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(共65张PPT)
8.3.2　独立性检验
1. 理解利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性（数学抽象）.
2. 掌握运用2×2列联表的方法解决独立性检验的简单实际问题（数学运算）.
课标要求
最新研究发现，花太多时间玩电脑游戏的儿童，患多动症的风险会加倍.
青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的电脑游戏，一旦如此，
他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力.研究人员对1 323
名年龄在7岁到10岁的儿童进行调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们
在13个月里玩电脑游戏的习惯.同时，教师记下这些孩子出现的注意力不
集中问题.统计获得下列数据：
情境导入
是否玩 电脑游戏 注意力是否集中 合计
注意力不集中 注意力集中
不玩电脑游戏 268 357 625
玩电脑游戏 489 209 698
合计 757 566 1 323
从这则新闻中可以得出哪些结论？ 有多大把握认为你所得出的结论正确？
知识点一 独立性检验的理解
01
知识点二 有关“相关的检验”
02
知识点三 有关“无关的检验”
03
课时作业
04
目录
知识点一 独立性检验的理解
01
PART
问题　有人说：“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟和患肺癌
有关，是指每100个吸烟者中就会有99个患肺癌的.”你认为这种观点正确
吗？为什么？
提示：观点不正确.犯错误的概率不超过0.01说明的是吸烟与患肺癌有关
的程度，不是患肺癌的百分数.
【知识梳理】
1. 分类变量X和Y独立：如果{X＝0}与{Y＝0}独立；{X＝0}与{Y＝1}独
立；{X＝1}与{Y＝0}独立；{X＝1}与{Y＝1}独立.我们就称分类变量X
和Y独立.
2. 独立性检验
（1）利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检
验，读作“卡方独立性检验”，简称 ；
（2）χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
独立性检验　
　
3. 对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则：
（1）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯
错误的概率不超过 ；
（2）当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y
.
4. χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α　
独
立　
【例1】　（1）〔多选〕某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计
量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P
（χ2≥2.706）≈0.10，P（χ2≥3.841）≈0.05，现给出四个结论，其中正
确的是（　AD　）
AD
A. 因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患
肺病与吸烟有关”
B. 因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺
病与吸烟有关”
C. 因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患
肺病与吸烟无关”
D. 因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺
病与吸烟无关”
解析： 因为χ2＝3.305，且3.305＞2.706，由临界值表知，P
（χ2≥2.706）≈0.10，所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患
肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；因为临界值3.841＞3.305，则依
据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”，即B不
正确，D正确.
（2）为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进
行调查统计，得到如下2×2列联表：
性别 冰雪运动 合计
关注 不关注
男 45 10 55
女 25 20 45
合计 70 30 100
则下列说法正确的是（　A　）
A
参考公式：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d.
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A. 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有
关”
B. 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别无
关”
C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无
关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有
关”
解析： 依题意，χ2＝ ≈8.129＞6.635＝x0.01，所
以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有
关”，A正确，B、C不正确；而8.129＜10.828＝x0.001，在犯错误的概率
不超过0.1%的前提下，没有充分的证据认为“关注冰雪运动与性别有
关”，D不正确.
【规律方法】
根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出
结论.
训练1　〔多选〕某研究所为了检验新开发的疫苗的预防作用，对1 000名
注射了疫苗的人与另外1 000名未注射疫苗的人的一年的健康记录进行比
较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P
（χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（　CD　）
A. 这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1%
B. 若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病
C. 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为这种疫苗能起到预防该疾病
的作用
D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为这种疫苗能起到预防该疾
病的作用
CD
解析：　由P（χ2≥6.635）≈0.01可知，C、D正确，A、B不正确.
知识点二 有关“相关的检验”
02
PART
【例2】　（链接教材P133例4）为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别
有关，对本班45人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男 5
女 5
合计 45
已知在45人中随机抽取1人，是男同学的概率为 .
（1）请将上面的2×2列联表补充完整；
解： 依题意，男同学有45× ＝25（人），
女同学有45－25＝20（人）.
补充2×2列联表如下：
性别 打篮球 合计
喜爱 不喜爱
男 20 5 25
女 5 15 20
合计 25 20 45
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析喜爱打篮球是否与性别
有关.
参考公式：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解： 零假设为H0：喜爱打篮球与性别无关.
根据表中数据，计算χ2＝ ＝ ≈13.613＞10.828＝
x0.001，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜爱
打篮球与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001.
【规律方法】
分类变量χ2独立性检验的步骤
（1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；
（2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值；
（3）查临界值表，结合所给小概率值 α，比较χ2与xα的大小；
（4）根据检验规则得出结论.
训练2　打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患心脏病有关.下表是一次调
查所得的数据：
打鼾 心脏病 合计
患病 未患病
每晚都打鼾 30 224 254
不打鼾 24 1 355 1 379
合计 54 1 579 1 633
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为每晚都打鼾与患心脏病
有关系？
解：零假设为H0：每晚都打鼾与患心脏病没有关系.
由列联表中的数据，
得χ2＝ ≈68.033＞10.828＝x0.001.
根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为每
晚都打鼾与患心脏病有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
知识点三 有关“无关的检验”
03
PART
【例3】　（链接教材P131例2）某省进行高中新课程改革，为了解教师对
新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教
学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老年教师20
人，青年教师30人.老年教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的
有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人.
（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
解： 2×2列联表如下表所示：
教师年龄 对新课程教学模式 合计
赞同 不赞同
老年教师 10 10 20
青年教师 24 6 30
合计 34 16 50
（2）试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的
赞同情况与教师年龄是否有关系.
解： 零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关.
由公式得χ2＝ ≈4.963＜6.635＝ ，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认
为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关.
【规律方法】
独立性检验的关注点
（1）χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李
戴；三是计算时要细心；
（2）判断时把计算结果与临界值进行比较，其值越大，有关的可信度
越高.
训练3　下表是某校某届本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是
否知道想学专业的调查表：
性别 是否知道想学专业 合计
知道想学专业 不知道想学专业
男生 63 117 180
女生 42 82 124
合计 105 199 304
根据表中数据，下列说法正确的是 .（填序号）
①性别与知道想学专业有关；
②
②性别与知道想学专业无关；
③女生比男生更易知道所学专业.
解析：χ2＝ ≈0.041＜2.706＝x0.1，根据小概率值α
＝0.1的χ2独立性检验，知性别与知道想学专业无关，故①错误，②正确；
男生知道想学专业的概率为P1＝ ＝ ，女生知道想学专业的概率为P2
＝ ＝ ，P1＞P2，故③错误.
1. 调查中学生的视力情况时发现，某校160名男生中有90名近视，150名女
生中有75名近视，在检验这些中学生的眼睛近视是否与性别有关时用什么
方法最有说服力（　　）
A. 平均数 B. 方差
C. 回归分析 D. 独立性检验
解析： 　近视与性别是两类变量，在检验两个随机事件是否相关时，最
有说服力的方法是独立性检验.故选D.
√
2. 依据α＝0.05的独立性检验，下列选项中，认为“A与B有关系”的χ2
的值为（参考数据：P（χ2≥3.841）＝0.05）（　　）
A. 2.700 B. 2.710
C. 3.765 D. 5.014
解析： 　∵5.014＞3.841，∴D正确.
√
3. 〔多选〕为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实
验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的
数据计算得χ2≈9.616.参照附表，下列结论正确的是（　　）
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物有效”
B. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”
C. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”
D. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物无效”
√
√
解析： 　因为χ2≈9.616，所以7.879＜χ2＜10.828，所以根据小概率值α
＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”；根据小概率值α＝0.005
的独立性检验，分析认为“药物有效”.故选B、C.
4. 考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的数据：
是否得病 种子是否经过处理 合计
种子经过处理 种子未处理
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据得χ2的值是 （精确到0.001）.
解析：依题意χ2＝ ＝
≈0.164.
0.164
课堂小结
1. 理清单
（1）独立性检验的理解；
（2）独立性检验的应用.
2. 应体会
利用公式法计算χ2的值.
3. 避易错
对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题.
课时作业
04
PART
1. 下列对两个分类变量A，B的说法中正确的个数为（　　）
①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则χ2的值就越
大；③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析： 　①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，χ2的值的大
小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，由等高堆积条形图也可
判定A与B是否相关.故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
2. 某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运
用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支
持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过（　　）
A. 0.1% B. 1%
C. 99% D. 99.9%
解析： ∵χ2＝7.069＞6.635＝x0.01，∴认为“学生性别与支持某项活动
有关系”的犯错误的概率不超过1%.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的倍
数为（　　）
A. 8 B. 4
C. 2 D. 不变
√
1
2
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12
解析： 　由公式χ2＝ 中所有值变为原来的2
倍，得（χ2）'＝ ＝
＝2· ＝2χ2，故χ2也
变为原来的2倍.故选C.
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4. 根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.974.依据α＝0.05的独
立性检验，结论为（　　）
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
B. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
D. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
√
1
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12
解析： 　因为α＝0.05时xα＝3.841，所以χ2＝3.974＞xα＝3.841，所以
变量x与y不独立，且这个结论犯错误的概率不超过0.05.故选B.
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5. 〔多选〕（2025·烟台一中高二月考）关于统计量χ2，下列说法正确的是
（　　）
A. 统计量χ2的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强
B. 若求出统计量χ2＝6.31，由于6.31比较接近x0.01＝6.635，因此能推断
两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01
C. 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量χ2所代
表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的
D. 根据统计量χ2的构造过程可知，χ2的值越小，零假设H0成立的可能性越大
√
√
1
2
3
4
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6
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解析： 　对于选项A，统计量χ2的值越大，两个分类变量相关的可能性
越大，与线性相关程度无关，故A错误；对于选项B，因为χ2＝6.31＜
6.635，在犯错误概率不超过0.01的前提下，没有足够条件推断两个分类
变量有关系，故B错误；对于选项C，根据独立性检验思想可知，独立性检
验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量χ2所代表的这种差
异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的，故C正确；对于选项
D，根据独立性检验思想可知，χ2的值越小，零假设H0成立的可能性越
大，故D正确.故选C、D.
1
2
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6. 〔多选〕有两个分类变量X，Y，其一组的调查数据如表所示，
X Y
Y1 Y2
X1 a 20－a
X2 15－a 30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下
认为X，Y有关，则a的值可以为（　　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
√
√
1
2
3
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5
6
7
8
9
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12
解析： 　由列联表中数据，得χ2＝ ＝
＞3.841，由a，15－a均为大于5的整数，得5＜a＜10，
a∈Z，解得a＝8或a＝9.故选C、D.
1
2
3
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12
7. 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量
的电离辐射照射小白鼠.照射14天后的结果如下表所示：
剂量 小白鼠 合计
死亡 存活
第一种剂量 14 11 25
第二种剂量 6 19 25
合计 20 30 50
进行独立性检验的零假设是
，χ2≈ .（结果保留两位小数）
解析：由列联表中的数据得χ2＝ ≈5.33.
小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量无
关
5.33　
1
2
3
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6
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12
8. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关
系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据α＝
0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据α
＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2可取
的整数值为 .
附表：
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解析：由题知χ2∈[5.024，6.635），故χ2可取的整数值为6.
6　
1
2
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4
5
6
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12
9. 两个分类变量X和Y的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分
别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于
97.5%，则c＝（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
附：
α 0.05 0.025
xα 3.841 5.024
√
1
2
3
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8
9
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11
12
解析： 　列2×2列联表如下：
X Y 合计
y1 y2
x1 10 21 31
x2 c d 35
合计 10＋c 21＋d 66
故χ2＝ ≥5.024.把选项A、B、C、D代入验证可
知选A.
1
2
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12
10. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否
有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的 ，男生追星人
数占男生人数的 ，女生追星的人数占女生人数的 ，若在犯错误的概率不
超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少
有 人.
参考数据及公式：χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
12
1
2
3
4
5
6
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11
12
解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下：
性别 是否追星 合计
追星 不追星
男生 x
女生
合计 x
1
2
3
4
5
6
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9
10
11
12
若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星和性别有关，则
χ2≥3.841，由χ2＝ ＝ x≥3.841，解得x≥10.24，因为 ，
， 均为整数，所以若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否追星
和性别有关，则男生至少有12人.
1
2
3
4
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8
9
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12
11. 在某校对有心理障碍的学生进行测试得到如下列联表：
性别 心理障碍 合计
焦虑 说谎 懒惰
女生 5 10 15 30
男生 20 10 50 80
合计 25 20 65 110
则在这三种心理障碍中 与性别关系最大.
说谎
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量 ， ， .由表
中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表：
性别 是否焦虑 合计
焦虑 不焦虑
女生 5 25 30
男生 20 60 80
合计 25 85 110
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
零假设为H0：焦虑与性别无关.可得 ＝ ≈0.863＜
2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0
不成立，因此可以认为H0成立，即认为焦虑与性别无关.同理列出说谎是
否与性别有关的2×2列联表：
性别 是否说谎 合计
说谎 不说谎
女生 10 20 30
男生 10 70 80
合计 20 90 110
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
＝ ≈6.366＞3.841＝x0.05，依据小概率值α＝0.05
的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为说谎与性别有关.同理得 ＝
≈1.410＜2.706＝x0.1.依据小概率值α＝0.1的独立性
检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为懒惰与
性别无关.综上，三种心理障碍中说谎与性别关系最大.
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12. 某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1 000名学生进行
了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如图所示的两个等高堆积条形图，其
中被调查的男、女学生比例为3∶2.
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（1）求m，n的值（结果用分数表示）；
解： 由题可知被调查的男、女学生分别为600人，400人，
男生有飞天宇航梦的有600×0.7＝420人，无飞天宇航梦的有600×0.3＝
180人，
女生有飞天宇航梦的有400×0.6＝240人，无飞天宇航梦的有400×0.4＝
160人，
所以m＝ ＝ ，n＝ ＝ .
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（2）完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值α＝0.001的χ2独立
性检验，能否判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关？
性别 有无飞天宇航梦 合计
有飞天宇航梦 无飞天宇航梦
男
女
合计
附临界值表及参考公式：
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α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
解： 根据（1）中数据填表，
性别 有无飞天宇航梦 合计
有飞天宇航梦 无飞天宇航梦
男 420 180 600
女 240 160 400
合计 660 340 1 000
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零假设为H0：学生性别和是否有飞天宇航梦无关.根据列联表中数据，
可得χ2＝ ＝ ≈10.695＜10.828＝
x0.001，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们没有充分证据推断H0不成
立，
因此可以认为H0成立，即认为学生性别和是否有飞天宇航梦无关.
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