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1.5 角平分线
第一章 三角形的证明及其应用
第2课时 三角形三条内角的平分线
本节课内容简介
1.三条内角的角平分线的探究（内心）
2.角平分线的相关应用
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
猜想：三角形的三条角平分线相交于一点.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，这三条垂线段有什么特点？
猜想：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明以上两个猜想吗？
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
求证：∠A 的平分线经过点 P，
且 PD = PE = PF.
证明结论
D
E
F
A
B
C
P
N
M
三角形的内角平分线
1
∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即∠A 的平分线经过点 P.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为 D，E，
∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
归纳总结
例1 1.如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
求点 O 到△ABC 三边的距离和为 .
M
A
B
C
P
O
D
温馨提示：不存在垂线段——构造应用
12
E
N
巩固应用：
2.如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180° － 70°＝110°.
例2 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
例2 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，
DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE = CD = 4 cm.
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE.
在等腰 Rt△BDE 中，
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
例 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，△ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
M
A
B
C
P
O
D
温馨提示：不存在垂线段——构造应用
E
N
挑战一下：
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC.
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
三相等：三角形的三条角平分线交于一点（内心），
并且这一点到三条边的距离相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
应用
位置的选择问题
从春花浪漫至夏花绚烂！
作业：P44 2、4

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