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社团课18《森林闯关游戏》教案
课题 社团课18《森林闯关游戏》 学科 数学
教学目标 1. 通过数学文化的介绍，提升对数学的兴趣；2. 了解莫比乌斯带的结构与特点；3. 了解数学界的著名奖项及其意义；4. 利用趣味数学题提升思维能力与数学素养。
教学重点 通过趣味数学题的解答，增强互动，提升学生的参与感。
教学难点 对于知识点较复杂的题目如何引导学生思考并得出答案
教学过程 教师活动 学生活动
一、情境引入 展示ppt课件，以游戏背景的形式引入今天的课题。神秘人：亲爱的同学，欢迎你来到神秘森林。在这个神秘森林有一些神奇种子，神奇种子能够开出不同的花朵，现在我将这些神奇种子送给你。我：哇！谢谢神秘人！神秘人：不客气，不过你需要答对问题才能拿到神秘种子。 现在就开始你的探险吧…… 准备好草稿纸和笔记本，听教师安排进入听课状态。
二、新知讲解 第一关：紫色城堡进行下面的乘法运算，你发现了什么规律？ 1x1 11x11 111x111 1111x1111 11 111x11 111如果继续增加1的个数，这种模式还会继续吗？奇妙的计算 1x1=1 11x11=121 111x111=12 321 1111x1111=1 234 321 11 111x11 111=123 454 321这个模式可以这样继续下去，你能继续计算下去吗？ 111 111x111 111=12 345 654 321 1 111 111x1 111 111=1 234 567 654 321 11 111 111x11 111 111=123 456 787 654 321 111 111 111x111 111 111=12 345 678 987 654 321在此之后，这一模式被打破，因为数字“进位”打破了这一模式。142 857x2=285 714 142 857x3=428 571 142 857x4=571 428 142 857x5=714 285 142 857x6=857 142 142 857x7=999 999 当我们将142 857乘以2、3、4、5或6时，你有发现？ 我们得到头尾相接的同一个数字序列，然后从不同的位置开始数。999 9 99则是额外的惊喜。神秘人：恭喜你拿到第一颗种子！第二关 小树林【材料阅读】质数是整个数学当中最迷人的研究对象之一。如果一个大于1的整数不是两个较小的数的积，则这个数是质数。质数序列的开头几位分别是2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,...注意到根据约定，1被排除在外。质数在数学中相当重要，因为每个整数都是质数的积。例如，2007=3x3x2232008=2x2x2x2512009=7x7x41而且(只有数学家才会关心这类事情,但它们其实非常重要,并且出人意料地难以证明),只有一种分解法,如果不算重新排列相关质数的顺序。例如,虽然也可以写成2008=251x2x2x2,但这不算不同的分解法。这一性质被称为“唯一质因子分解”。如果你在担心1算什么,那么数学家是将它视为零个质数的积。这些质数的分布似乎相当不可预测。除了2之外,它们都是奇数,因为偶数可以被2整除,因而除2本身之外的偶数都不会是质数。类似地,3是3的倍数中的唯一质数,依此类推。欧几里得证明了没有最大的质数。换言之,存在无穷多质数。对于任何给定质数p,总能找到比它大的质数。问题1：你能写出100以内的所有质数吗？答案1：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97共25个问题2：你能将2022写成质数的积吗？答案2：2022=2×3×337第三关 游乐城堡用正方形拼出正方形： 我们都知道,矩形地面可以用相同大小的正方形瓷砖铺满,只要矩形的边长是正方形边长的整数倍。但如果正方形瓷砖的边长各不相同呢 首个“用不同大小正方形拼出的矩形”由兹比格涅夫·莫龙在1925年发表。他用到了十块不同大小的正方形瓷砖,边长分别为3、5、6、11、17、19、22、23、24和25。不久以后,他又发现了一个用九块瓷砖拼出的矩形,所用瓷砖大小分别为1、4、7、8、9、10、14、15和18。你能用这些瓷砖拼出一个矩形吗 提示一下,拼出的矩形大小为32x33。那么能否用不同大小的正方形瓷砖拼出正方形呢 在很长一段时间里,人们认为这是不可能的。但在1939年,罗兰·斯普拉格发现55个不同大小的正方形可以拼出一个正方形。1948年,西奥菲勒斯·威尔科克斯发现24个正方形组合在一起可以拼出一个正方形。之后有一段时间,人们认为这一任务最少需要24个正方形,但阿德里亚努斯·迪韦斯泰恩在1962年用计算机算出只需21个正方形即可,并且这是所需的最小数目。其大小分别为2、4、6、7、8、9、11、15、16、17、18、19、24、25、27、29、33、35、37、42和50。你能用迪韦斯泰恩的21块瓷砖拼出一个正方形吗 提示一下,这个正方形的大小为112x112。第四关：方形城堡如图，你能不能找到一种连接电线的方法，将电冰箱、炉灶和洗碗机连接到三个对应的电源插座，使得任意两条电线都不相交（电线不能穿过厨房的墙，也不能穿过任何一件电器）？在普通的三维空间中，这道题似乎很牵强，但在二维空间里，这就是确确实实是个问题了（平面国的居民便要面对这样的问题）。第五关：大风车奇偶赛马每个整数都可以通过将适当的质数相乘而得到。如果需要偶数个质数相乘，则我们说那个数是偶类型。如果需要奇数个质数相乘，则我们就说那个数是奇类型。例如，96=2x2x2x2x2x3用到了六个质数，所以96是偶类型。另一方面，105=3x5x7用到了三个质数，所以105是奇类型。根据约定，1是偶类型。对于1到10的前十个整数，它们的类型分别是：奇类型 2 3 5 7 8偶类型 1 4 6 9 10从中我们可以发现一个相当惊人的事实：一般而言，奇类型的出现频率至少与偶类型的相当。不妨设想有“奇”和“偶”两匹马赛跑。让它们一开始时处在同一起跑线上，然后按顺序念出整数：1,2,3，．．．在每一步，如果下一个数是奇类型，则奇马前移一格；如果下一个数是偶类型，则偶马前移一格。因此，奇马似乎总是能并排或者领先。1919年，乔治·波利亚猜想，除了在最开始的第1步，奇马永远不会落后于偶马。计算表明，前一百万步确实如此。鉴于这沉甸甸的有利证据，可以确定任何数目的步数都会如此吗？如果不借助计算机，你可能会浪费大量时间在这个问题上，所以我将告诉你答案。波利亚错了！1958年，布赖恩·哈泽尔格罗夫证明了，在某一（未知）步，奇马落后于偶马。随着更快计算机的出现，人们可以验证更大数目。1960年，罗伯特·莱曼发现，在第906 180 359步偶马领先于奇马。1980年，田中实证明了，偶马在第906 150 257步首次领先。这样的事情使得数学家在没有得到证明之前不敢轻易下结论。它也表明，甚至像906 150 257这样的数也可以非常有趣和不同寻常。第六关：摩天轮莫比乌斯与莫比乌斯带奥古斯特·莫比乌斯是一位德国数学家，生于1790年，卒于1868年。他曾涉足多个数学领域，包括几何学、复分析以及数论，但主要因那个有着奇妙表面的莫比乌斯带而为人所知。你可以亲自做出莫比乌斯带。取一条纸带，比如两厘米宽、二十厘米长，然后弯曲这条纸带，使首尾两端相互靠近，最后将一端扭转180度，并将两端粘在一起。为了作对比，不妨以同样的方式做出一个没有扭转的圆柱面带。莫比乌斯带有很多玩法。下面试举三例。□如果用剪刀沿着圆柱面带的中央将其剪开，它会分成两个圆柱面带。而如果这样剪莫比乌斯带，情况又会怎样呢？□同样用剪刀剪，但这次是沿着宽度的1／3处剪开。圆柱面带和莫比乌斯带分别会发生什么？□做出一个类似莫比乌斯带的纸带，不过这次要扭转360度。这样做出的纸带有几个面？如果沿着中央剪开，会出现什么情况？请动手试试。莫比乌斯带因一个令人惊讶的特性而为人所知：它只有一个面。如果一只蚂蚁在圆柱面带上爬，它只能爬遍一半的表面-它所在的那一面。但如果蚂蚁在莫比乌斯带上爬，它就可以爬遍整个表面，因为莫比乌斯带只有一个面。你可以通过为带着色来检验这些说法。对于圆柱面带，你可以一面涂上红色，另一面涂上蓝色，两个面是截然不同的，哪怕它们只有一纸厚度之隔。但如果你开始为莫比乌斯带涂上红色，一直往前涂，直到没剩下空白，则最终整条带都会被涂上红色。第七关：小河流诺森布里亚的阿尔昆（Alcuin），又名弗拉库斯·阿尔比努斯·阿尔昆努斯或埃尔温，是一位学者、牧师和诗人。他生活在八世纪，最终成为查理曼宫廷的显贵。在写给皇帝的一封信中，他附上一道谜题，作为“算术的精妙”的一个例子。这个问题到现在仍有数学意义，问题大致如下：一位农民带着一头狼、一只山羊和一篮圆白菜去赶集。他遇到一条河，河边有一条小船。他一次只能把一样东西带到船上。狼和羊不能留在一起，同样羊和圆白菜也不能放在一块，原因很明显。还好，狼不喜欢吃圆白菜。农民怎样才能把这三样东西都带过河呢？答案：(1)带山羊过河;(2)空着船回来,带狼过河;(3)把山羊带回来,留下狼;(4)放下山羊,带圆白菜过河,并留下圆白菜;(5)空船回来,带山羊过河。（狼与圆白菜在相应的地方互换一下）第八关：樱花林哥德巴赫猜想：2000年，作为宣传阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的小说《彼得罗斯叔叔与哥德巴赫猜想》的噱头，费伯-费伯出版社悬赏一百万美元，奖给在2002年4月以前给出证明的人。当然，这个奖从未颁出，对此数学家毫不奇怪，因为这个问题悬而未决已经250多年了。一切始于1742年，当时克里斯蒂安·哥德巴赫在给欧拉的信中提出，每个偶数都是两个质数之和。在那时，1被认为是质数，所以2＝1＋1可以被接受，但现如今我们一般将哥德巴赫猜想重新表述为：每个大于2的偶数都是两个质数之和--常常有多种方式。例如，4=2+26=3+38=5+310=7+3=5+512=7+514=11+3=7+7欧拉在回信中表示，他确信哥德巴赫是正确的，但他无法给出证明-这个状况一直延续到了今天。今天。我们已经知道，每个大于4的偶数都是至多六个质数之和（这由奥利维耶·拉马雷在1995年证明），而由此可得出一个推论，任何大于5的奇数是至多七个质数之和。1997年，让-马克·德苏耶尔等人证明了，如果黎曼猜想成立，那么奇数哥德巴赫猜想（每个大于5的奇数都是三个质数之和）可由此推出。对于原始的哥德巴赫猜想，陈景润在1973年证明了，任何一个充分大的偶数都是两个质数之和，或者一个质数与一个半质数（两个质数的积）之和。到了2007年，托马斯·奥利韦拉-席尔瓦通过计算机验证了，对于1018以内的所有偶数，哥德巴赫猜想都成立。第九关：石头瀑布大数学奖项数学界虽然没有诺贝尔奖，但同样有几个声望相当的奖项，以及大量其他声望较小的奖项。1.菲尔兹奖：菲尔兹奖由加拿大数学家约翰·查尔斯设立，在1936年首次颁出。每四年，国际数学联盟将奖项颁给最多四位、年龄在40岁以下的世界顶尖数学家。奖励包括一枚金质奖章和一笔15000加拿大元的奖金（在我写作本书时，这相当于13500美元），但其声望被认为与诺贝尔奖齐平。2.阿贝尔奖：2001年，挪威政府新设了一个数学奖项，以纪念史上最伟大的数学家之一尼尔斯·亨里克·阿贝尔诞辰两百周年。每年，一位或多位数学家可分享六百万挪威克朗（约合一百万美元）的奖金-这已与诺贝尔奖得主的奖金相当了。奖项会由挪威国王在一个特别举办的仪式上颁发。3.邵逸夫奖：邵逸夫爵士是一位中国香港媒体大亨，也是一位长期热心慈善事业的慈善家。每年，奖项颁发给三个领域：天文学、生命科学与医学，以及数学，每个领域一百二十万美元。首届邵逸夫奖在2002年颁出。4.克莱千年奖：克莱数学研究所位于马萨诸塞州剑桥市，由波士顿商人兰登·T.克莱和拉维尼娅·D.克莱共同创办。它设立了七个奖项，为解决七个重大的数学未解问题各自悬赏一百万美元。这些“千年奖问题”代表了数学家所面对的一些最大的挑战。这些问题分别如下：□代数数论中的伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想□代数几何中的霍奇猜想□流体力学中纳维-斯托克斯方程解的存在性及光滑性□计算机科学中的P=NP 问题□拓扑学中的庞加莱猜想□复分析和质数理论中的黎曼猜想□量子场论中杨-米尔斯场的存在性及质量间隙虽然这些奖项一个还没有颁发出去，但现在庞加莱猜想已经得到了证明。主要突破由格里戈里·佩雷尔曼取得，许多细节则由其他数学家补充阐明。5.费萨尔国王国际奖：从1979年起，沙特阿拉伯的费萨尔国王基金会每年颁发伊斯兰服务奖、伊斯兰研究奖、阿拉伯文学奖、医学奖，以及科学奖。其中科学奖向数学家开放，并也有数学家获得该奖。6.沃尔夫奖：从1978年起，以色列的沃尔夫基金会（由里卡多·沃尔夫及其妻子弗朗西斯卡·苏维拉纳·沃尔夫创立）颁发五个科学奖，涉及农业、化学、数学、医学以及物理学。奖项包括一份证书以及100000美元奖金。问题：除了这里介绍的数学奖项以外，你还知道其他的数学奖吗？第十关：凉亭为什么没有诺贝尔数学奖？为什么当初阿尔弗雷德·诺贝尔没有设立数学奖？ 一个说法是，米塔格-莱弗勒做了某些事情，使得诺贝尔与之交恶。由于米塔格-莱弗勒是当时顶尖的瑞典数学家，诺贝尔意识到对方非常有可能得到数学奖，所以决定不设立数学奖。然而，正如拉尔斯·戈丁格和拉尔斯·赫尔曼德在1985年注意到的，诺贝尔在1865年离开瑞典前往巴黎，并很少再回去，而在1865年米塔格-莱弗勒还是一名学生。所以他们几乎没有产生交集的机会，所以这种说法显得不可靠。确实，在诺贝尔的晚年，米塔格-莱弗勒曾被选去说服诺贝尔，试图让他在遗嘱中给斯德哥尔摩大学捐赠一大笔钱，并且这次尝试最终失败了--但要是他已然惹恼了诺贝尔，他一开始根本就不会被选为说客。另一方面，不论如何，即使有诺贝尔数学奖，米塔格-莱弗勒也不大可能赢得这个奖，毕竟当时有很多比他更卓越的数学家。因此，更有可能的情况是，诺贝尔从没想过要设立一个数学奖，或者他不愿意花更多的钱。尽管如此，还是有几位数学家和数理物理学家因为在其他领域（物理学、化学、生理学或医学，甚至文学）的工作而获得了诺贝尔奖。他们中也有人在经济学领域获得了“诺贝尔奖”诺贝尔经济学奖是由瑞典国家银行在1968年出资设立的。你知道诺贝尔奖有哪些奖项吗？ 进行计算并讨论发现的规律。认真阅读材料，并记录下关键的信息，便于后面回答问题。思考问题1和问题2，与同学之间相互讨论并得到答案。小组讨论看看能否得出答案，和教师给出答案有何不同。在草稿纸上尝试找出答案，并和同学们之间的答案进行对比。试着动手做一个莫比乌斯带，并给它的一面涂上颜色，再观察，和同学之间分享交流自己的想法。思考：农民如何把这三样东西都带过河，并向同学们展示自己的答案。学习并了解哥德巴赫猜想。记录数学界相关的奖项。
三、课堂小结 神秘人：恭喜你，拿到第十颗种子。将所用种子带回去，来年春天会开花。归纳总结本节课的知识要点，并请学生回答本节课的收获。 归纳总结。
四、教学反思 1.教学过程反思：教学目标是否达到，学生兴趣是否被有效激发。学生在趣味题目解答中的表现，是否能够提升他们的思维能力。2.策略调整：对于较难理解的部分，如莫比乌斯带，可以增加更多的实际案例和动手环节。对于学生表现出的各种问题和误解，进行有针对性的补充讲解。这节课侧重于数学文化和趣味性，希望通过丰富的内容和互动活动，激发学生对于数学的兴趣和探究欲，同时提升他们的核心素养和跨学科能力。

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