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社团课4《斐波那契数列》教案
课题 社团课4《斐波那契数列》 学科 数学
教学目标 1.学生能够理解斐波那契数列的定义及其基本性质，学生能够通过观察、归纳等方法发现斐波那契数列的递推关系及通项公式（可选，视学生能力而定）。 2.通过情境导入，激发学生的学习兴趣和探索欲望，通过小组合作，培养学生的合作精神和交流能力。 3.激发学生对数学的兴趣和热爱，培养学生的数学素养，培养学生的探究精神和创新意识，鼓励学生敢于质疑、勇于探索，培养学生的耐心和细心，通过解决数学问题锻炼学生的意志品质。
教学重点 了解斐波那契数列的定义及其由来（如兔子繁殖问题），斐波那契数列的递推关系及其性质
教学难点 理解斐波那契数列的定义、递推关系及其性质。
教学过程 教师活动 学生活动
一、 课堂导入 导入语言：欢迎同学们来到今天的社团课，我们今天将要探索一个非常有趣且历史悠久的数学概念——斐波那契数列。这个数列不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在自然界和艺术中也经常出现，它是由一系列数字组成的，每个数字都是前两个数字的和。让我们一起揭开斐波那契数列的神秘面纱，了解它的奥秘和美丽。 分组做好准备，同时准备好上课需要文具，如笔和草稿本等等。
二、 新知讲解 第一部分 兔子问题 1.兔子问题，叙述如下 设初生的小兔子一个月以后成熟，而一对成熟的大兔子每月会生一对小兔子。假设每次生的一对兔子都是一雌一雄，且所有的兔子都不病不死，那么由一对初生小兔子开始，12个月后会有多少对成熟大兔子呢？（这里的12个月后表示刚刚好满12月的兔子数量） 同学们，你们可以自己计算出来吗？ 我们可以一个月一个月地往下数来求出答案 第1个月有1对初生兔子； 第2个月有1对成熟兔子； 第3个月有1对成熟兔子和1对初生兔子； 第4个月有两对成熟兔子和1对初生兔子； 第5个月有3对成熟兔子和2对初生兔子； 第6个月有5对成熟兔子和3对初生兔子； …… 第12个月有89对成熟兔子和55对初生兔子； 第13个月有144对成熟兔子和89对初生兔子.（这里其实就是12个月后，12个月一共有的兔子。） 从第一个月后起，把每个月的成熟兔子的对数列出： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 “兔子问题”的另一种提法是： 第一个月是一对成熟兔子，类似繁殖；到第12个月时，共有多少对兔子？ 问题1：你能找出两个题目的不同之处吗？ 答案2： ①条件不同：上一题第一个月是幼年兔子，而本题第一个月已是一对成熟的兔子； ②月份要求不同：上一题是问“12个月后”，而本题是问“第12个月时”; ③问题不同：上一个问题的是“有多少成熟大兔子”，而本题是问“共有多少对兔子”. 下面我们用列表法来解决该问题（成熟兔子是大兔，初生兔子是小兔） 123456789101112大兔对数1123581321345589144小兔对数01123581321345589
两种解题过程，你更喜欢哪个？ 问题2:表格有规律，你发现什么规律了吗？ 答案2: 1.每个月的小兔对数=上个月的大兔对数； 2.每个月的大兔对数=上个月的（大兔对数+小兔对数）； 3.每个月的大兔对数=上个月的大兔对数+上上个月的大兔对数. 发现这些规律以后，便可以机械地向右延伸这个表格，速度就大大加快了。这便是“列表”和“寻找规律”带来的好处。 这样我们就得到答案： 到第12个月时有大兔144对，小兔89对， 共有兔子144+89=233对. 第二部分 跳格问题 如图，一个人站在“梯子格”的起点处向上跳，从格外只能进入第一格，在格中，每次可向上跳一格或两格。 问：可以用多少种方法，跳到第12格？ 【题目分析】 跳入第一格只有1种方法； 跳入第二格必须先跳入第一格，所以也只有一种方法. 再往后，能一次跳入n格的，只有n-1和n-2两格； 例如能跳进第七格的只有第五格或第六格. 这样，能跳入第三格的就只有从第一格或者第二格跳入，而进入第一格有1种方法，进入第二格有1种方法，所以进入第三格有两种方法。 因此，我们可以得到： 跳入第n格的方法数=跳入第n-1格的方法数+跳入第n-2格的方法数 请你根据这个规律完成下面表格： 方格123456789101112跳入该格的方法数1123581321345589144
最终，我们得到了一列数字 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 这和我们在“兔子问题”里得到的数字一样。 第三部分 连分数 大家先来看一个分数： 这个分数看上去很复杂，我们可以逐一来计算观察，同学们先尝试一下自己写出第一项和第二项。 第一项： 第二项： 第三项： 请同学们自己写出后面的几项 这样我们就得到了一列分数： 大家观察一下该组分数的分子、分母数字有何特点？ 其分子、分母与前面的“兔子问题”何“跳格游戏”得到数字一样。 第四部分 斐波那契与斐波那契数列 （1）斐波那契生平 斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175年-1250年），中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。 斐波那契出生于意大利的比萨。他小时候就对算术很感兴趣。后来，父亲带他出国旅行，到埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等国，这使他又接触到东方许多国家的数学。 斐波那契写于1202年的著作《算盘书》（又翻为《计算之书》）中包涵了许多希腊、埃及、阿拉伯、印度、甚至是中国数学相关内容。他最重要的成果在不定分析和数论方面，除了《算盘书》外，保存下来的还有《实用几何》等四部著作。 （2）斐波那契协会和《斐波那契季刊》 斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子问题得到斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13，…之后，并没有进一步探讨此数列。且在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没想到过了几百年之后，19世纪末和20世纪初，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。 有人比喻说，“有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还要快”，以致1963年成立了斐波那契协会，还出版了《斐波那契季刊》。 （3）斐波那契数列 斐波那契数列：若一个数列，前两项都等于1，从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…… 也可用公式表示，用Fn表示第n个数的值 第五部分 自然界中的斐波那契数列 斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。下面举几个例子： （1）花瓣数中的斐波那契 大多数植物的花，其花瓣数恰是斐波那契数。例如兰花、茉莉花、百合花有3个花瓣，毛莨属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89 个花瓣。 （2）树杈的数目 如图，树杈的数目也常常是斐波那契数。 （3）向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数 向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针也有逆时针，如图所示。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，他们都是相继的两个斐波那契数。 此外，松果种子的排列、菜花表面排列的螺线数也都有类似的规律。 以小组为单位，计算每个月有多少成熟兔子和初生兔子，并且尝试找出其中的规律。 观察每个月成熟兔子和初生兔子的数量，尝试找到规律，并向同学们展示答案。 分组讨论并交流，尝试解决问题，对于讨论中存在的疑惑可以及时询问教师。 分享完自己的答案，认真听教师讲解，并将教师讲解的答案与自己的答案进行对比。 利用草稿纸在计算得出答案。 按教师要求根据规律完成表格，并找出这个表格与兔子问题中表格中的相同点与不同点。 在草稿本上尝试写出前面的几项，若有能力可以接着写出后面几项。 用笔记本记录斐波那契数的生平与生就。 引导学生观察斐波那契数列的前几项，发现其递推关系。 听教师讲解斐波那契数列的基本性质，如相邻两项之和等于后一项等。
三、 课堂小结 结束语：斐波那契数列还与黄金分割有着很密切的联系，由于现阶段我们所学的数学知识有限，还不能深入讨论斐波那契数列，同学们要认真学习数学，将来再来学习讨论斐波那契数列，你将会发现许多令人惊奇的知识。 请同学们课后搜集更多关于斐波那契数列的资料，了解其在实际生活中的应用。 归纳总结本节课的内容，课后继续探究斐波那契数列的更多性质和应用。
四、 教学反思 1.在教学过程中，关注学生的参与度和思维活跃度，及时调整教学策略和方法。 2.注重培养学生的数学思维和问题解决能力，鼓励学生勇于探索和创新。 3.课后及时收集学生的反馈意见，进行教学反思和改进。

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