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数学史——
初中数学社团课
同学们，你们知道图片的上的地方是哪里吗？
古埃及人是如何在没有现代工具的情况下，建造出如此宏伟的建筑？
目录
当人们学会把数记录下来后，便开始认真研究数学了。而要说研究数学，没有哪个地方能比得上古埃及。
首先，古埃及文明位于沙漠之中，它的农业完全依赖于泛滥的尼罗河水退去后留下的肥沃黑土层。而尼罗河每年泛滥的情况都不一样，为了让所有人都不挨饿、每个人都能缴清国家的赋税，古埃及人每年都要重新测量和划分土地。
其次，古埃及人需要通过数学计算来建造金字塔。他们总不能随随便便地安葬自己的统治者法老，总要有一座金字塔才说得过去。因此可以说没有了数学，古埃及人不仅活不下去，甚至法老都没法体面地离开这个世界。
因此，早在公元前2000 多年，埃及就有了专门的书吏阶层。这些人既不从事体力劳动也不纳税，但只有他们才能算出，供应一支军队需要多少粮草，建造一堵墙需要多少石头。
透特：古埃及的智慧之神，也掌管数学和医药等。
书吏的职位是非常非常光荣的。据说是神亲手将数学知识授予了这些“科学祭司”，而这位神可是个人身鹭首的生物！
古埃及的书吏把知识记录在用纸莎草做成的莎草纸上。遗憾的是，这种材料不能长时间保存，所以只有很少一部分文本保留到了今天。但是，只靠这些文献就可以判断出古埃及人的数学知识是多么丰富了。
莫斯科的普希金造型艺术博物馆里保存着一份最古老的古埃及数学手稿。这份手稿已经有：4000年的历史，被称为“莫斯科纸草书”。那些去伦敦或纽约的人还能看到“阿姆士纸草书(莱茵德纸草书)”。它比莫斯科纸草书年轻一点儿，大约有3600年的历史。不过，阿姆士纸草书上记录的数学知识要多一些：一共有84条，足够两个博物馆来收藏了。这份文献是以抄写它的书吏的名字来命名的。
除了“1、2、3……”这类常用的整数，古埃及人还发明了分数
等。不过他们使用的都是分子为1的分数。
阿姆士纸草书是目前了解古埃及数学的主要资料来源，在阿姆士纸草书中有这样一道题目：“如何把7块饼平分给8个人？”
同学们，如果是你们，你们会怎么做？
乍看之下这两个答案没有什么本质的区别，但事实上却并非如此。按照现代人的逻辑，应该先从每块饼中切下 ，然后把这7块不完整的饼分给其中7个人，最后再把切下来的7块饼全都分给第8个人。
但按照古埃及人的算式，分饼的方法就完全不同了。把其中4块饼对半切，然后把剩下3块饼中的2块切成4等份，1块切成8等份。
这样一来，每个饿肚子的古埃及人都能分到相等的食物。
和自己的叔叔赛特大战了一场。在激烈的搏斗中，赛特找机会挖出荷鲁斯的一只眼睛，把它撕成碎片撒在整个古埃及的大地上。然而，其他神灵决定帮助荷鲁斯，于是就把眼睛的碎片收集了起来。从那以后，人们就开始用破碎的“荷鲁斯之眼”的不同部分来表示分数：从 到 。完整的“荷鲁斯之眼”表示的是 ，因为有一块小小的碎片众神最终也没能找到。
在记录分数时，古埃及人采用的是像“荷鲁斯之眼”一样的象形文字。根据神话传说，荷鲁斯是一位人身鹰首的神，他为了给父亲奥西里斯报仇，
古埃及人还设计了一种求“阿哈”的题。“阿哈”是一个数，但它不是具体的，而是未知的数，就像我们说的x一样。题目中总是要求找出这个“阿哈”。比如，条件可能是这样的：“阿哈”加上它的 等于15。只要你想，你也能求出这道题里的“阿哈”。
同学们试试求出这里的“阿哈”，并说说它运用了我们现在所学的什么知识。
代数学就是从古埃及的方程开始的！
古埃及人还发明了一种两位数乘法的简易算法。如今，我们列竖式来算乘法，而当年的古埃及人算乘法用的是两栏。比如在计算15×24时，他们会列出两栏：第一栏里写的是2的乘方（1、2、4、8、16等），第二栏里是24与前面那个数的乘积。然后，古埃及人从第一栏里挑出总和为15的数（15=1＋2＋4＋8），再把这几个数在第二栏中对应的数加起来（24＋48＋96＋192）。结果不多不少，正好是360。
当我们谈到古埃及时，首先想到的自然是金字塔：古代人到底是怎么建成这些40层楼高的神奇建筑，还让它们在经历了4500多年的风雨后仍然屹立不倒呢？直角是古埃及人最重要的发现之一，它对建造金字塔帮助很大。有了直角的概念后，古埃及人不仅能把巨石整整齐齐地叠在起，
还能让金字塔的4个面对准东西南北4个方向。
那么直角到底是怎么做出来的呢？
为了作出直角，法老本人庄严地用桩子和绳子画了两个相交的圆：他把桩子打进地里，在上面系条绳子，然后将绳子的另一端拉直，围绕桩子画圆圈。接下来他用直线把两个圆的圆心连起来，再把两个圆的交点连成直线，这两条线的相交处就构成了直角。
还有一个办法可以作出直角。
拿一根绳子，通过打结把它分成长度相等的12 段，然后用3个桩子拉直绳子，构成一个三边长分别为5段、3段和4段的三角形。这样，3段和4段的两条边的夹角就构成了完美的直角，不多不少刚好90°，这个三角形被称为“埃及三角形”，这个三角形我们在学习勾股定理时会看到。不仅如此，为了预先估计建造这项世界奇观需要用多少块巨石，古埃及人还推出了计算金字塔体积的公式。
几何学就是从古埃及的直角开始的！
除了建造金字塔，古埃及人还在土地测量上取得了同等重要的成就。在那之前，原始人只知道观察简单的图形，比如矛尖的三角形、无云的天空中的圆圈等。而古埃及人从观察转向了研究。
书吏们为整个王国确立了统一的长度单位。从此以后，人们不再用具体的人体部位来度量长度，而是开始用抽象的“肘”“掌”“指”来代表固定长度。这样一来，不管农夫的手有多大，他也没法多占哪怕一小块土地。穷人也不用指望靠自己的大手让书吏量错了。
尼罗河泛滥的第一天——七月中旬的某一天。王国的书吏去看望农夫们，他们为农夫们测量刚刚被尼罗河用淤泥施过肥的土地，分了土地，就得上交部分收成作为赋税。土地的面积越大，要交的税就越多。
第一年，一位大手农夫分到了一块长方形的土地。计算这块土地的面积很简单：只要把
一边的长度乘另一边的长度就行了。这对书吏来说真是小菜一碟。
可到了第二年，由于尼罗河的泛滥，这位大手农夫分到的土地变成了三角形。这次要怎么计算面积？书吏只好拼命地想啊想，最后想出了一个办法。
如果三角形有一个直角，那就可以用两个相同的直角三角形拼出一个长方形来，然后计算长方形的面积并把它分成相等的两份，每份就是三角形的面积。要是三角形没有直角，也可以从最长的边向相对的角画一条直线，作出直角来。这样会得到两个直角三角形，而书吏已经懂得怎么计算它们的面积了。
到了第三年的新年，书吏碰到了更棘手的问题。这一回，大手农夫的土地叫人完全搞不懂是什么形状了。书吏甚至叫不出这个图形的名字。但即便如此，书吏还是找到了解决办法。他发现，一切由直线围成的图形都能分成若干个三角形，而且他已经知道该怎么对付三角形了。
最后，第四年，书吏面临着一个前所未有的超级大难题。为了搞清楚大手农夫该交多少税，需要确定一块圆形土地的面积。
遗憾的是，我们不知道书吏是怎么想到解决办法的，只知道他再次完成了任务：圆的面积差不多等于外接于圆的正方形的面积减去其面积的 。
在现实中，古埃及的数学自然不是在四年间就发展起来的，也不可能单凭书吏的一己之力。
古埃及人最感兴趣的是能运用到现实生活中的数学。如果书吏着手去计算，那就说明他们需要把计算结果用在建筑或分饼上。要是没有具体问题需要解决的话，他们才不会自找麻烦去算数呢。但即便如此，古埃及也还是出现了用于计算研究的数学也就是真正意义上的“数学”的萌芽。
事实上，要是原始人不知道加的是什么东西以及为什么要把它们加在一起的话，他们连1加1这样的简单问题都解决不了。
数学确实是来源于实际生活！
在数学这条困难重重的道路上，古埃及人大大推动了人类的进步，但古巴比伦王国的居民让人类在这条路上走得更远。
古巴比伦文明位于所谓的“两河流域”，也就是底格里斯河与幼发拉底河之间。尽管这些地方的土地非常肥沃，但培育和收获庄稼的难度却比尼罗河谷地大得多。旱季的时候，要想办法灌溉土地；河流泛滥的时节，要防止庄稼被洪水淹没。没有精巧的工程设计和大量的数学计算，就不可能解决这些问题。现实的困难推动古巴比伦人去研究数学。
除了农业，古巴比伦的贸易也很繁荣。早在文明诞生之初，也就是公元前40世纪中期左右，两河流域就有许多民族毗邻而居：苏美尔人、闪米特人、胡里安人、阿卡德人、阿摩利人，甚至还有亚述人。
每个民族都有自己的度量衡和记数方法。要避免在贸易过程中上当受骗，就必须掌握好数学。否则只要稍不注意，别人就会缺斤少两或多收你钱。
与古埃及一样，古巴比伦王国也有书吏阶层。那儿的书吏同样享有尊贵的地位，但也有不一样的地方。古巴比伦的书吏不是把数学计
算记录在莎草纸上，而是用木制的楔子刻在潮湿的泥板上。泥板干后可以保存数千年之久。古巴比伦的泥板完好地保存了数千年，直到今天还留下了50多万块，尽管其中大部分要靠碎片一点点拼起来。当然，不是所有泥板都记录了数学题的解法，其中还有书信和菜谱，有时还能看到文学作品呢。
真正的书吏必须掌握人类文明积累下来的全部数学知识。他们不仅要懂得丈量土地的面积，计算壕沟或容器的体积，甚至还要学会计算利息。因为古巴比伦出现了最早的银行系统：无息贷款、租赁、有息贷一到今天都还让爱财者两眼放光的东西，在那个时候就已经出现啦。
假如有个古巴比伦人借给别人1袋银币，对方许诺一年后多还 当做利息。那么，如果借款人拖延了还债期限，直到5年后才把银币还回来，那债主该向他要多少银币呢？这两个老实的古巴比伦人约定还2袋银币。
而古巴比伦的银行家发明了从借款人身上尽可能多地榨取银币的手段：从第二年起，他们不再只按最初的1袋银币收取利息，而是还要加上原来银币的 。
古巴比伦的书吏必须博学强记、多才多艺，但偶尔也可以偷偷懒。举个例子，他们可以带“小抄”。
要知道古巴比伦王国使用的不是我们习惯的十进制记数系统，而是更复杂的六十进制。在这种情况下，背诵乘法表就比背诵十进制的乘法表要难得多，因为乘法表本身扩大了几十倍。平方表和立方表就更不用说了。
因此，古巴比伦的书吏总是随身带着许多泥板，这样必要时可以偷看几眼，就用不着每次都繁琐地计算了。
古巴比伦人一直想努力加快和简化单调乏味的计算。为此书吏们发明了许多方法，刻着现成结果的泥板只是其中的一种。
与古埃及人不同的是，古巴比伦人不仅会用分子为1的分数，还会用其他分子不为1的分数。除此以外，他们发明的分数表示方法和今天用的十进制分数完全相同。只不过，古巴比伦人用的不是十进制分数，而是六十进制分数。
书吏们还有一项发现，那就是倒数。古巴比伦人特别喜欢使用倒数。不管是什么数，只要乘以它的倒数，结果都是1。倒数在做除法的时候特别方便，因为除以某个数就相当于乘以它的倒数，而乘法比除法更简单、更常用，并且还可以查看泥板上的结果。
除此以外，两河流域还是世界上最早发明轮子的地方之一。和古埃及人一样，古巴比伦人也学会了计算圆形的面积，但算法有所不同：他们先用绳子测量出圆的周长和直径（通过圆心并且两端都在圆上的线段），然后把它们相乘再除以4，得到的结果相当准确。如果要根据已知的直径求圆的周长，他们便毫不含糊地用直径乘 ，结果也非常准确。
如果一个数不能被另一个数整除，也无法表示为六十进制分数，古巴比伦人也不会干着急，而是会采用“近似”的结果。
古巴比伦人的另一个贡献是发现了平方根。
如果一个直角三角形的两条边长度都为1，那它的第三边该有多长呢？书吏们花了不少时间去思考这个问题，他们想啊想，把胡子都揪光了：写成整数自然不行，可也没办法用分数来表示。不过，他们发现，要是把一个数乘以它自身，得到的结果是2，那这个数就是2的平方根。古巴比伦人算出了它的近似值，然后就立刻把它加进了平方根表，那儿已经记录了一些简单的平方根，比如2（4的平方根）和1（1的平方根）。
不过，古巴比伦的书吏们觉得这还不够。书吏甲皱着眉头，摆出一副很聪明的样子说：“2等于1乘1再加1 乘1！”，然后又在原来的直角三角形旁边又画了一个三角形，并解释到“这三角形的三边是3、4、5，我们作直角用的就是这样的形”。接着他在旁边写到：3×3＋4×4=5×5（如果把直角三角形的两条直角边的平方相加，结果就是第三边的平方）。
是不是所有的直角三角形都是这样呢？古巴比伦的聪明人压根儿就没想过这个问题。
不过,古巴比伦的书吏比毕达哥拉斯更早发现了所谓的"毕达哥拉斯三元数组"——两个较小的数的平方之和等于较大的数的平方。但他们没打算研究这个现象,更不要说去证明"毕达哥拉斯定理"了。
最有名的古巴比伦数学泥板叫"普林顿 322",现在保存于美国哥伦比亚大学。“普林顿”是为了纪念将其交给学者研究的收藏家普林顿，而“322”则是普林顿的收藏编号。
这块泥板上列举了一些毕达哥拉斯三元数组。其中有些很容易求得：把我们熟知的3、4、5分别乘以某个数，比方说2，结果就是一组新的毕达哥拉斯三元数组（6、8、10）。要发现与原来的数组无关的新数组就难多了。尽管如此，古巴比伦人还是找到了不少这样的数：5、12、13，7、24、25等。至于他们为什么把这些数仔细地记录在泥板上，学者们至今还在争论不休。或许这块泥板也是书吏的“小抄”，碰上难题时可以悄悄看两眼。
和古埃及人一样，古巴比伦人对抽象的数学也不太感兴趣，比如假设、定理、证明等。他们能为同一道题想出好几种解法，但只是为了检验结果，确保下次再碰到同样的问题时能迅速解决。
正是由于对实际问题的精益求精，古巴比伦的书吏才掌握了二次方程的解法——也就是古埃及的那种带未知数的计算题，但是，古巴比伦书吏求解的未知数还与自身相乘。尽管日常生活中很少用到二次方程，但古巴比伦的学校还是用它们来检验其他习题的答案。
多亏有了数学，古巴比伦人成了世界上最早学会建造拱顶和高塔的民族。书吏从这些建筑上观察太阳和月亮在空中的运动，计算它们的运动速度和方向。古巴比伦人发现，日食和月食的出现是有规律的，每隔18年出现一次。这样，他们就可以预测下次日食和月食的发生时间。古巴比伦的平民百姓不懂其中的奥秘，所以他们相信祭司的任何预言，而祭司经常会利用预言为自己的私欲服务。
在古巴比伦，科学还只是属于少数人的学问。
花样数学
本节课到这里就结束，同学们再见！

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