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黄 金 分 割
数学文化
初中数学社团课
目录
CONTENTS
1.黄金分割
2.黄金矩形
3.黄金分割、黄金比之美
4.华罗庚的优选法
5.结束语
黄 金 分 割
第 一 部 分
1.黄金分割的定义
定义：如图，把任一线段分割成两段，使 .
这样分割叫黄金分割，这样的比值也叫黄金比.
小段
大段
2.求黄金比
设此黄金比为x，我们设全段长为1，则大段长为x，小段长为1-x.
小段
大段
x
1-x
故有 .
整理得.
2.求黄金比
这是一个一元二次方程，同学们还没有学如何解一元二次方程，这里我们不妨直接看答案。
解得，其中正根为
通过计算，我们得到0.618就是此黄金比.
3.黄金分割的尺规作图
（1）作一个直角三角形，使得B=90，AB=2BC;
A
B
C
a
2a
（2）设BC=a,则AB=2a，AC=a;
（3）以点C为圆心，BC长为半径画弧，
交AC于点D;
（4）以点A为圆心，AD长为半径画弧，
交AB于点E;
D
E
a
此时=
黄 金 矩 形
第 二 部 分
1.黄金矩形的定义
定义：如图，一个矩形，如果从中间裁去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形一样，则称该矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述方法无限分割下去。
x
y
y-x
2.黄金矩形的黄金比
黄金矩形的宽与长之比，就是黄金比
同学们你们能求出黄金矩形的黄金比吗？
计算过程与求黄金分割的黄金比一样，需要解一元二次方程，这里我们不再重复。
值得一提的是，这里的黄金比与黄金分割的黄金比是一样，约为0.618.
黄金分割、黄金比的美
第 三 部 分
黄金分割、黄金比的美
黄金分割之所以称为“黄金”分割，黄金比之所以称为“黄金”比，是比喻这一“分割”和这种“比”在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一。认为它表现了恰到好处的“和谐”。
同学们，下面我们来看一些例子：
人体是美的，这是因为人体的许多部分存在黄金分割。在曾经高考数学考过一道关于人体黄金分割的题目。
1.人体各部分的比
除了肚脐分割头和脚，
还有印堂穴分割口和头顶，
肘关节分割肩和中指尖，
等等都是黄金分割
2.著名建筑物各部分的比
如埃及的胡夫金字塔
塔高137m与底边长227m之比为0.628
2.著名建筑物各部分的比
古希腊的巴特农神殿
其大理石柱廊的高度占整个神殿高度的0.618
2.著名建筑物各部分的比
法国的巴黎圣母院
正面高度和宽度之比接近0.618，立柱和装饰带将里面又分成了9块小的黄金矩形。
2.著名建筑物各部分的比
埃菲尔铁塔
第二层到塔顶的高度和整个塔身的高度之比约为0.618
3.风景照片中地平线位置的安排
风景照片中地平线的位置，并不是安排在中间最好；往往是安排在黄金分割的位置最美观。当然也有上、下两种安排，都可以构成黄金分割，同学们下来后可以用收集拍照试试。
4.其他
正五角星中的黄金比
据数学史专家考证，古希腊的数学家，最早就是从正五角星中的线段比发现了黄金比。
舞台报幕者的最佳站位，在整个舞台宽度的0.618处最美。
小说、戏剧的高潮出现，在整个作品的0.618处较好。
华罗庚的优选法
第 四 部 分
1.华罗庚的优选法
20世纪60年代，华罗庚先生创造并证明了优选法，还用很大的精力去推广优选法。
“优选法”，即对某类单因素问题，用最少的实验次数找到“最佳试验点”的方法。例如炼钢时要掺入某种化学元素加大钢的强度，掺入多少合适？假定知道要掺入的数量大约应在1000g～2000g之间，现求最佳加入量，误差不得超过1g.
同学们，如果是你们，你们会怎么办呢？
1.华罗庚的优选法
最“笨”的一种方法是分别加入1001g，1002g，…，2000g，做1000次实验，就能发现最佳方案。
此外，大家常用的是“二分法”.即取1000g和2000g的中点1500g.再取进一步的中点1250g和1750g，分别做两次实验，如果1750g处效果差，就去掉1750g到2000g的一段，如果1250g处的效果差，就删去1000g到1250g的一段.再在剩下的一段中再取中点做实验，比较效果，决定下一次的取舍.
同学们觉得“二分法”和上一种方法比如何？
1.华罗庚的优选法
看上去这似乎是最好的方法.但华罗庚先生证明了，每次取中点的实验方法并不是最好的方法；每次取0.618处去做试验的方法，才是最好的，称为“优选法”或“0.618法”，这可以用较少的试验次数，较快地逼近最佳方案.
2.黄金分割点的再生性和“折纸法”
华罗庚先生的优选法如何运用呢？这就要讲到“黄金分割点的再生性”.
为了更直观，我们利用“折纸法”来讲解.先准备一张纸条AB.
先取这纸条的0.618处画一条线标记为点C，此时点C是AB的黄金分割点，再将纸条对折得到C’点，此时C’点就是AC的黄金分割点.
A
B
C
C’
利用这个方法可以一直“再生”黄金分割点。
结 束 语
第 五 部 分
黄金比与斐波那契数列
上节课我们在斐波那契数列的最后提到斐波那契数列与黄金比之间有着密切的联系。
这一列分数，交替地大于或小于黄金比，且这个差值随着数列地增加越来越下，趋近于0.
当这列分数越往后到达极限时，这个比值恰好是黄金比.
花样数学
本节课的内容到此结束，同学们可以在课下多观察生活中的“黄金比”，你会发现美的东西往往跟有用的东西是有联系的。

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