不住火的，危机很快被大家所了解.人们致力于解决危机.不过这一危机不是局部的，而是全局的；不是表面的，而是本质的，并不那么容易解决.
1."两个量的比相等"的新定义部分地消除了危机
第一次数学危机冲击"万物皆数”理论的另一个要点，是“任意两条线段都是可公度的".而当时“两个量的比”及“两个量的比相等”都是依赖“任意两条线段都是可公度的”来定义的.一整套的“相似形”理论，又是在“两个量的比相等"的基础上建立起来的.这一危机，从根本上动摇了所有这些理论，事态非常严重，迫切需要解决.
两个量的比相等，约公元前370年，希腊数学家欧多克斯(约公元前408—前347)和阿契塔斯天才地给出了“两个量的比相等"的新定义，从而部分地消除了危机.
1."两个量的比相等"的新定义部分地消除了危机
这个关于"两个量的比相等"的新定义，巧妙地避开了"可公度"的概念；即使以现代的观点看，该定义也是正确的.远在公元前4世纪，他们就有如此的想象力，实在难能可贵.也体现了数学危机对数学发展的推动作用.这个新定义部分地消除了危机.之所以说“部分地"消除了危机，是因为“一切都可以归结为整数比”这一命题的错误仍然没有办法消除.
关于"两个量的比相等"的这种定义，也被欧几里得在几何《原本》中采用.所以当时几何的基础是正确的、严格的、稳固的，于是几何从全部数学中脱颖而出.从那时以后的近两千年里，几何变成了几乎是全部严密数学的基础，几何得到了长足的发展.
2.数系的扩张——危机的彻底解决
第一次数学危机的彻底解决，依赖于数系的扩张.直到人类认识了实数系，这次数学危机才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事情了.
（1）数轴
与该数学危机有联系的是，人类对数轴的认识也是有一个过程的.“数轴”这一词汇出现的可能较晚，但数轴思想的萌芽早就有了.只不过古代对数轴的认识与现代对数轴的认识不同.
2.数系的扩张——危机的彻底解决
（1）数轴
①古代观点：数轴对应于有理数集合
古代认为，数轴上的点与有理数集合是一一对应的.这是有理数集合的稠密性给人们造成的误解“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在数轴上每一个不管处于什么位置，也不论是多么小的区间(a,b)中，都存在着这个数集中的点.有理数集在数轴上是稠密的.形象地说，有理数集在数轴上是“密密麻麻，到处都有”的.有理数集的稠密性使人们觉得用有理数好像没有测量不出的量因此古希腊人曾设想它是与一条无限长的直线上的点相对应的、一个从小到大的量的连续排列的长河.这使当时的人们误以为有理数集的点填满了数轴.
②现代观点：数轴对应于实数集合
现代认为，数轴上的点与实数集合是一一对应的.这是因为实数集合不但有稠密性，而且有连续性.实数集在数轴上是连续的，形象地说，实数“一个挨着一个，针插不进，水泼不进".所以实数才能把数轴填满.实数的连续性是一个很好的性质.但是对“数集的连续性"的概念，给出严格的数学定义就不像“数集的稠密性"那么简单了.
如图所示，把有理数全部填到数轴上，数轴上仍然有空，√2就是一处空.其实这时数轴上的空很多，比不空的地方还多得多.这说明无理数比有理数多得多.
2.数系的扩张——危机的彻底解决
（2）数系的扩张
回过头来看数系的扩张，有以下三个过程
①自然数系；②有理数系；③实数系.
数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就彻底解决了.数的范围扩充以后，“万物皆数”的命题就是正确的了；不能表示成整数比的数，即无理数，也是实数系中的数了.
思考：第一次数学危机的实质是什么？
答：第一次数学危机的实质是“ 不是有理数，而是无理数；数系需要扩充”

展开更多......

收起↑