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社团课16《发展真正的数学》教案
课题 社团课16《发展真正的数学》 学科 数学
教学目标 1.学生能够了解泰勒斯、毕达哥拉斯的基本生平及其对数学的贡献；理解泰勒斯关于圆和三角形的证明；掌握毕达哥拉斯定理的基本内容；了解古希腊人面对的无解难题。 2.通过故事讲述、案例分析、小组讨论等方法，激发学生对古代数学的兴趣；培养学生逻辑思维能力和问题解决能力。 3.感受古希腊数学家勇于探索、追求真理的精神；培养学生的数学审美和数学文化素养。
教学重点 泰勒斯的证明方法和思路，毕达哥拉斯“万物皆数”思想的内涵，古希腊无解难题的内容和意义。
教学难点 理解泰勒斯证明中的逻辑关系，对“万物皆数”思想的深入思考，探讨无解难题所反映的数学本质。
教学过程 教师活动 学生活动
一、 复习导入 回顾前三节数学史的课程《原始的数学》、《数字与数的进步》以及《实用数学的开始》，并回答下列问题： 问题1：原始的数介绍了原始人是如何进行记数的？ 答案1：主要是利用相等思想来记数，例如一只羊对应一块石头，太阳表示1，眼睛表示2等等。 问题2：在古埃及、古巴比伦推动数学发展的原因是什么？ 答案：实际生活的需要，主要也是将数学知识运用于实际生活。 导入语：对了，在此之前的数学都是源于实际生活的需要，真正的数学诞生在公元前约6世纪的古希腊，从这里开始，真正的数学诞生了。 回顾前期学习的知识，翻阅笔记，并积极回答教师提出的问题。
二、 新知讲解 01 泰勒斯与他证明 正是在那个时期，那个地点，研究数学的人第一次挣脱了实践问题的束缚。他们提出问题并寻找解答，但不是为了运用到日常生活中，而是为了向自己解释世界的构造。如果说古埃及和古巴比伦的书吏研究数学是为了服务公众，那么古希腊人研究数学就是出于劳动之余的闲情逸致了。 古希腊不仅诞生了真正的数学和其他科还创造了现代人生活中不可或缺的要素：从哲学到民主制，应有尽有。 但更重要的是，古希腊的数学家不属于任何一个特殊的社会阶层。他们的知识并非神赐，也不是父子相传。 在古希腊，任何有心人都能成为数学家，任何人都能向数学家询问为什么要这样解题，而不是用别的方法。如果答案不能让人信服，就会发生争论。要知道，这对科学的发展是非常有益的，因为争论往往能产生真理。 在古埃及，我们唯一知道的与数学有关的名字就是托特，而古希腊则给了我们一大群著名的数学家。 泰勒斯 米利都人 生于公元前624年 古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家 他年轻时漫游四方，曾去过古巴比伦和古埃及，在各地寻求新的数学知识。当泰勒斯来到古埃及时，他做的第一件事就是计算每座金字塔的高度，这叫古埃及人非常惊奇。 古埃及人早就忘了这些金字塔的高度是多少，也不清楚该怎么重新计算。事实上这非常简单：只要在金字塔旁边插一根棍子，等太阳升起来时算出金字塔的影子长度是棍子影子长度的几倍（金字塔的影长还应加上其底座边长的一半），那么金字塔的高度也就是棍子高度的几倍。需要注意的是，必须在同一时间测量两者的影长。这也就是我们现在所说的相似三角形定理。 在古巴比伦，泰勒斯从当地的书吏那儿学到了观星的知识，他甚至可以根据古巴比伦天文学家的星历表预测日食和月食的发生时间，这项本领着实叫他家乡的人惊讶不已。 泰勒斯还做了一件让古希腊人更惊讶的事，那就是靠天文观测预测到了橄榄的丰收并借此赚了一大笔钱。他在冬天以低价租人大量榨油机，等橄榄丰收时再以高价出租。不过，这样做只是为了证明知识也能带来利润，泰勒斯对利润本身并不感兴趣。比起追求金钱，泰勒斯更愿意把时间花在表述和证明数学定理上。 人们普遍认为，他证明了假如一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的两个角也相等。 问题1：泰勒斯的这个证明是我们现在所学的什么知识？ 答案1：等腰三角形的性质，等边对等角。 他还证明了另一个有趣的事实：假如在一个圆里画内接三角形，并让三角形的一边经过圆心，那么这条边正对的那个角一定是直角。 人们还把以下证明也归功于泰勒斯：如果画条经过圆心的直线，那么这条线会把圆分成相等的两半。 讲到这里，同学们可能会说：“这不是很明显么，用得着泰勒斯说嘛！干吗要证明这种简单的东西呢？” 其实，科学方法的本质就在于对哪怕是看上去显而易见的东西进行证明。而泰勒斯就是历史上第一位进行这种研究的数学家。 当泰勒斯年迈之时，有一位叫毕达哥拉斯的少年从萨摩斯岛慕名前来拜访。泰勒斯把自己所知的一切都传授给了他，然后建议他去古埃及学习更多的数学知识。 02 毕达哥拉斯：万物皆数 毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年~约前500（490）年），古希腊数学家、哲学家。 毕达哥拉斯高兴地接受了泰勒斯的建议，他不仅去了古埃及，后来又去了古巴比伦。在那之后，他才在克罗托内定居下来，并创办了自己的学校，教学生们算术、几何、天文和音乐。 毕达哥拉斯和他的学生们在学校里讨论的并不是怎么弹竖琴，他们发现，如果改变琴弦的长度，那么同一根琴弦也能发出不同的声音。用手指把琴弦压短，发出的声音就高；把手指移向琴弦的顶端，使所压琴弦变长，发出的声音就低（今天我们也是利用这种原理弹吉他或拉小提琴的）。于是他们开始思考：为什么有的琴弦声音搭配起来很好听，有的琴弦却不知为什么，搭配发出的声音叫人讨厌。比如，松开的琴弦和压住正中间位置的相同琴弦（长度和粗细相同）产生的合音非常好听；或者在拨动松开的琴弦的同时，压住另一根相同琴弦的一的位置并拨弦，声音也相当好听。这门学问讲的其实是在拨弦之前应该按照什么样的比例去压弦，也就是毕达哥拉斯所说的“音乐”。 毕达哥拉斯学派认为由太阳、月亮、星辰的轨道和地球的距离之比，分别等于三种协和的音程，即八度音、五度音、四度音。 为了研究音乐，毕达哥拉斯专门发明了种叫独弦琴的乐器。尽管它只有一根拉紧的琴弦，但毕达哥拉斯对这个发明非常满意，认为它胜过一切竖琴。他甚至大胆地宣称：整个宇宙就是一把巨大的琴，天体和群星在天穹中运动时便会奏响音乐。不过，除了毕达哥拉斯，还从没有人听到过这种天籁之音呢。 毕达哥拉斯不光觉得音乐是数，他还把世间万物都看作数。他对学生（也就是毕达哥拉斯学派的人）说：“万物皆数。”出于兴趣，他第一个把数分成了偶数和奇数、质数与合数。质数只能被1和自身整除，比如3、5、7和13都是质数；而合数除了能被1和自身整除，还能被其他的数整除。 可是，“万物皆数（整数和分数）”的观点被我们的老朋友————2的平方根给搞砸了。 学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。 这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这在希腊当时是人们普遍接受的信仰！可是为当时的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的 的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。（数学社团课22《历史上第一次数学危机》详细介绍了这个过程。） 选讲（根据学生的实际情况来确定是否讲解）：如何证明不是分数呢？ 毕达哥拉斯学派一直对这个数秘而不宣，因为它破坏了他们心目中和谐的世界图景--世间万物都能用整数和分数来表示。这让他们非常不好受。终于，在一个阳光灿烂的日子里，毕达哥拉斯突然灵机一动，知道该怎么办了：就算不是所有线段都能用数来表示也没关系，我们可以反过来干呀-用线段来表示所有的数！ 毕达哥拉斯定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 每个数都用一条特定长度的线段来表示，这样就能靠几何形状来进行加减乘除的运算和证明定理啦。2的平方根也就跟其他数一样，变成了一条能够被人掌控的线段，再也不会为难人了。 可随着时间的流逝，又出现了新的难题。 03 古希腊的无解难题 古希腊人用圆规和直尺在图上解决几何问题。不管问题有多棘手，迟早都会屈服于这两个简单的工具。只有三个问题坚决不肯让人解决。 第一个：首先是三等分角问题。平分一个角很简单：圆规转三圈，直尺画一条线。可三等分一个角就无论怎么画都不行了。 第二个：其次是化圆为方问题，也就是根据已知的圆画一个面积相等的正方形。 第三个：最后是倍立方问题，根据已知的立方体画一个体积是它两倍的立方体。 第三个问题尤其令古希腊人烦恼。他们觉得倍立方不应该有什么困难，因为他们都已经会根据已知的正方形画一个两倍大的正方形了呀。只要以原正方形的对角线为边画一个新的正方形就行了。可到了立方体这儿，类似的办法就行不通了。其实这很好理解：要把立方体的体积加倍，就必须画一条线段充当新立方体的边，而要用圆规和不带刻度的直尺在原立方体上画出这样一条线段是不可能的。 有一个关于倍立方问题的传说：有一年，代洛斯岛爆发了鼠疫，传达神谕的祭司预言说，战胜瘟疫的唯一办法就是把阿波罗神庙中的祭坛扩大到两倍。祭坛是个立方体，起初代洛斯岛的居民往上面加了一个同样的立方体，可是，这显然不是祭司想要的答案。 直到很久之后的19世纪，学者们才证明了这是无解的。三等分角和化圆为方问题也是如此。公元前4世纪的古希腊人自然不知道这一点，但他们已经开始怀疑了。雅典学院的学者梅内赫莫斯是第一个大胆提出质疑的人，他坚定地把圆规和直尺抛在一边，转而开始研究圆锥曲线。 梅内赫莫斯最喜欢做的事就是用平面分割圆锥。后来的古希腊数学家阿波罗尼奥斯推广了他的方法，从一个圆锥中截取得到不同类型的曲线：若截面与圆锥底面平行，那么截面就是圆；若截面有点儿倾斜，那么截面就是椭圆；若截面穿过圆锥底面，形成的可能是抛物线或双曲线。这就是所谓的圆锥曲线。如果你想亲眼看到这些现象，只需往高脚杯里倒点儿酒，然后让杯子倾斜，观察酒面形状的变化即可。 后来，梅内赫莫斯正是凭借这些新发现的曲线才弄清楚了要如何改变立方体的边长来使它的体积加倍。解法就这样出乎意料地找到了！数学家们因此建立了一整套圆锥曲线理论--单是阿波罗尼奥斯一人就证明了差不多400条定理，直到2000多年后的今天，人们都还在使用这套理论。 认真听讲，并做好笔记，便于后面回答教师所提出的问题。 思考如何计算金字塔的高度，能否利用我们现在所学的数学知识去计算。 分组讨论泰勒斯证明的意义，以及这些证明对后续数学发展的影响。 了解毕达哥拉斯的基本信息。 了解“万物皆数”理论，记录“第一次数学危机”，课后以小组为单位去收集相关资料，在下次社团课《历史上第一次数学危机》上分享自己收集到的资料。 思考这些难题为何无解，以及它们对现代数学和逻辑学的影响。 分组讨论这些难题对现代数学教育的启示，以及如何在日常学习中培养自己的数学思维和创新能力。
三、 课堂小结 回顾本节课的主要内容，强调泰勒斯、毕达哥拉斯等古希腊数学家对数学的贡献，以及他们勇于探索、追求真理的精神。 课后任务： 1.撰写一篇短文，介绍你最喜欢的古希腊数学家及其贡献。 2.思考并讨论：在现代社会中，我们如何继承和发扬古希腊数学家的精神？ 归纳总结本节课的重点内容，记录课后任务，并按时完成。
四、 教学反思 本节课通过故事讲述、案例分析、小组讨论等多种形式，旨在激发学生对古代数学的兴趣，培养他们的逻辑思维能力和问题解决能力。 在教学过程中，应注意引导学生积极参与，鼓励他们提出自己的见解和疑问，以促进学生的主动学习。 课后应及时收集学生的反馈，以便对教学设计进行调整和优化。

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