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数学史——
初中数学社团课
01 向代数前进
01 向代数前进
古希腊人在倍立方问题中碰到的困难清楚地表明，毕达哥拉斯用线段表示数的设想并没有解决所有重大的数学问题。虽然这个想法解决了2的平方根的问题，但只有几何还远远不够。遗憾的是，古希腊人直到古典时代的末期，也就是公元3世纪，才意识到这一点。
在13卷的巨著《算术》中，数学家丢番图发明了用字母表示未知数的方法，并开始解答含有若干未知数的题目。这样一来，就不用编造关于房子、猫、老鼠和粮食之类的冗长题目了，只需列出含有未知数x的式子，必要时还可以加上y。
古希腊人只在解题过程中使用负数，而不把负数本身当作真正的数。
为了解这种方程，丢番图发明了一些能简化解题过程的运算定律。举个例子，如果把等式一侧的一部分移到另一侧，就必须把它前面的符号变成相反的符号：减号变成加号，加号变成减号。不需要再用图来表示题目内容，因此就可以使用负数了。
丢番图也没忘记详细说明运用负数的各种方法-万一有人不知道，两个负数相乘得到的是正数呢！
以下是一道含有两个未知数的题目。它不是丢番图出的，但完全可以用在现代的数学课本上。八爪鱼有8条腿，海星有5条腿，某水族箱中共有39条腿，请问八爪鱼和海星各有多少只？
你能运用所学知识解答这个问题吗？
《算术》中一个著名的问题是：如何将一个已知的平方数分为两个平方数。任何有兴趣的古希腊人都可以向数学家提各种刁钻古怪的问题。问题越复杂，随之而来的争论就越有意思，数学的发展也就越迅速，提问者也能享有不逊于数学家的殊荣。
过了14个世纪，法国数学家皮埃尔·费马在丢番图《算术》的页边留下了一些注释，其中的一条就是后来的“费马大定理”。
01 向代数前进
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来自埃利亚的哲学家芝诺想出了许多巧妙的问题，要求数学家们给出答案：假如能让时间停止，会发现飞行的箭并不在飞，而是停在空中的一个特定位置。假如能让时间停在另一个瞬间，会发现箭还是停在空中不动。既然箭在任意的瞬间都是不动的，那它又怎么能飞呢？悖论！
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现在看一个最有名的悖论。阿基里斯①与乌龟赛跑，假设他让乌龟先跑100步，那他能追上乌龟吗？等阿基里斯跑完乌龟这100步时，乌龟已经往前爬了10步。等他跑完这10步时，乌龟又往前爬了1步。阿基里斯再跑1步，乌龟又往前爬了1/10步。
这样下去，只要乌龟还在不停地爬，阿基里斯就永远都追不上乌龟。
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在这些悖论中，芝诺已经非常接近“连续性”和“无限性”这样的概念了。时间和空间是否可分，它们是否连续不断？是否存在无穷大的数或无穷小的分数？
芝诺仿佛在用自己的悖论向数学家提问：“喂，数学家们，你们的科学真的能充分说明我们的世界吗？能做到一点儿矛盾都没有吗？”对于芝诺的问题，当年的学者给不出一致的回答，就算到了2500多年后的今天，相关的争论依然还在继续呢。
同学们，你们对此有什么看法呢？
01 向代数前进
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数学家们听到的问题自然并不都是那么巧妙又有趣的。比如古埃及的国王就曾问过欧几里得：“除了读你的书，就没什么更简单的办法去了解数学了吗？”伟大的数学家只是耸耸肩说：“很遗憾，数学中没有专供国王走的康庄大道。”这场对话发生在公元前3世纪，但欧几里得的回答到了今天依然很有道理。只要随便翻开一本中学几何课本，就会发现大部分内容都是欧几里得最早在13卷巨著《原本》中加以阐述的。
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欧几里得在托勒密王朝首都-亚历山大里亚生活和工作。这里是已知最早开始向学者支付工资的城市，还修建了古代最大的图书馆。图书馆里保存着7万多份手卷。即便欧几里得没有读完那里的全部手卷，他也一定掌握了其中与数学相关的部分。
“欧氏几何”直到今天都尚未过时，其基础是公设（人们从经验中总结出的几何常识）和公理（无需证明的基本命题）。例如，由任意一点到另外任意一点可作直线。再例如，分别与第三者相等的两者也彼此相等。至于这两者具体是什么，是线段、是角、是三角形，还是两个一模一样的蜜糖饼，其实并不重要。
公设和公理并不多，剩下的命题被称为“定理”-这是必须加以证明的真命题。
欧几里得为后来的数学家指明了研究的对象：点、线、面和体。5条欧氏几何公设说明了该如何处理这些对象。
第一公设：
由任意一点到另外任意一点可作直线。
第二公设：
一条有限直线可以向两端无线延长。
第三公设：
以任意一点为圆心，任一距离为半径可以作圆。
第四公设：
所以直角都相等。
第五公设：
若一直线与两直线相交，且相交同侧的两内角之和小于180°，则两直线无线延长后必然相交于该侧的一点。
“数学家怎么可能允许有不证自明的东西呢？看看人家泰勒斯，连＇直径平分圆＇这样一清二楚的事情都证明了。而且，万一欧几里得之后的某人把定理说成了公设呢？或者反过来，有人打算去证明某条公设呢？”
事实的确如此：有人不愿无条件地相信公设和公理。他们不断尝试证明这些公设和公理，尤其怀疑那条令人十分费解的第五公设。起初，有人想出了一种简单得多的表达方式：过直线外的一点只能作一条与原直线不相交，也就是与之平行的直线。又过了许多个世纪，几名学者同时悟出了一个道理-可以有另一种第五公设不起作用的几何学：过直线外一点，与原直线平行的直线可能有很多条，也可能一条也没有。
公元1世纪亚历山大里亚的天文学家梅涅劳斯就是一位著名的非欧数学家。
公元1世纪亚历山大里亚的天文学家梅涅劳斯就是一位著名的非欧数学家。他想象了一下平行直线继续延伸下去可能相交的情景，然后就创立了一种新的几何学。他是在球面上而不是在欧几里得的平面上展开的。这种几何学在天文学研究-或者说在天体几何的研究中很有用处。
球面上的三角形有3个直角！这就是不在一个平面上的平行线带来的奇迹。
欧几里得不仅收集了古希腊全部的数学知识，他还为数学做出了自己的贡献，比如，证明了质数有无限多个、正多面体只有5种。
设想我们找到了最大的质数。把包括这个最大质数在内的所有质数乘起来再加1，得到的又是一个新的数。如果这个新的数是质数，就说明不存在最大的质数。如果这个新的数是合数，则它必定能被某个质数整除，但用已有的质数去除这个新的数，都会有余数1，所以假设不成立。
欧几里得不仅收集了古希腊全部的数学知识，他还为数学做出了自己的贡献，比如，证明了质数有无限多个、正多面体只有5种。
就算在欧氏公理不完全适用的球面上研究几何，数学家们也得遵守证明定理的一般规则。于是，著名的哲学家亚里士多德向数学家们伸出了援手。
早在公元前4世纪，亚里士多德就阐述了几条基本的逻辑规律。如果推理时遵守了这些规律，就说明推理者是位货真价实的学者；如果没遵守这些规律，就说明他不过是“半瓶醋”。
规律一共只有三条。
第一条是同一律：推理时不能改变概念的意义。要是有学者先是把三角形叫作“三角形”，5分钟后又把三角形叫作“正方形”，这种“学者”就该被轰出门去。
第二条是矛盾律：一个命题可以和别的命题矛盾，但绝不能自相矛盾。要是有学者断定，某几个角相等且这几个角不相等，那就该把他赶出去。
第三条是排中律：某命题及其否定中必有一真一假，不存在第三种情况。要是有学者说：“这是个圆，但这又不是圆。”另一个学者说：“你的两个看法，我都同意。”那就该掐着他的脖子把他撵走。
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比如，他们学会了测量海岸与海上航船之间的距离。首先，测量时需要靠目测在岸与船之间作一条直线，再作一条与之垂直即与岸平行的直线。然后，在第二条线上找一个点，使得从这个点看船的视角为45°。这样的三角形中有两条相等的边，所以，只要测量岸上的线的长度，就能知道岸与船之间的距离。
古希腊的数学家无疑为现代数学的产生打下了重要基础，甚至可以说创造了整个最初阶段。但是，也有人说：“这些抽象的理论有什么用呢！”这么想可就不对了，数学的用处大着呢！
除了解决抽象的问题，古希腊人还有许多能用于实践的新发现。
01 向代数前进
公元前212年，古罗马军队从海上围攻叙拉古时，当地的数学家和物理学家阿基米德设计了许多种投石机用于战斗。它们打击敌船时百发百中，阻挡了敌人差不多有一年之久。
在和平时期，阿基米德也并非无所事事。他发明了一种类似水泵的“阿基米德螺旋”，能把水从船里抽走或者用来灌溉土地。
有一回，国王交给阿基米德一个任务：检查金匠做的王冠是不是用纯金制成的。阿基米德想了很久都没有头绪，直到有一天，他坐进装满水的浴缸泡澡，水开始往外流······
突然，他灵机一动：要是把王冠放进装满水的浴缸里，那么溢出的水的体积就等于王冠的体积。
阿基米德等不及穿好衣服，就光着身子跑到国王那儿去讲自己的发现，边跑边大声喊：“尤里卡，尤里卡！”（“我找到了，我找到了！”）到了王宫，他把王冠和同等重量的纯金放到装满水的两个盆里，比较两个盆溢出的水的体积，结果发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多，这就说明王冠里掺进了密度较小的金属。
后来阿基米德证明了：浴缸的方法不仅能用来测量王冠的体积，还能测量其他很多物体。因此，他提出了阿基米德定律，这条定律直到今天还能在中学课本里学到。
不过，阿基米德一生中最重要的成就还是找到计算球的体积的方法。在他之前，没人敢碰这个问题，因为大家都搞不清该怎么对付这个四面八方都是圆弧的物体。阿基米德想出了一个办法：把球的体积与外切于球的圆柱的体积进行比较。
阿基米德是这样计算圆的面积的：他把圆分成多个圆环，再把从圆周到圆心的环一个个分开，然后把圆环展开成带状，组合成近似三角形的形状（只是近似，因为它的侧边不是直的，而是锯齿状的）。而三角形的面积是很好算的。
很难说阿基米德是在物理学还是在数学中的发现更多。他在物理实验的过程中找到解答问题的方法，然后用数学方法加以精确地证明。
阿基米德还证明了所有圆的周长与直径之比都是相等的。他借助正九十六边形算出了这个比的近似值，这就是后来的圆周率。
很难说阿基米德是在物理学还是在数学中的发现更多。他在物理实验的过程中找到解答问题的方法，然后用数学方法加以精确地证明。
当古罗马军队占领叙拉古时，一个士兵踩到了阿基米德的数学图稿，于是，阿基米德严厉地斥责了他。与只擅长打仗的古罗马士兵进行争论，这实在是个糟糕的选择，被激怒的士兵一剑刺死了这位75岁的伟大数学家。

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