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社团课6《黄金分割》教案
课题 社团课6《黄金分割》 学科 数学
教学目标 1. 让学生理解黄金分割的定义和黄金矩形的定义。 2. 引导学生通过实际操作和计算，感受黄金分割在生活和艺术中的应用。 3. 培养学生的观察能力、分析能力和审美能力。
教学重点 黄金分割的定义和比值计算，黄金分割在实际生活中的应用案例分析。
教学难点 理解黄金分割的美学价值和数学原理的内在联系，运用黄金分割知识解决实际问题。
教学过程 教师活动 学生活动
一、 课堂导入 同学们，今天我们将探索一个古老而又迷人的数学概念——黄金分割。这个比例不仅在数学领域有着重要的地位，而且在自然界和艺术作品中也广泛存在。想象一下，当你将一条线段分成两部分，使得整个线段与较长部分的比例等于较长部分与较短部分的比例，这个比例就是黄金分割。它大约是1:1.618，这个比例被认为是美学上最令人愉悦的比例。让我们一起开始这段数学的美妙旅程，探索黄金分割背后的数学原理及其在世界中的应用。 认真听讲，准备上课。
二、 新知讲解 第一部分 黄金分割 1.黄金分割 向学生介绍黄金分割的定义，并提醒学生此处可做记录。 黄金分割的定义：如图，把任一线段分割成两段，使“大段：全段=小段：大段”这样分割叫黄金分割，这样的比值也叫黄金比. 2.求黄金比 设此黄金比为x，我们设全段长为1，则大段长为x，小段长为1-x.故有 整理后得. 这是一个一元二次方程，如果此阶段学生没有学习该方程，则直接告知这个方程没有学过，直接讲出答案，若学生已经学习过一元二次方程则尝试让学生解答此问题。 通过计算，我们得到0.618就是此黄金比. 3.黄金分割的尺规作图 让学生拿出草稿纸、直尺和圆规，并强调此直尺应是无刻度的。通过动画演示让学生了解如何利用尺规作图画出黄金分割，演示结束后让学生以小组为单位自行画图，不懂的地方可以问教师。 第二部分 黄金矩阵 1.黄金矩形的定义 介绍黄金矩形的定义。 定义：如图，一个矩形，如果从中间裁去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形一样，则称该矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述方法无限分割下去。 2.黄金矩形的黄金比 所谓黄金比其实就是黄金矩形的宽与长之比。 同学们你们能求出黄金矩形的黄金比吗？ 计算过程与求黄金分割的黄金比一样，需要解一元二次方程，这里我们不再重复。 值得一提的是，这里的黄金比与黄金分割的黄金比是一样，约为0.618. 第三部分 黄金分割、黄金比的美 黄金分割之所以称为“黄金”分割，黄金比之所以称为“黄金”比，是比喻这一“分割”和这种“比”在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一。认为它表现了恰到好处的“和谐”。 1.人体各部分的比 人体是美的，这是因为人体的许多部分存在黄金分割。在曾经高考数学考过一道关于人体黄金分割的题目。 除了肚脐分割头和脚，还有印堂穴分割口和头顶，肘关节分割肩和中指尖，等等都是黄金分割 2.著名建筑物各部分的比 如埃及的胡夫金字塔，塔高137m与底边长227m之比为0.628. 古希腊的巴特农神殿，其大理石柱廊的高度占整个神殿高度的0.618. 法国的巴黎圣母院，正面高度和宽度之比接近0.618，立柱和装饰带将里面又分成了9块小的黄金矩形。 埃菲尔铁塔，第二层到塔顶的高度和整个塔身的高度之比约为0.618. 3.风景照片中地平线位置的安排 风景照片中地平线的位置，并不是安排在中间最好；往往是安排在黄金分割的位置最美观。当然也有上、下两种安排，都可以构成黄金分割，同学们下来后可以用收集拍照试试。 4.其他 正五角星中的黄金比 据数学史专家考证，古希腊的数学家，最早就是从正五角星中的线段比发现了黄金比。 舞台报幕者的最佳站位，在整个舞台宽度的0.618处最美。 小说、戏剧的高潮出现，在整个作品的0.618处较好。 提问：同学们，你们还知道在生活中哪些地方运用到了黄金分割吗？ 第四部分 华罗庚优选法 1.华罗庚的优选法 20世纪60年代，华罗庚先生创造并证明了优选法，还用很大的精力去推广优选法。 “优选法”，即对某类单因素问题，用最少的实验次数找到“最佳试验点”的方法。例如炼钢时要掺入某种化学元素加大钢的强度，掺入多少合适？假定知道要掺入的数量大约应在1000g～2000g之间，现求最佳加入量，误差不得超过1g. 提问：同学们，如果是你们，你们会怎么办呢？请小组讨论，并选一名同学汇报答案。 最“笨”的一种方法是分别加入1001g，1002g，…，2000g，做1000次实验，就能发现最佳方案。 此外，大家常用的是“二分法”.即取1000g和2000g的中点1500g.再取进一步的中点1250g和1750g，分别做两次实验，如果1750g处效果差，就去掉1750g到2000g的一段，如果1250g处的效果差，就删去1000g到1250g的一段.再在剩下的一段中再取中点做实验，比较效果，决定下一次的取舍. 提问：同学们觉得“二分法”和上一种方法比如何？ 让学生积极发表自己的看法，不要否定学生的答案，多聆听，了解学生的想法，并尊重学生的想法，不一定非要是哪个方法好，主要是在于引导学生思考。 看上去这似乎是最好的方法.但华罗庚先生证明了，每次取中点的实验方法并不是最好的方法；每次取0.618处去做试验的方法，才是最好的，称为“优选法”或“0.618法”，这可以用较少的试验次数，较快地逼近最佳方案. 2.黄金分割点的再生性和“折纸法” 华罗庚先生的优选法如何运用呢？这就要讲到“黄金分割点的再生性”. 为了更直观，我们利用“折纸法”来讲解.先准备一张纸条AB. 先取这纸条的0.618处画一条线标记为点C，此时点C是AB的黄金分割点，再将纸条对折得到C’点，此时C’点就是AC的黄金分割点. 利用这个方法可以一直“再生”黄金分割点。 认真听讲，做好笔记，对于自己能够解答的部分，积极举手回答问题。 在教师的引导下作图，并向组内同学展示成果。 展示一些具有美感的图片或艺术品，如建筑、绘画等，引导学生观察并思考这些作品美的原因与黄金分割、黄金比之间的关系。 分组讨论黄金分割在生活中的应用实例。 思考问题，小组之间积极讨论，选人负责记录讨论过程，再选一人负责汇报。 准备一张纸条，并按照教师讲解的步骤进行。
三、 课堂小结 第五部分 结束语 上节课我们在斐波那契数列的最后提到斐波那契数列与黄金比之间有着密切的联系。 这一列分数，交替地大于或小于黄金比，且这个差值随着数列地增加越来越下，趋近于0. 当这列分数越往后到达极限时，这个比值恰好是黄金比。 本节课的内容到此结束，同学们可以在课下多观察生活中的“黄金比”，你会发现美的东西往往跟有用的东西是有联系的。 归纳总结本节课的内容，记录教师布置的作业，在课后积极完成。
四、 教学反思 1.注意学生们在课堂讨论环节表现活跃，能够积极参与并提出自己的见解，这显示了他们在理解课程内容方面具有一定的积极性和主动性。同时也发现部分学生在小组合作任务中参与度不高，这可能是因为他们对任务的理解不够深入或是缺乏足够的引导。 2.本堂课教学过程中的优点在于能够激发学生的参与热情和促进他们的积极思考。不足之处则在于需要进一步提高学生的参与度，尤其是在小组合作中，以及加强对个别学生学习方法和时间管理的指导。为了改进这些不足，我计划在未来的教学中增加更多的互动环节，鼓励学生之间的交流与合作，并提供更加个性化的辅导和支持。同时，我也会定期检查学生的作业进度，及时给予反馈和帮助，以确保每位学生都能够参与进来。

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