资源简介

社团课23《中国剩余定理》教案
课题 社团课23《中国剩余定理》 学科 数学
教学目标 1.通过了解中国剩余定理，学生能够感受到中国古代数学家的智慧和创新能力，提高对中华优秀传统文化的认同感和自信心。2.学习并了解中国剩余定理，了解利用“公倍数”解决数学问题的方法。3.通过对中国剩余定理的学习，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
教学重点 通过讲解，结合问题引导学生探究中国剩余定理的内容及其应用。
教学难点 利用“公倍数法”解决两个问题。
教学过程 教师活动 学生活动
一、问题引入 问题1:《孙子算经》中的题目我国古代数学名著《孙子算经》中有"物不知数"的题目：今有物不知其数，三三数之剩2,五五数之剩3,七七数之剩2,问物几何 这里面有什么秘密呢 题目给出的条件，也仅仅是作除法时的余数；由此如何求出物体的总数 问题2:"韩信点兵"的故事韩信是汉高祖刘邦的大将，屡建战功.相传，韩信阅兵时，先让一队士兵5人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(1人);再让这队士兵6人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(5人);再让这队士兵7人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(4人),再让这队士兵11人一行排队从阅兵台前面走过，他记下最后一行士兵的人数(10人).然后韩信凭这些数求得这队士兵的总人数.这里面又有什么秘密呢 韩信记下的好像都是作除法时的余数，由此就可以求出士兵的总数吗 思考教师提出的问题，认真阅读题目中的条件。
二、“筛法”解决问题 为了逐步体会解决这类问题的方法，我们由浅入深，从另一个问题入手：另一问题是：今有物不知其数，二二数之剩1,三三数之剩2,四四数之剩3,五五数之剩4.六六数之剩5,七七数之剩6,八八数之剩7.九九数之剩8.问物几何 下面我们用"筛法"解决这一问题.题目问的是物体的个数，但似乎怎么数都数不尽，我们按照条件一步一步地过筛子，逐渐把满足要求的数字筛选出来，物体的个数是正整数，我们先把所有的正整数过第一遍筛子，筛选出"二二数之剩1"的数，即“用2除余1”的数，有：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…再把这些数过第二遍筛子，筛选出“三三数之剩2”的数，即“用3除余2”的数：5，11，17，23，…再把这些数过第三遍筛子，筛选出“四四数之剩3”的数，即“用4除余3”的数：11，23，…再从中挑"五五数之剩4"的数，…一直筛选下去，直到再从中挑“九九数之剩8”的数就可得结果.并且由于每次筛选后，都还有无穷多个数，所以解可能不是唯一的，很可能有无穷多个解.把这种解题方法总结为"筛法"是重要的进步.筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题.解决问题："韩信点兵"的故事每5人一列，余1人；（用5除余1）1，6，11，16，21，26，31，36，41，46，51，56，…每6人一列，余5人；（用6除余5）5，11，17，23，29，35，41，47，53，59，65，71，…每7人一列，余4人；（用7除余4）4，11，18，25，32，39，46，53，60，67，74，81，…每11人一列，余10人；（用11除余10）10，21，32，43，54，65，76，87，98，109，120，131，…问：最少有几人？要想知道“最少有几人”，还得把上面四组数的“…”写出来才行，有些麻烦，是否还有其他的方法呢？ 认真听教师讲解何为“筛法”，并记录笔记，对于有疑问的地方，可以举手与教师互动。思考是否还有其他方法，若没有请继续听老师讲解。
三、“公倍数法”解决问题 问题：今有物不知其数，二二数之剩1,三三数之剩2,四四数之剩3,五五数之剩4.六六数之剩5,七七数之剩6,八八数之剩7.九九数之剩8.问物几何 解决问题：二二数之剩1：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,…这一步列出了“用2除余1”的数组成的数列.这个数列实际上是用带余除法的式子得到的.“带余除法”是指整数的如下“除法”:对任意的被除数a,除数b≠0,必唯一存在商q和余数r,使 a =bq+r,0≤r四、中国剩余定理 1247年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》中“物不知数”一题的方法推广到一般的情况，得到称为“大衍求一术”的方法，并将此方法写入《数书九章》中.这个结论在欧洲直到18世纪才由数学家高斯和欧拉发现的.所以世界公认这个定理是中国人最早发现的，特别称之为“中国剩余定理”.该定理用现在的语言表达如下：设d1,d2,…,dn两两互素，设x分别被d1,d2,…,dn除所得的余数为r1,r2,…,rn,则x可表示为 x =k1·r1+k2·r2+…+kn·rn+kD其中D是d1,d2,…,dn的最小公倍数；ki是d1,…,di-1,di+1,…,dn的公倍数、且被di,除所得余数为1;k是任意整数.“中国剩余定理”不仅有光辉的历史意义，直到现在还是一个非常重要的定理.1970年，年仅28岁的苏联数学家马蒂雅舍维奇(IO.B.MaTHaceBMY)解决了希尔伯特提出的23个问题中的第十问题，轰动了世界数学界.他在解决这个问题时，用到的知识十分广泛，而在一个关键的地方，就用到了我们祖先一千多年前发现的这个“中国剩余定理”. 了解“中国剩余定理”，感受中国古代数学家的智慧和创新能力，提高对中华优秀传统文化的认同感和自信心
四、课后作业 请同学们从“筛法”、“公倍数法”和“中国剩余定理”中选择合适的方法解决下面问题：①求“用2除余1,3除余2,…,用m除余m-1”的数.②求“用a除余a-1,用b除余b-1,用c除余c-1”的数.(a,b,c是任意大于1的自然数.)③求“用2,3,4,5,6,7,8,9除都余1”的数.④求“用5,7,9,11除都余2”的数. 记录作业，课后与同学相互讨论完成作业。
五、教学反思 1.通过本节课教学，学生是否能理解中国剩余定理并利用其解决问题？需反思教学目标达成度和学生反馈情况，调整后续教学计划。2. 引导探索法和小组合作学习的实施效果如何？学生是否能自主探索并相互协助解决问题？3. 本节课内容是否适当？讲解和练习的比例是否合理？需根据反思调整内容安排，使课堂教学更加高效。

展开更多......

收起↑