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社团课20《向代数前进》教案
课题 社团课20《向代数前进》 学科 数学
教学目标 1.通过了解代数的发展历史，增强学生对数学文化的敬畏与自信。2.学生理解芝诺悖论，通过逻辑推理和演绎推理提升数学思维能力。3.学会用准确的数学语言描述公理和公设，并能清晰地表达个人观点。4.通过阿基米德的实用数学例子，让学生了解数学在实际生活中的应用。
教学重点 通过生动的PPT展示和视频讲解数学史上的重大事件和人物，使学生直观了解历史背景及其影响。
教学难点 如何设计提问互动环节，鼓励学生表达自己的理解和观点，培养他们语言表达和思维能力。
教学过程 教师活动 学生活动
一、课堂引入 同学们，提到代数，大家现在都不陌生，我们初中数学中数与代数就占了很大的比例，其中七年级上册大部分内容都是数学与代数，但是代数是如何发展起来的呢？古代的数学家是如何想到从具体的数字发展的到用字母表示数的呢？这对于当时的实际生活有什么意义呢？今天就让我们带着这些疑问走进今天的课堂吧！ 思考教师提出的问题，有疑惑、有想法的可以举手回答。
二、新知讲解 01向代数前进古希腊人在倍立方问题中碰到的困难清楚地表明，毕达哥拉斯用线段表示数的设想并没有解决所有重大的数学问题。虽然这个想法解决了2的平方根的问题，但只有几何还远远不够。遗憾的是，古希腊人直到古典时代的末期，也就是公元3世纪，才意识到这一点。在13卷的巨著《算术》中，数学家丢番图发明了用字母表示未知数的方法，并开始解答含有若干未知数的题目。这样一来，就不用编造关于房子、猫、老鼠和粮食之类的冗长题目了，只需列出含有未知数x的式子，必要时还可以加上y。为了解这种方程，丢番图发明了一些能简化解题过程的运算定律。举个例子，如果把等式一侧的一部分移到另一侧，就必须把它前面的符号变成相反的符号：减号变成加号，加号变成减号。不需要再用图来表示题目内容，因此就可以使用负数了。丢番图也没忘记详细说明运用负数的各种方法-万一有人不知道，两个负数相乘得到的是正数呢！古希腊人只在解题过程中使用负数，而不把负数本身当作真正的数。以下是一道含有两个未知数的题目。它不是丢番图出的，但完全可以用在现代的数学课本上。八爪鱼有8条腿，海星有5条腿，某水族箱中共有39条腿，请问八爪鱼和海星各有多少只？《算术》中一个著名的问题是：如何将一个已知的平方数分为两个平方数。任何有兴趣的古希腊人都可以向数学家提各种刁钻古怪的问题。问题越复杂，随之而来的争论就越有意思，数学的发展也就越迅速，提问者也能享有不逊于数学家的殊荣。02芝诺与芝诺悖论来自埃利亚的哲学家芝诺想出了许多巧妙的问题，要求数学家们给出答案：假如能让时间停止，会发现飞行的箭并不在飞，而是停在空中的一个特定位置。假如能让时间停在另一个瞬间，会发现箭还是停在空中不动。既然箭在任意的瞬间都是不动的，那它又怎么能飞呢？悖论！现在看一个最有名的悖论。阿基里斯①与乌龟赛跑，假设他让乌龟先跑100步，那他能追上乌龟吗？等阿基里斯跑完乌龟这100步时，乌龟已经往前爬了10步。等他跑完这10步时，乌龟又往前爬了1步。阿基里斯再跑1步，乌龟又往前爬了1/10步。这样下去，只要乌龟还在不停地爬，阿基里斯就永远都追不上乌龟。在这些悖论中，芝诺已经非常接近“连续性”和“无限性”这样的概念了。时间和空间是否可分，它们是否连续不断？是否存在无穷大的数或无穷小的分数？芝诺仿佛在用自己的悖论向数学家提问：“喂，数学家们，你们的科学真的能充分说明我们的世界吗？能做到一点儿矛盾都没有吗？”对于芝诺的问题，当年的学者给不出一致的回答，就算到了2500多年后的今天，相关的争论依然还在继续呢。同学们，你们对此有什么看法呢？03公设与公理数学家们听到的问题自然并不都是那么巧妙又有趣的。比如古埃及的国王就曾问过欧几里得：“除了读你的书，就没什么更简单的办法去了解数学了吗？”伟大的数学家只是耸耸肩说：“很遗憾，数学中没有专供国王走的康庄大道。”这场对话发生在公元前3世纪，但欧几里得的回答到了今天依然很有道理。只要随便翻开一本中学几何课本，就会发现大部分内容都是欧几里得最早在13卷巨著《原本》中加以阐述的。欧几里得在托勒密王朝首都-亚历山大里亚生活和工作。这里是已知最早开始向学者支付工资的城市，还修建了古代最大的图书馆。图书馆里保存着7万多份手卷。即便欧几里得没有读完那里的全部手卷，他也一定掌握了其中与数学相关的部分。“欧氏几何”直到今天都尚未过时，其基础是公设（人们从经验中总结出的几何常识）和公理（无需证明的基本命题）。例如，由任意一点到另外任意一点可作直线。再例如，分别与第三者相等的两者也彼此相等。至于这两者具体是什么，是线段、是角、是三角形，还是两个一模一样的蜜糖饼，其实并不重要。公设和公理并不多，剩下的命题被称为“定理”-这是必须加以证明的真命题。欧几里得为后来的数学家指明了研究的对象：点、线、面和体。5条欧氏几何公设说明了该如何处理这些对象。数学家怎么可能允许有不证自明的东西呢？看看人家泰勒斯，连＇直径平分圆＇这样一清二楚的事情都证明了。而且，万一欧几里得之后的某人把定理说成了公设呢？或者反过来，有人打算去证明某条公设呢？”事实的确如此：有人不愿无条件地相信公设和公理。他们不断尝试证明这些公设和公理，尤其怀疑那条令人十分费解的第五公设。起初，有人想出了一种简单得多的表达方式：过直线外的一点只能作一条与原直线不相交，也就是与之平行的直线。又过了许多个世纪，几名学者同时悟出了一个道理-可以有另一种第五公设不起作用的几何学：过直线外一点，与原直线平行的直线可能有很多条，也可能一条也没有。公元1世纪亚历山大里亚的天文学家梅涅劳斯就是一位著名的非欧数学家。他想象了一下平行直线继续延伸下去可能相交的情景，然后就创立了一种新的几何学。他是在球面上而不是在欧几里得的平面上展开的。这种几何学在天文学研究-或者说在天体几何的研究中很有用处。欧几里得不仅收集了古希腊全部的数学知识，他还为数学做出了自己的贡献，比如，证明了质数有无限多个、正多面体只有5种。就算在欧氏公理不完全适用的球面上研究几何，数学家们也得遵守证明定理的一般规则。于是，著名的哲学家亚里士多德向数学家们伸出了援手。早在公元前4世纪，亚里士多德就阐述了几条基本的逻辑规律。如果推理时遵守了这些规律，就说明推理者是位货真价实的学者；如果没遵守这些规律，就说明他不过是“半瓶醋”。规律一共只有三条。第一条是同一律：推理时不能改变概念的意义。要是有学者先是把三角形叫作“三角形”，5分钟后又把三角形叫作“正方形”，这种“学者”就该被轰出门去。第二条是矛盾律：一个命题可以和别的命题矛盾，但绝不能自相矛盾。要是有学者断定，某几个角相等且这几个角不相等，那就该把他赶出去。第三条是排中律：某命题及其否定中必有一真一假，不存在第三种情况。要是有学者说：“这是个圆，但这又不是圆。”另一个学者说：“你的两个看法，我都同意。”那就该掐着他的脖子把他撵走。04阿基米德与实用数学古希腊的数学家无疑为现代数学的产生打下了重要基础，甚至可以说创造了整个最初阶段。但是，也有人说：“这些抽象的理论有什么用呢！”这么想可就不对了，数学的用处大着呢！除了解决抽象的问题，古希腊人还有许多能用于实践的新发现。比如，他们学会了测量海岸与海上航船之间的距离。首先，测量时需要靠目测在岸与船之间作一条直线，再作一条与之垂直即与岸平行的直线。然后，在第二条线上找一个点，使得从这个点看船的视角为45°。这样的三角形中有两条相等的边，所以，只要测量岸上的线的长度，就能知道岸与船之间的距离。有一回，国王交给阿基米德一个任务：检查金匠做的王冠是不是用纯金制成的。阿基米德想了很久都没有头绪，直到有一天，他坐进装满水的浴缸泡澡，水开始往外流······突然，他灵机一动：要是把王冠放进装满水的浴缸里，那么溢出的水的体积就等于王冠的体积。后来阿基米德证明了：浴缸的方法不仅能用来测量王冠的体积，还能测量其他很多物体。因此，他提出了阿基米德定律，这条定律直到今天还能在中学课本里学到。不过，阿基米德一生中最重要的成就还是找到计算球的体积的方法。在他之前，没人敢碰这个问题，因为大家都搞不清该怎么对付这个四面八方都是圆弧的物体。阿基米德想出了一个办法：把球的体积与外切于球的圆柱的体积进行比较。阿基米德还证明了所有圆的周长与直径之比都是相等的。他借助正九十六边形算出了这个比的近似值，这就是后来的圆周率。当古罗马军队占领叙拉古时，一个士兵踩到了阿基米德的数学图稿，于是，阿基米德严厉地斥责了他。与只擅长打仗的古罗马士兵进行争论，这实在是个糟糕的选择，被激怒的士兵一剑刺死了这位75岁的伟大数学家。 认真听教师讲解，并思考古代的代数和现在的代数有什么区别与不同。学生分组讨论“芝诺悖论是否合理？用什么方法可以解决？”。各组选代表进行展示，教师适时点拨。积极发言表达自己的看法。回忆我们在数学课堂上是否学习到公设与公理，发言自己记得内容。了解阿基米德在研究数学时，所研究的和实际相关的数学知识，再思考自己生活中是否有这样和数学相关的内容。
三、课堂小结 同学们，通过本节课，你了解到了哪些数学家呢？对他们相应的成就了解了多少呢？他们的成绩都是数学发展史上不可忽略，是非常重要的内容，他们对于数学的探讨精神也是值得我们学习的。希望同学们下来后呢查找更多有关数学史上的有趣故事，然后在小组内和同学们交流沟通。 归纳总结本节课的内容，下来后收集相关资料。
四、教学反思 1.通过本节课的进行，反思学生对数学史及其应用的兴趣如何，需不需要进一步调整教学策略。2.在分组讨论和情境教学中，学生的参与度和理解力有无提升，有哪些环节需要改进。3.通过课后作业和反馈表了解学生对各知识点的掌握情况，从而调整后续教学计划。

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