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社团课22《历史上的第一次数学危机》教案
课题 社团课22《历史上的第一次数学危机》 学科 数学
教学目标 1.了解古希腊数学与毕达哥拉斯学派背景，学会关联并理解古希腊数学的基础知识和发展过程。认识毕达哥拉斯及其“万物皆数”的学说；2.理解数学危机的发生、发展与结果，了解第一次数学危机的起因、经过和结果的详细内容。认识危机对数学思维和发展的深远影响；3.理解历史上的第一次数学危机的本质。
教学重点 了解第一次数学危机的起因、经过和结果的详细内容
教学难点 理解历史上的第一次数学危机的本质
教学过程 教师活动 学生活动
一、课前导入 历史上,数学的发展有顺利也有曲折.大的曲折也可以叫做危机.危机也意味着挑战,危机的解决就意味着进步.所以,危机往往是数学发展的动力.数学发展史上共有三次数学危机.每一次都是数学的基本部分受到质疑.实际上,也恰恰是这三次危机引发了数学史上的三次思想解放,大大推动了数学科学的发展.今天我们要学习了解历史上第一次数学危机是如何发生的，又是如何解决的。
二、背景介绍 第一部分：数学背景介绍1.古希腊的数学古代希腊的地理范围包括希腊半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚西部沿海地带.那里自然条件优越.农业、手工业和航海业很早得到发展.公元前8世纪以后，希腊逐渐形成奴隶制社会，经济和科学得到发展，出现了许多奴隶制城邦.这些城邦加强了希腊和海外各地的商业联系，并为接触和吸收周边的文化提供了方便.从公元前6世纪起，逐步形成以雅典为中心的古希腊，出现了欧洲文化的第一个高峰，古希腊数学是其中的重要组成部分.古代希腊的第一个著名数学家是泰勒斯(Thales of Miletus,约公元前625-前547),他生于小亚细亚爱奥尼亚地区的滨海城市米利都.公元前6世纪上半叶，泰勒斯曾经去巴比伦和埃及进行商业活动，在那里学到了许多数学知识，他把这些数学知识带回希腊，在米利都创立了爱奥尼亚学派.继爱奥尼亚学派之后推动数学发展的主要是毕达哥拉斯学派.2.毕达哥拉斯毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家.毕达哥拉斯出生于爱奥尼亚沿海的萨摩斯岛.相传毕达哥拉斯青年时代曾就学于泰勒斯.以后他到过亚洲和埃及旅行，特别是在埃及，他学到了很多数学知识.约公元前530年，他返回故里，并建立了自己的学派.由于毕达哥拉斯坚持奴隶主贵族的立场和利益，与当时的“民主派”相悖，不久他被迫迁到意大利东海岸的克洛吞.公元前497年，他进行反对民主派的活动，因此被杀于米太旁登.毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，但以很大精力从事哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大的影响.3.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献1）数学证明的起始 2）数学抽象的提出 3）毕达哥拉斯定理第二部分：“万物皆数”学说1.“万物皆数”学说的要点（1）数是世界的法则，一切都可以归结为整数比（2）任意两条线段a、d都是“可公度的”2.“万物皆数”学说的实例毕达哥拉斯学派并不是仅仅从理论上谈论“万物皆数”,而是有大量的实例作为论据的.这里我们介绍毕达哥拉斯学派当时举出的两个实例.（1）形数“形数”体现了毕达哥拉斯学派把数量元素与几何元素紧密结合的观点，是最早的“数形结合”思想.（2）多个场合下的小整数比①产生谐音的各个弦的长度成小整数比②同名正多边形覆盖平面的情形(即铺正多边形地砖的情形)3.“万物皆数”学说的意义和影响毕达哥拉斯学派根据类似的观察确信：整个宇宙的现象依附于某种正整数的相互关系，“宇宙的和谐在于数”,神是以数的规律创造世界的.因此，毕达哥拉斯学派努力研究数学，企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的真理.据说，毕达哥拉斯学派把整个学习过程分成四大部分：数的绝对理论——算术；静止的数——几何；运动的数——天文；数的应用——音乐.这四门学科都被看成是数学学科，甚至一直到中世纪，它们仍然被包含在学校课程中，当时号称“四大科”,后来加上文法、逻辑、修辞，合称“七艺”. 认真听课，了解古希腊数学的背景和发展过程。认真听课，了解毕达哥拉斯，了解毕达哥拉斯学派在当时的地位。
三、新知讲解 第三部分：第一次数学危机毕达哥拉斯学派的"万物皆数”理论在当时看起来相当完美，但是对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是毕达哥拉斯学派成员自己的一个发现，用现在的语言就是：√2不能表成整数比.1.√2的发现与危机的产生（1）一个不能表成整数比的数边长为1的正方形，其对角线长度若记为c,则根据毕达哥拉斯定理，有c =1 +1 =2,推出c =2,如图，按照毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理论，c应该能表成整数比.但是毕达哥拉斯学派自己却证明了，当c =2时，c不能表成整数比.同学们，你们知道该如何证明吗？反证法证明：当c =2时，c不能表成整数比（2）不可公度的线段毕达哥拉斯学派“万物皆数”理论的另一个要点，是任意两条线段都是“可公度的".但是毕达哥拉斯学派的成员自己发现，这个命题也是错误的.证明如下.2.危机产生，封锁消息这样一来，毕达哥拉斯学派的“万物皆数”理论从根本上受到了冲击，数学史上称之为“第一次数学危机”.一开始，只有毕达哥拉斯学派的成员知道这些问题，他们非常恐慌.毕达哥拉斯学派是宗教式的组织，他们极力掩盖事实，希望在内部化解危机.传说一位成员希帕苏斯(Hippasus,公元前470年左右)泄露了秘密，竟被抛进大海.但纸是包不住火的，危机很快被大家所了解.人们致力于解决危机.不过这一危机不是局部的，而是全局的；不是表面的，而是本质的，并不那么容易解决.第四部分：危机的解除1."两个量的比相等"的新定义部分地消除了危机第一次数学危机冲击"万物皆数”理论的另一个要点，是“任意两条线段都是可公度的".而当时“两个量的比”及“两个量的比相等”都是依赖“任意两条线段都是可公度的”来定义的.一整套的“相似形”理论，又是在“两个量的比相等"的基础上建立起来的.这一危机，从根本上动摇了所有这些理论，事态非常严重，迫切需要解决.两个量的比相等，约公元前370年，希腊数学家欧多克斯(约公元前408—前347)和阿契塔斯天才地给出了“两个量的比相等"的新定义，从而部分地消除了危机.2.数系的扩张——危机的彻底解决第一次数学危机的彻底解决，依赖于数系的扩张.直到人类认识了实数系，这次数学危机才算彻底解决，这已经是两千多年以后的事情了.①古代观点：数轴对应于有理数集合②现代观点：数轴对应于实数集合（2）数系的扩张回过头来看数系的扩张，有以下三个过程①自然数系；②有理数系；③实数系.数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就彻底解决了.数的范围扩充以后，“万物皆数”的命题就是正确的了；不能表示成整数比的数，即无理数，也是实数系中的数了. 认真听课，对于重点内容进行记录，有不懂及时举手问教师。
四、课堂总结 思考：第一次数学危机的实质是什么？答：第一次数学危机的实质是“√2不是有理数，而是无理数；数系需要扩充” 归纳总结本节课内容。
五、教学反思 1.评估启发式教学和互动式学习对学生理解和思考的促进效果，调整问题设置和讨论环节。反思多媒体展示的有效性，优化视觉材料提升学生学习兴趣。2.分析学生在课堂上的表现，特别是小组讨论和问题答疑的情况，寻找需改进的教学方法和技巧。3.加强对学生思维能力和学科核心素养的培养，准备更多有助于理解和思考的课堂活动。通过课后问卷或反馈表了解学生对课程内容和形式的意见，优化教学设计。

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