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数学文化——
初中数学社团课
今有物不知其数，二二数之剩一，三三数之剩二，四四数之剩三，五五数之剩四，六六数之剩五，七七数之剩六，八八数之剩七，九九数之剩八，问物几何
《孙子算经》中的题目
我国古代数学名著《孙子算经》中有"物不知数"的题目：今有物不知其数，三三数之剩2,五五数之剩3,七七数之剩2,问物几何
这里面又有什么秘密呢
题目给出的条件，也仅仅是作除法时的余数；
由此如何求出物体的总数
"韩信点兵"的故事
韩信是汉高祖刘邦的大将，屡建战功.
相传，韩信阅兵时，先让一队士兵5人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(1人);再让这队士兵6人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(5人);再让这队士兵7人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(4人),再让这队士兵11人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(10人).然后韩信凭这些数求得这队士兵的总人数.
这里面有什么秘密呢 韩信记下的好像都是作除法时的余数，由此就可以求出士兵的总数吗
今有物不知其数，二二数之剩一，三三数之剩二，四四数之剩三，五五数之剩四，六六数之剩五，七七数之剩六，八八数之剩七，九九数之剩八，问物几何
同学们，为了逐步体会解决这类问题的方法，我们由浅入深，从另一个问题入手.
从另一个问题入手
这一问题的条件表面上看起来比前两个题还复杂，但其实比前面两个题简单.同学们知道为什么说这题比上题简单吗？
下面我们用"筛法"解决这一问题.
另一问题是：今有物不知其数，二二数之剩1,三三数之剩2,四四数之剩3,五五数之剩4.六六数之剩5,七七数之剩6,八八数之剩7.九九数之剩8.问物几何
题目问的是物体的个数，但似乎怎么数都数不尽，我们按照条件一步一步地过筛子，逐渐把满足要求的数字筛选出来，物体的个数是正整数，我们先把所有
的正整数过第一遍筛子，筛选出"二二数之剩1"的数，即“用2除余1”的数，有
从另一个问题入手
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…
再把这些数过第二遍筛子，筛选出“三三数之剩2”的数，即“用3除余2”的数
再把这些数过第三遍筛子，筛选出“四四数之剩3”的数，即“用4除余3”的数
再从中挑"五五数之剩4"的数，…
一直筛选下去，直到再从中挑“九九数之剩8”的数就可得结果.并且由于每次筛选后，都还有无穷多个数，所以解可能不是唯一的，很可能有无穷多个解.
把这种解题方法总结为"筛法"是重要的进步.筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题.
从另一个问题入手
11,23,…
解决问题：《孙子算经》中的题目
今有物不知其数，三三数之剩2,五五数之剩3,七七数之剩2,问物几何
2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,… (用3除余2)
8,23,…. (再用5除余3)
23,… (再用7除余2)
由此得到，23是最小的一个解.
至于下一个解是什么，要把“…”写出来才知道.实践后会发现这是要费一点儿工夫的，感兴趣的同学可以下来研究一下下一个解是什么.
相传，韩信阅兵时，先让一队士兵5人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(1人);再让这队士兵6人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(5人);再让这队士兵7人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(4人),再让这队士兵11人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(10人).然后韩信凭这些数求得这队士兵的总人数.
每5人一列，余1人；
每6人一列，余5人；
每7人一列，余4人；
每11人一列，余10人；
问：最少有几人？
解决问题："韩信点兵"的故事
解决问题："韩信点兵"的故事
每5人一列，余1人；
每6人一列，余5人；
每7人一列，余4人；
每11人一列，余10人；
问：最少有几人？
（用5除余1）
1，6，11，16，21，26，31，36，41，46，51，56，…
（用6除余5）
5，11，17，23，29，35，41，47，53，59，65，71，…
（用7除余4）
4，11，18，25，32，39，46，53，60，67，74，81，…
（用11除余10）
10，21，32，43，54，65，76，87，98，109，120，131，…
要想知道“最少有几人”，还得把上面四组数的“…”写出来才行，有些麻烦，是否还有其他的方法呢？
今有物不知其数，二二数之剩一，三三数之剩二，四四数之剩三，五五数之剩四，六六数之剩五，七七数之剩六，八八数之剩七，九九数之剩八，问物几何
从另一个问题入手
我们依然从这个问题入手研究.
另一问题是：今有物不知其数，二二数之剩1,三三数之剩2,四四数之剩3,五五数之剩4.六六数之剩5,七七数之剩6,八八数之剩7.九九数之剩8.问物几何
二二数之剩1
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…
这一步列出了“用2除余1”的数组成的数列.这个数列实际上是用带余除法的式子得到的.
“带余除法”是指整数的如下“除法”:
对任意的被除数a,除数b≠0,必唯一存在商q和余数r,使
a =bq+r,0≤r当余数r=0时，a=bq,称为“a被b整除”或“b整除a”,
从另一个问题入手
我们依然从这个问题入手研究.
另一问题是：今有物不知其数，二二数之剩1,三三数之剩2,四四数之剩3,五五数之剩4.六六数之剩5,七七数之剩6,八八数之剩7.九九数之剩8.问物几何
二二数之剩1
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…
设这个数为x.
则 x=2n1+1（x是被除数，2是除数，n1是商，1是余数,且0≤1(余数)<2.）
当取n1=0，1，2，3，4，…时，得到的x正好组成上述数列.
三三数之剩2
则 x=3n2+2 0≤2(余数)<3
从另一个问题入手
x=2n1+1
x=3n2+2
解出这个方程组，就可以得到满足“二二数之剩1,三三数之剩2”的数了.
我们考察上边两个方程的特点，发现两个“带余除法”的式子都是"余数比除数少1”.于是想到，如果把被除数再加1,余数不是就为0了吗 也就是出现了整除的情况.
x+1=2n1+1+1
x+1=3n2+2+1
x+1=2(n1+1)
x+1=3(n2+2)
这说明，x+1既是2的倍数，又是3的倍数，因此，它是2与3的公倍数.
由此想到对原来的整个问题寻找规律.
从另一个问题入手
另一问题是：今有物不知其数，二二数之剩1,三三数之剩2,四四数之剩3,五五数之剩4.六六数之剩5,七七数之剩6,八八数之剩7.九九数之剩8.问物几何
设这个数为x.
解：设问题中需要求的数是x,
则x被2,3,4,5,6,7,8,9除，所得的余数都是比除数少1
于是我们把被除数x再加1,则x+1就可被2,3,4,5,6,7,8,9均整除，
所以x+1是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，
从而是其最小公倍数[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数，
x+1=k·[2,3,4,5,6,7,8,9]=k·2520, k=1,2,3,…
即 x =2520k-1, k=1,2,3,…
这就是原问题的全部解,有无穷多个解,其中第一个解是2519.
我们只取正数解,因为物体的个数总是正整数.
我们称解决这种问题的方法叫做“公倍数法”.
解决问题：《孙子算经》中的题目
今有物不知其数，三三数之剩2,五五数之剩3,七七数之剩2,问物几何
请同学们尝试用“公倍数法”解决该问题.
解：设问题中需要求的数是x,由题意可得方程组
x=3n1+2
x=5n2+3
x=7n3+2
x+ =3n1+2+
x+ =5n2+3+
x+ =7n3+2+
加上（或者）减去一个什么样的数？
使得三个等式的右边分别是3，5，7的倍数.
解决问题：《孙子算经》中的题目
x=3n1+2
x=5n2+3
x=7n3+2
x+ =3n1+2+
x+ =5n2+3+
x+ =7n3+2+
看第三个式子 x=7n3+2
左右两边同时加5 x+5=7n3+2+5=7(n3+1)
(或左右两边同时减2 x-2=7n3+2-2=7n3)
这样可以使得右边是7的倍数，但两边同时加5（或减2）并不能使得另外两个式子的右边分别是3和5的倍数.
左右两边继续7的倍数 x+5+7a=7n3+2+5+7a=7(n3+1+a)
(或左右两边继续减 x-2-7b=7n3+2-2-7b=7(n3-b))
解决问题：《孙子算经》中的题目
左右两边继续7的倍数 x+5+7a=7n3+2+5+7a=7(n3+1+a)
(或左右两边继续减 x-2-7b=7n3+2-2-7b=7(n3-b))
左边加 5+7a 使得右边的
现在考虑另外两个式子
2+5+7a 是7的倍数
x=3n1+2 ， x=5n2+3
考虑两边加 5+7a 后
使得 2+5+7a 是3的倍数
考虑两边加 5+7a 后
使得 3+5+7a 是5的倍数
对于 5+7a 我们取 a=1，2，3，……，发现当a=11时，5+7a=82
对于式子x=7n3+2 ，（82+2）÷7=12
对于式子x=3n1+2 ，（82+2）÷3=28
对于式子x=5n2+3 ，（82+3）÷3=17
结论：等式两边加82
同学们可以尝试一下如果是减法，应该减去哪个数.
解决问题：《孙子算经》中的题目
x=3n1+2
x=5n2+3
x=7n3+2
x+82=3n1+2+82
x+82=5n2+3+82
x+82=7n3+2+82
x+82=3(n1+28)
x+82=5(n2+17)
x+82=7(n3+12)
所以 x+82=k·[3,5,7]=k·105, k=1,2,3,…
即 x =105k-82, k=1,2,3,…
这个问题也有无穷多个解,其中第一个解是23.
另一解法：如果是减法，那减去的数是23，
x-23=3(n1-7)
x-23=5(n2-4)
x-23=7(n3-3)
所以 x-23=k1·[3,5,7]=k1·105, k1=0,1,2,3,…
即 x =105k1+23, k1=0,1,2,3,…
当k1取0时，x=23是正数，符合要求.
每5人一列，余1人；
每6人一列，余5人；
每7人一列，余4人；
每11人一列，余10人；
问：最少有几人？
解决问题："韩信点兵"的故事
解：设问题中的最少人数是x人,
由题意可得方程组
x=5n1+1 ①
x=6n2+5 ②
x=7n3+4 ③
x=11n4+10 ④
观察第四个式子 x=11n4+10 ④
左右两边同时加1 x+1=11n4+10+1
左右两边同时加11a x+1+11a=11n4+10+1+11a a=1,2,3,…
x+1+11a=11(n4+1+a) a=1,2,3,…
解决问题："韩信点兵"的故事
对于 1+11a 需满足： 1+11a+1 是5的倍数 （x=5n1+1 ① ）
1+11a+5 是6的倍数 （x=6n2+5 ②）
1+11a+4 是7的倍数 （x=7n3+4 ③）
当a=18时 1+11a 能够满足上述条件
即 1+11a =1+11×18=199
x+199=5n1+1+199=5(n1+40) ①
x+199=6n2+5+199=6(n2+34) ②
x+199=7n3+4+199=7(n3+29) ③
x+199=11n4+10+199=11(n1+19) ④
所以 x+199=k·[5,6,7,11]=k·2310, k=1,2,3,…
即 x =2310k1-199, k=1,2,3,…
当k取1时，x=2111，故最少有2111人.
今有物不知其数，二二数之剩一，三三数之剩二，四四数之剩三，五五数之剩四，六六数之剩五，七七数之剩六，八八数之剩七，九九数之剩八，问物几何
1247年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中“物不知数”一题的方法推广到一般的情况，得到称为“大衍求一术”的方法，并将此方法写入《数书九章》中.这个结论在欧洲直到18世纪才由数学家高斯和欧拉发现的.所以世界公认这个定理是中国人最早发现的，特别称之为“中国剩余定理”.
该定理用现在的语言表达如下
设d1,d2,…,dn两两互素，设x分别被d1,d2,…,dn除所得的余数为r1,r2,…,rn,则x可表示为
x =k1·r1+k2·r2+…+kn·rn+kD
其中D是d1,d2,…,dn的最小公倍数；ki是d1,…,di-1,di+1,…,dn的公倍数、且被di,除所得余数为1;k是任意整数.
同学们要注意的是，使用该定理时，d1,d2,…,dn必须两两互素.前面的问题中，3,5,7是两两互素的，所以“三三数，五五数，七七数”得余数后可用此公式.5,6,7,11也是两两互素的，因此“韩信点兵”的问题也可以用该公式.
但“四四数，六六数，九九数”得余数后就不能用此公式，因为4,6,9并不是两两互素的.
问题:
有物不知其数,三三数之剩a,五五数之剩b,七七数之剩c,问物几何
该问题中，与定理里各符号相对应的是：d1为3,d2为5,d3为7;r1为a,r2为b,r3为c;k1为70,k2为21,k3为15;D为150.
所以该问题的解为
s=70a+21b+15c+105k,(k为整数,,k的选取应使s>0)
请同学们尝试用该定理解决《孙子算经》中的问题.
“中国剩余定理”不仅有光辉的历史意义，直到现在还是一个非常重要的定理.
1970年，年仅28岁的苏联数学家马蒂雅舍维奇(IO.B.MaTHaceBMY)解决了希尔伯特提出的23个问题中的第十问题，轰动了世界数学界.他在解决这个问题时，用到的知识十分广泛，而在一个关键的地方，就用到了我们祖先一千多年前发现的这个“中国剩余定理”.
①求“用2除余1,3除余2,…,用m除余m-1”的数.
②求“用a除余a-1,用b除余b-1,用c除余c-1”的数.
(a,b,c是任意大于1的自然数.)
③求“用2,3,4,5,6,7,8,9除都余1”的数.
④求“用5,7,9,11除都余2”的数.
课后思考
请同学们从“筛法”、“公倍数法”和“中国剩余定理”中选择合适的方法解决下面问题：
①求“用2除余1,3除余2,…,用m除余m-1”的数.
答：x=k·[2,3,…,m]-1,k=1,2,3,…
②求“用a除余a-1,用b除余b-1,用c除余c-1”的数.
(a,b,c是任意大于1的自然数.)
答：x=k·[a,b,c]-1,k=1,2,3,…
③求“用2,3,4,5,6,7,8,9除都余1”的数.
答：x-1=k·[2,3,4,5,6,7,8,9],
即x=k·[2,3,…,9]+1,k=0,1,2,3,…
④求“用5,7,9,11除都余2”的数.
答：x-2=k·[5,7,9,11],即x=k·[5,7,9,11]+2,k=0,1,2,3,…
课后思考
答案：

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