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数学文化——
初中数学社团课
a
b
c
a2+b2=c2
1．勾股定理和人类文明
勾股定理是初等几何中的一个基本定理，是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.但远在毕达哥拉斯出生之前，这一定理早已被人们利用.几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究．我国以前也叫毕达哥拉斯定理，20世纪50年代曾开展关于这个定理命名问题的讨论，最后确定叫勾股定理.
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
1．勾股定理和人类文明
3500年以前，巴比伦人就知道三边长为下列各组数的三角形为直角三角形：
60, 45, 75;
72, 65, 97;
90, 56, 106;
120,119,169;
360,319,481;
600,481,769;
960,799,1249;
3456,3367,4825;
4800,4601,6649;
2700,2291,3541;
6480,4961,8161;
2400,1679,2929;
2700,1771,3229;
13500,12709,18541.
然而，当时为什么列出这些三角形，至今还是个谜.
勾股数
勾股数
1．勾股定理和人类文明
在中国，相传4000多年前，大禹曾在治理洪水的过程中，利用勾股定理来测量两地的地势差．在3000多年以前，中国人已经知道用边长为3,4,5的直角三角形来进行测量．勾股定理的叙述最早见于《周髀算经》（成书不晚于公元前2世纪的西汉时期）．书中记载了一段商高（约公元前1120）答周公问，其中有“勾广三，股修四，经隅五”的话，意即直角三角形的两条直角边是3和4，则斜边是5．书中还记载了陈子（公元前716）答荣方问，
“若求邪至日者，以日下为勾，日
高为股，勾股各自乘，并而开方除
之，得邪至日”（古汉语中“邪”
作“斜”解），这一句话明确陈述
了勾股定理的内容．
1．勾股定理和人类文明
3世纪三国时期的赵爽在他的数学文献《勾股圆方图注》（《周髀算经》的注文）中运用弦图（如图），巧妙地证明了勾股定理．他把三角形涂成红色，其面积叫“朱实”，中间正方形涂成黄色叫做“黄实”，也叫“差实”.他写道：“按弦图，又可以勾股图相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”
a
b
c
朱实
朱实
朱实
朱实
黄实
a
a
b
c
朱实
朱实
朱实
朱实
黄实
2．勾股定理在数学发展史上的地位
勾股定理是欧氏平面几何的一个核心命题，是三角学产生的出发点.开普勒（J.Kepler，1571-1630）称几何学有两个宝藏：
勾 股 定 理
黄 金 分 割
中国著名数学家华罗庚曾建议，用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言.就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三条边之间的关系，体现了“形数统一”的思想方法，具有科学创新的重大意义.勾股定理启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何学、三角学的建立，使几何学和代数学两大门类结合起来，为数学进一步的发展拓宽了道路.
1．毕达哥拉斯
有一个人的名字在多个世界最著名数学家排行榜上都列在榜首，他就是毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯（约前580-约前500），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.
当听到毕达哥拉斯这个名字时，大多数人的脑海里立刻闪现出来的就是毕达哥拉斯定理。当我们被要求回忆算术以外的数学教学内容时，通常想到的就是 。
如今关于毕达哥拉斯的生平，很可能没有任何准确的描述。不过，毕达哥拉斯的第一部传记是在他去世大约800年后由杨布里科斯（Iamblichus）撰写的，他是毕达哥拉斯的众多狂热追随者之一，试图为毕达哥拉斯树碑立传。
1．毕达哥拉斯
尽管毕达哥拉斯在历史长河中还曾被柏拉图、亚里士多德、欧多克索斯、希罗多德、恩培多克勒等多次提及，但我们仍然没有关于他的非常可靠的信息。他的一些同时代的追随者实际上相信他是半神半人，是太阳神阿波罗的儿子。有人说他甚至创造过一些奇迹。虽然他被一些人称为最伟大的数学家和哲学家，但他并非没有试图抨击他的批评者。他们说，毕达哥拉斯仅仅是一个宗派-毕达哥拉斯学派的创始人和领袖。而来自这个宗派的许多科学成果都是由该宗派的成员撰写并献给其领袖的，因此这些成果并不是毕达哥拉斯本人的工作。这就与颂扬他的其他人唱起了反调。批评者认为他是一个事实的收集者，而对相关概念没有更深的理解，并由此认为他没有真正对人们深刻理解数学做出贡献。
“神秘”的生平
1．毕达哥拉斯
类似的批评也针对像柏拉图、亚里士多德和欧几里得这样的泰斗。在回忆这些历史片段时，自始至终会遇到这种情况。
毕达哥拉斯在公元前575年出生于萨摩斯岛（位于小亚细亚海岸的西部）。他最初的、可能也是最有影响力的老师是费雷克斯。费雷克斯是一位神学家，教授毕达哥拉斯宗教、神秘主义以及数学。年轻时，毕达哥拉斯游历了腓尼基、埃及和美索不达米亚。在那些地方，他的数学知识得以精进。他致力于寻求其他各种各样的兴趣，如哲学、宗教和神秘主义。一些传记作家认为，毕达哥拉斯在十八九岁的时候第一次去了靠近萨摩斯的小亚细亚小镇米利都。他在著名的哲学家和数学家泰利斯的指导下继续进行他的数学研究。他很可能还听过另一位米利都哲学家阿那克西曼德的讲座，后者在几何学方面给了毕达哥拉斯进一步的启发。
2．毕达哥拉斯学派
当他在38岁回到萨摩斯时，暴君波利克拉底（Polycrates）已经上台了。波利克拉底自公元前538年到前522年统治萨摩斯。我们不确定这是否促使毕达哥拉斯离开了萨摩斯，因为他在大约公元前530年搬到了克罗顿（今意大利南部的克罗托内）。
在克罗顿，毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，其主要兴趣是研究宗教、数学、天文学和音乐（或声学）。这个团体的成员曾被称为毕达哥拉斯的信奉者。这些信奉者的目标是用数来揭示世界的本质。具体地说，他们坚信自然界和宇宙的所有方面都可以用自然数和自然数之比来描述和表达。不过，当他们发现这个团体的标志-五角形与他们的核心数学原理相抵触时，这一信念受挫了。
2．毕达哥拉斯学派
勾股定理的应用自然导致开平方的问题，这就必然涉及无理数的问题.历史上首先发现无理数的是毕达哥拉斯学派中杰出的代表人物、著名数学家希帕苏斯（Hippasus，约公元前470年）．他发现边长为1的正方形，其对角线长度并不是有理数．这令一向认为“万物皆数（有理数）”的毕达哥拉斯学派不能接受，毕达哥拉斯学派无法承受自己的理论将被推翻，希帕苏斯最终为宣传科学而献出了宝贵的生命.希帕苏斯的发现对当时所有古希腊人的观念是一个极大的冲击，直接导致了历史上的“第一次数学危机”，促进了从有理数到实数的数系扩充，促进了数学的发展.
2．毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派还坚持思考宇宙和自然界的许多其他方面。声学就是其中之一。为了发现声学理论与自然数之间的联系，他们研究了弦的振动。他们发现如果两根弦的长度可以表示为两个小自然数之比，比如1：2、2：3、3：4、3：5等，那么这两根弦发出的声音就是和谐的。由于毕达哥拉斯学派在他们的许多分析中都发现了这样的证据，所以他们坚信整个宇宙必定因自然数之间的这种简单关系而井然有序。因此，当希帕索斯不仅推翻了他们的核心信仰，还将这些信息与他人共享时，就出现了他被驱逐出社团这样看似严厉的惩罚。
2．毕达哥拉斯学派
这个社团的另一个核心哲学观点是，他们相信宗教与数学之间有着很强的联系。毕达哥拉斯学派相信太阳、月亮、行星和其他恒星都具有神性，因此这些天体只能沿着圆形轨道运行。不仅如此，毕达哥拉斯的追随者还认为，这些天体的运动会产生不同频率的声音，这是因为它们的速度不同，而速度又取决于每一个特定天体的半径。据他们说，这些声音会产生一个和声音阶，他们称之为“天球的和声”。不过，他们认为人们实际上听不到这种声音，因为人们从出生起就一直被这种声音围绕着。伟大的德国科学家约翰尼斯·开普勒有时也被描述为属于晚期毕达哥拉斯学派，因为他相信行星的轨道直径可以用内切于和外接于柏拉图多面体来解释。
勾股定理的证明
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣．不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，一直有大量的数学工作者与爱好者在研究勾股定理的证明方法，勾股定理的证明方法也越来越多，下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
图1
1．赵爽弦图
如图1边长为a与b的两个正方形连在一起，面积为a2+b2；
图2
移动两个三角形变化到图2的位置，形成一个以c为边长的正方形，此时面积为c2.由面积相等可得a2+b2=c2.
另一方面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形（红色）和另一个正方形（黄色）;
2．传说中毕达哥拉斯的证法
如图1 正方形面积为=a2+b2+2ab
图1
图2
如图1 我们将图中的这个正方形分割成4个直角三角形和2个较小的正方形。
2．传说中毕达哥拉斯的证法
如图1 正方形面积为=a2+b2+2ab
图1
图2
如图2 正方形面积为=c2+2ab
∴a2+b2=c2
3．加菲尔德的证法
A
B
C
D
E
如图，△ABC≌△EAD，并且图中的三个三角形都是直角三角形。
根据梯形的面积公式，我们有：
S四边形ABCD=(a+b)(a+b)÷2=
另一边方面，梯形的面积由三个三角形面积相加：
S四边形ABCD=S△ABC+S△ABES+S△ADE
3．加菲尔德的证法
A
B
C
D
E
两个表达面积的公式相等，于是
观察毕达哥拉斯的证法与加菲尔德的证法，你有什么发现吗？
思 考
勾股定理的趣话
勾股定理是数学中应用最广泛的定理之一.除了最直接的应用，从勾股定理出发，还逐渐发展了开平方、开立方，以及用勾股定理求圆周率等.其中，勾股定理的逆定理很早就被古代劳动人民所使用了，据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上，还在用它来放线，即放“成直角”的线.
勾股定理的趣话
很久以来，人们对这个定理推崇的形式也是多种多样.
1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成．这张邮票是纪念毕达哥拉斯学派的成立以及在文化上的贡献.邮票上的图案就是欧几里得用来证明勾股定理的“风车”图形，记载在欧几里得的《几何原本》里.
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是“世界上十个最重要的数学公式”，其中之一也是勾股定理.用发行邮票的方式来纪念勾股定理，足以说明勾股定理对数学发展的重要性.
勾股定理的趣话
2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽就选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，可以说是充分肯定了我国古代的数学成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化．我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权，也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定.
1.同学们你们还知道其他证明勾股定理的方法吗？
2.同学们你们还知道其他关于勾股定理的趣话吗？

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