资源简介

(共19张PPT)
数学文化——
初中数学社团课
欧拉与“哥尼斯堡七桥问题”
1.数学家欧拉
2.哥尼斯堡七桥问题
3.一笔画问题
4.一笔画游戏
目
录
1.数学家欧拉
莱昂哈德·欧拉（1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。欧拉出生于牧师家庭，他的父亲是基督教加尔文教派的牧师，曾听过雅各布·伯努利的课。欧拉自幼受到父亲的影响，13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。
欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。
莱昂哈德·欧拉
2.哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡
哥尼斯堡由条顿骑士团北方十字军于1255年建立，先后被条顿骑士团国、普鲁士公国和东普鲁士定为首都或首府。哥尼斯堡是一座历史名城，曾是德国文化中心之一，伊曼努尔·康德、E·T·A·霍夫曼和达维德·希耳伯特都曾在此居住过。
这城后被苏联占领，现被改称为加里宁格勒（Kaliningrad）.
七桥问题
18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如概述图）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。这就是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
欧拉的德国朋友哥德巴赫知道欧拉是个很聪明的人，并且喜欢思考问题，1735年就告诉他这个“哥尼斯堡七桥问题”，要他想法子解决。
当下，无法实地考察，同学们可以现在“纸上漫步”，看看能不能走出一个法子来。如果想不通，那么就继续认真听课，看看欧拉是如何解决这个问题的。
3.一笔画问题
欧拉并没有到哥尼斯堡去走走，如果每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，这么多情况要一一实验，这将会是很大的工作量。
思考：5040种走法是怎么计算出来的？
1736年，在经过一年之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，他把这个问题化成了这样的问题来看：把两岸和小岛缩成一点，桥化为边，两个顶点有边连结，这样欧拉就得到了一个图。
欧拉思考这个图能否一笔画成，如果能够的话，对应的“七桥问题”也就解决了。欧拉解决难题的关键是——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新分支——图论。
从具体到抽象的问题转化过程
欧拉研究发现：如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点，其他图上的点是“过路点”——我们要经过它。
“过路点”会有什么性质，它是“能上能下，有进有出”的点，有一条边进这个点，那么就要有一条边出去，不可能是有进无出，否则它就会变成终点，也不可能有出无进，否则它就会变成起点。
当“过路点”进出的边总数是偶数时，既“过路点”是偶点。
当“过路点”进出的边总数是奇数时，既“过路点”是奇点。
偶 点
奇 点
如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的类型，因此也是偶点，这样图上全体的点是偶点。
如果起点和终点不一样，那么它们就必须是奇点了，这样图中最多只能有两个奇点。
因此欧拉得出要使得一个图形可以一笔画，必须满足下列两个条件：
1.图形必须是连通的；
2.图中的“奇点”个数是0或2.
现在请同学们根据欧拉的判定法则来判定一下七桥问题的图能否一笔画成。
答：所有的点都是奇点，共有4个，故这个图肯定不能一笔画成。
4.一笔画游戏
1.画图时可以把任一偶点作为起点，最后一个能以这个点为终点画完此图。
A→D→B→E→C→A
2.凡是只有两个奇点的联通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
B→A→E→D→A→F
→D→C→F→B→C
事实上，中国民间很早就流传这种一笔画的游戏。

展开更多......

收起↑