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社团课3《欧拉与哥尼斯堡七桥问题》教案
课题 社团课3《欧拉与哥尼斯堡七桥问题》 学科 数学
教学目标 1.学生能够理解“哥尼斯堡七桥问题”的背景及其数学意义。学生能够掌握欧拉定理（一笔画定理）的基本内容，并能应用其解决类似问题。2.通过故事引入，激发学生兴趣，培养学生的问题意识和探究精神。通过小组讨论和动手实践，引导学生自主发现规律，培养学生合作学习和解决问题的能力。3.培养学生面对复杂问题时，勇于挑战、敢于探索的精神。体会数学与实际生活的紧密联系，感受数学的魅力。
教学重点 理解欧拉定理（一笔画定理）的内容，并能应用其解决类似问题。
教学难点 从具体的生活问题中抽象出数学模型，并运用数学方法进行解决。
教学过程 教师活动 学生活动
一、课堂导入 同学们，今天我们将一起探索数学史上一个非常有趣的问题，它不仅激发了数学的一个全新分支，还让我们对数学之美有了更深的认识。这个问题就是著名的哥尼斯堡七桥问题。在18世纪的普鲁士，有一座名为哥尼斯堡的城市，它的河流穿城而过，形成了两个岛屿和两块陆地。七座桥将这些陆地连接起来，但居民们发现，无论怎样走，都无法恰好走过每座桥一次后回到起点。这个问题最终吸引了数学大师欧拉的关注。欧拉不仅解决了这个问题，还开创了图论这一数学领域。今天，我们将通过这个问题，一起走进欧拉的数学世界，探索图论的奥秘。 在课堂上，集中注意力准备上课。
二、新知讲解 1.数学家欧拉莱昂哈德·欧拉（1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。欧拉出生于牧师家庭，他的父亲是基督教加尔文教派的牧师，曾听过雅各布·伯努利的课。欧拉自幼受到父亲的影响，13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。2.哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡：哥尼斯堡由条顿骑士团北方十字军于1255年建立，先后被条顿骑士团国、普鲁士公国和东普鲁士定为首都或首府。哥尼斯堡是一座历史名城，曾是德国文化中心之一，伊曼努尔·康德、E·T·A·霍夫曼和达维德·希耳伯特都曾在此居住过。这城后被苏联占领，现被改称为加里宁格勒（Kaliningrad）.七桥问题：18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如概述图）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。这就是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。讲述哥尼斯堡七桥问题的背景故事，激发学生兴趣。欧拉的德国朋友哥德巴赫知道欧拉是个很聪明的人，并且喜欢思考问题，1735年就告诉他这个“哥尼斯堡七桥问题”，要他想法子解决。当下，无法实地考察，同学们可以现在“纸上漫步”，看看能不能走出一个法子来。如果想不通，那么就继续认真听课，看看欧拉是如何解决这个问题的。3.一笔画问题欧拉并没有到哥尼斯堡去走走，如果每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，这么多情况要一一实验，这将会是很大的工作量。思考：5040种走法是怎么计算出来的？答案：7×6×5×3×4×2×1=5040引导学生将实际问题抽象为数学模型，即将小岛和河岸看作点，桥看作线。1736年，在经过一年之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，他把这个问题化成了这样的问题来看：把两岸和小岛缩成一点，桥化为边，两个顶点有边连结，这样欧拉就得到了一个图。欧拉思考这个图能否一笔画成，如果能够的话，对应的“七桥问题”也就解决了。欧拉解决难题的关键是——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新分支——图论。欧拉研究发现：如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点，其他图上的点是“过路点”——我们要经过它。“过路点”会有什么性质，它是“能上能下，有进有出”的点，有一条边进这个点，那么就要有一条边出去，不可能是有进无出，否则它就会变成终点，也不可能有出无进，否则它就会变成起点。偶点：当“过路点”进出的边总数是偶数时，既“过路点”是偶点。奇点：当“过路点”进出的边总数是奇数时，既“过路点”是奇点。如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的类型，因此也是偶点，这样图上全体的点是偶点。如果起点和终点不一样，那么它们就必须是奇点了，这样图中最多只能有两个奇点。因此欧拉得出要使得一个图形可以一笔画，必须满足下列两个条件：1.图形必须是连通的；2.图中的“奇点”个数是0或2.现在请同学们根据欧拉的判定法则来判定一下七桥问题的图能否一笔画成。答：所有的点都是奇点，共有4个，故这个图肯定不能一笔画成。4.一笔画游戏1.画图时可以把任一偶点作为起点，最后一个能以这个点为终点画完此图。A→D→B→E→C→A2.凡是只有两个奇点的联通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。B→A→E→D→A→F→D→C→F→B→C任务：每个小组用基础图形组成组成组合图形，并且是一笔画图形，然后小组交换题目再进行解答。事实上，中国民间很早就流传这种一笔画的游戏。这种游戏通常被称为“一笔画”或“连城”，这个游戏不仅考验逻辑思维和空间想象力，还具有一定的娱乐性和教育意义。在古代，一笔画游戏常被用作儿童智力开发的工具，通过游戏的方式培养孩子们的专注力和解决问题的能力。 记录欧拉的生平与相关事件，了解这位数学家的伟大成就小组讨论自己的发现，并尝试用数学语言描述规律。动手尝试找出可以一笔画的图形，并总结规律。理解教师讲解的内容，并应用欧拉定理分析哥尼斯堡七桥问题，得出无法一笔走完的结论。以小组为单位讨论出自己的题目，同时交换题目后，认真完成并展示答案。
三、课堂小结 在本次社团课程中，我们探讨了数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”，并介绍了欧拉在此问题上的开创性工作。哥尼斯堡七桥问题是一个关于图论的问题，它涉及到图的连通性问题。欧拉通过抽象化的方法，将实际的地理问题转化为数学问题，从而奠定了图论这一数学分支的基础。欧拉的解决方案不仅解决了哥尼斯堡七桥问题，还提出了后来被称为“欧拉路径”和“欧拉回路”的概念。他指出，一个图中存在欧拉回路的条件是所有顶点的度数都是偶数；而存在欧拉路径但不是欧拉回路的条件是恰好有两个顶点的度数是奇数，其余顶点的度数都是偶数。这一理论的提出，不仅解决了当时的实际问题，而且对后来的数学研究产生了深远的影响。 归纳总结本节课的教学内容，课下继续收集有关欧拉的故事，并尝试出一笔画问题和同学之间相互解答。
四、教学反思 1.在教学过程中，要关注学生的参与度和思维过程，及时给予引导和帮助。2.强调数学与实际生活的联系，让学生感受到数学的实用性和趣味性。3.鼓励学生大胆尝试、勇于探索，培养学生的创新精神和解决问题的能力。

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