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(共56张PPT)
第二课时　组合的综合应用
1.能用组合知识求解具有限制条件的组合问题（数学建模、数学运算）.
2.能用排列与组合解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）.
课标要求
知识点一 有限制条件的组合问题
01
知识点二 与几何有关的组合问题
02
知识点三 组合中的分组、分配问题
03
课时作业
04
目录
知识点一 有限制条件的组合问题
01
PART
【例1】　（链接教材P25例7）课外活动小组共13人，其中男生8人，女生
5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条
件各有多少种选法？
（1）至少有一名队长当选；
解： 法一　至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队
长，故共有 · ＋ · ＝825（种）.
法二　采用排除法有 － ＝825（种）.
（2）至多有两名女生当选；
解： 至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、
没有女生，故共有 · ＋ · ＋ ＝966（种）.
（3）既要有队长，又要有女生当选.
解： 分两种情况：第一类，女队长当选，有 种；
第二类，女队长不当选，则男队长当选，有 · ＋ · ＋ · ＋
种.
故共有 ＋ · ＋ · ＋ · ＋ ＝790（种）.
解：分两类情况：第一类，没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名
学生中选取5人，有 ＝462（种）选法.
第二类，一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法
有： ＋ ＝660（种）选法.
所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122（种）.
变式　在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？
【规律方法】
有限制条件的组合问题主要有两类
（1）“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取
出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；
（2）“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类
法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重
不漏.
训练1　某医院有内科医生10名，外科医生4名，现选派4名参加某援助医
疗队，其中：
（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
解： 只需从剩余的12人中选2人，
共有 ＝66（种）.
（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
解： 法一（直接法）　至少有一名内科医生和一名外科医生的选法
可分三类：
一内三外；二内二外；三内一外，
所以共有 ＋ ＋ ＝790（种）.
法二（间接法）　由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的
选法种数，得 －（ ＋ ）＝790（种）.
知识点二 与几何有关的组合问题
02
PART
【例2】　如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于
A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，
B的四个点D1，D2，D3，D4.
（1）以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多
少个？
解： 法一　可作出三角形 ＋ · ＋ · ＝116（个）.
其中以C1为顶点的三角形有 ＋ · ＋ ＝36（个）.
法二　可作三角形 － ＝116（个），
其中以C1为顶点的三角形有 ＋ · ＋ ＝36（个）.
（2）以图中的12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四
边形？
解： 可作出四边形 ＋ · ＋ · ＝360（个）.
【规律方法】
解答几何图形组合问题的策略
（1）几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多是
以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合.这类问题情
境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强；
（2）解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只
要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可；
（3）计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况
下，需要分类计算符合题意的组合数.
训练2　空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共
线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为（　　）
A. 205 B. 110
C. 204 D. 200
解析： 　法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分
类，则得到所有的取法总数为 ＋ ＋ ＋ ＝205.
√
法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点
的情况，得到所有构成四面体的个数为 － ＝205.
知识点三｜组合中的分组、分配问题
03
PART
【例3】　6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
解： 根据分步乘法计数原理得有 ＝90（种）.
（2）分为三份，每份两本；
解： 分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，这个过程可
以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将
这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方法.根据分步乘法计数原理可得
＝x ，所以x＝ ＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种
方法.
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本.
解： 在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有 · ＝360
（种）方法.
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
解： 这是“不均匀分组”问题，一共有 ＝60（种）方法.
【规律方法】
分组、分配问题的求解策略
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
（2）分配问题属于“排列”问题.可以按要求逐个分配，也可以分组后再
分配.
训练3　将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒
子中.
（1）有多少种放法？
解： 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放
入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256（种）放法.
（2）每盒至多1个球，有多少种放法？
解： 这是全排列问题，共有 ＝24（种）放法.
（3）恰好有1个空盒，有多少种放法？
解： 法一　先将4个小球分为3组，有 种放法，再将3组小球投
入4个盒子中的3个盒子，有 种投放方法，故共有 · ＝144（种）
放法.
法二　先取4个球中的2个“捆”在一起，有 种选法，把它与其他2个球
共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有 种投放方法，所以共有
＝144（种）放法.
（4）每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有
多少种放法？
解： 1个球的编号与盒子编号相同的选法有 种，当1个球与1个盒子
的编号相同时，用局部列举法可知，其余3个球的投放方法有2种，故共有
2 ＝8（种）.
用隔板法解相同元素的分配问题
1. 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？
提示：165
2. 将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则不同
的名额分配方法共有 　　　　种（用数字作答）.
提示：84
3. 从4个班中选出7位同学组成体育啦啦队，每班至少1位同学，则不同的
名额分配方案共有 　　　　种（用数字作答）.
提示：20
【问题探究】
上述三个问题可归结为以下两个问题：
1. 把n个相同的小球放入m个不同的盒子中（n≥m≥1），要求每个盒子
非空，有多少种不同放法？
提示：先将n个小球排成一列，然后在它们之间形成的（n－1）个空（不
含两端的）中插入（m－1）块隔板，便将n个小球分割成m组，每组至少
有1个小球，这m组小球依次放入m个不同的盒子，（m－1）块隔板的一
种插法就对应了n个相同小球投入m个不同盒子的一种放法，故不同的放
法共有 种.
2. 将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，可以有空盒
的不同放法有多少种？
提示：法一　将m个盒子排成一排（并在一起的两盒子的外壁视为一块隔
板），除去两端的盒子的外壁，共有（m－1）块隔板；再把n个相同的小
球投放到m个不同的盒子中，不同的放法对应着n个球和（m－1）块隔板
的不同排法，于是问题转化为从（n＋m－1）个位置中选出n个位置放
球，共有不同放法 ＝ 种.
法二　“将n个相同的小球投放到m（n≥m≥1）个不同的盒子中，允许
有空盒子”的放法种数，等于“将n＋m个相同的小球投放到m
（n≥m）个不同的盒子中，每个盒子至少有1个球”的放法种数，根据问
题1可知，共 种不同放法.
【规律方法】
相同元素的分配问题用“隔板法”
“隔板法”的解题步骤：①定个数，确定名额的个数、分成的组数以及各
组名额的数量；②定空位，将元素排成一列，确定可插隔板的空位数；③
插隔板，确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用组合数求解
不同的分法种数.
【迁移应用】
将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的种数.
（1）每个盒子都不空；
解： 需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1组，可用3块隔板放
在6个小球之间的5个空隙中的任意3处，每种放法对应着一种分法，故共
有 ＝10（种）.
（2）恰有1个盒子空；
解： 恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入其中的3个盒
子中，每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的
任意2处，故共有 ＝40（种）.
（3）恰有2个盒子空.
解： 恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入其中的2个盒
子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在5个空隙中的任意1处，故共
有 ＝30（种）.
1. 一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个
球同色的不同取法有（　　）
A. 27种 B. 24种
C. 21种 D. 18种
解析： 　分两类：一类是2个白球有 ＝15（种）取法；另一类是2个黑
球有 ＝6（种）取法.所以共有15＋6＝21（种）取法.
√
2. 在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5
是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为（　　）
A. 6 B. 12
C. 18 D. 24
解析： 　根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字
中必须有5，6，7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有 ＝6
（种）.
√
3. 把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各
一人，则不同的分配方案有（　　）
A. 80种 B. 120种
C. 140种 D. 50种
解析： 　当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有 ＝20（种）不
同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有
＝30（种）不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中
有2人时，有 ＝30（种）不同的分配方案.故共有20＋30＋30＝80
（种）不同的分配方案.
√
4. 在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平
行线相互不平行.
（1）它们共能构成 个平行四边形；
解析： 第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行
四边形，故共有 ＝1 260（个）.
（2）共有 个交点.
解析： 第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以
共有 ＝80（个）.
1 260
80
课堂小结
1. 理清单
（1）有限制条件的组合问题；
（2）与几何有关的组合问题；
（3）组合中的分组、分配问题.
2. 应体会
解决组合的综合应用问题要注意间接法的应用.
3. 避易错
解决分组、分配问题时易忽视均匀分组.
课时作业
04
PART
1. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求
至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（　　）
A. 14 B. 24 C. 28 D. 48
解析： 　用间接法得不同选法有 － ＝14（种），故选A.
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√
2. 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下
述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种素菜和白米饭；（2）任
选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有
（　　）
A. 210种 B. 420种
C. 56种 D. 22种
解析： 　由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，
所以每天不同午餐的搭配方法共有 ＋ ＝210（种）.
√
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3. 如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，
ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，
B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为（　　）
A. 30 B. 42
C. 54 D. 56
解析： 　利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情
况，所以符合条件的三角形的个数为 － － ＝42.
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4. 2025年3月5日是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”62周年纪念日，某
志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要
求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方
法数是（　　）
A. 8 B. 12
C. 14 D. 20
解析： 　将4名志愿者分配到两所敬老院，则有以下两种分配方案：①一
所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有 ＝8（种），②两所敬老院
各安排两名志愿者，则有 ＝6（种），故共有8＋6＝14（种）方案.故
选C.
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5. 某班要从5名学生中选出若干人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，
每天只需1人，则不同的选择方法有（　　）
A. 10种 B. 60种
C. 120种 D. 125种
解析： 　5名学生中选出1人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有
＝5（种）；5名学生中选出2人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，
共有 ＝60（种）；5名学生中选出3人在星期一至星期三这3天参加
志愿活动，共有 ＝60（种）.所以不同的选择方法有5＋60＋60＝125
（种）.故选D.
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6. 〔多选〕某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区
义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动
一共20个名额，劳动模范必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，
则下列说法正确的是（　　）
A. 若1班不再分配名额，则共有 种分配方法
B. 若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有 种分配方法
C. 若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D. 若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
√
√
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解析： 　若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至
少1个，根据隔板法，有 种分配方法，故A错误；若1班有除劳动模范之
外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板
法，有 种分配方法，故B正确；若每个班至少3人参加，由于1班有2个
劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，再将10个名额
分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上
放置5个隔板即可，故有 ＝126（种），故C错误，D正确.故选B、D.
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7. 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，不同的排列方
法有 种.
解析：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选
出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没
有顺序，是组合问题，这样共有 ＝56（种）排法.
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8. 某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少
有1名队长，那么共有 种不同的选法.
解析：若只有1名队长入选，则选法种数为 · ；若两名队长均入选，
则选法种数为 ，故不同选法有 · ＋ ＝714（种）.
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9. 现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，
C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有 种.
解析：6位游客选2人去A风景区，有 种，余下4位游客选2人去B风景
区，有 种，余下2人去C，D风景区，有 种，所以分配方案共有
＝180（种）.
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10. 某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中
选取4人参加学校举行的汇报展示活动.
（1）如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？
解： 根据题意，在5名男生中任选2人，有 ＝10（种）选法，在5名
女生中任选2人，有 ＝10（种）选法，则4人中男生、女生各2人的选法
有10×10＝100（种）.
（2）如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
解： 根据题意，在10人中任选4人，有 种选法，若甲、乙都没有
参加，有 种选法，则有 － ＝140（种）符合题意的选法.
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（3）如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
解： 根据题意，在10人中任选4人，有 种选法，只有男生的选法
有 种，只有女生的选法有 种，则既有男生又有女生的选法有 －
－ ＝200（种）.
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11. 已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所
有线段在圆内的交点有（　　）
A. 36个 B. 72个
C. 63个 D. 126个
解析： 　此题可化归为圆上9个点可以组成多少个四边形，所有四边形的
对角线交点个数即为所求，所以交点有 ＝126（个）.
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12.4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规定：每位同学必须从甲、乙两道
题中任选一题作答，选甲题者答对得100分，答错得－100分；选乙题者答
对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情
况的种数是 .
解析：4位同学的总分为0，有以下三种情况：①4人都选择答甲题，2人答
对，2人答错，有 种情况；②4人都选择答乙题，2人答对，2人答错，
有 种情况；③2人答甲题且1人对1人错，2人答乙题且1人对1人错，有
×2×2种情况.综上，共有 ＋ ＋ ×2×2＝6 ＝36（种）情况.
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13. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同
的分配方案有 种（用数字作答）.
解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2，1，1分成三组，其分法有
种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有 种.所以
满足条件的分配方案有 · ＝36（种）.
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14. 已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点.
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
解： 所作出的平面有三类：
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有 · 个.
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有 · 个.
③α，β本身，有2个.
故所作的平面最多有 · ＋ · ＋2＝98（个）.
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（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
解： 所作的三棱锥有三类：
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有 · 个.
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有 · 个.
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有 · 个.
故最多可作出的三棱锥有 · ＋ · ＋ · ＝194（个）.
（3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同的体积？
解： 当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等.所以体积不相同
的三棱锥最多有 ＋ ＋ · ＝114（个）.故最多有114个体积不
同的三棱锥.
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15. 一个口袋内有4个不同的红球、6个不同的白球.
（1）从中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少，这样的取法有
多少种？
解： 从10个球中任取4个，使红球的个数不比白球的个数少的取法，
可分三类：
第一类，红球取4个时，有 种方法；
第二类，红球取3个、白球取1个时，有 种方法；
第三类，红球取2个、白球取2个时，有 种方法.
由分类加法计数原理可知，共有 ＋ ＋ ＝115（种）取法.
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（2）如果取1个红球记2分，取1个白球记1分，那么从口袋中取5个球，使
总分不少于7的取法有多少种？
解： 设取红球x个、白球y个，依题意知， 且
0≤x≤4，0≤y≤6，由此解得 或 或 这样使总
分不少于7的取法可以分为三类：
第一类，红球取2个、白球取3个的方法数为 ；
第二类，红球取3个、白球取2个的方法数为 ；
第三类，红球取4个、白球取1个的方法数为 .
由分类加法计数原理可知，共有符合条件的取法 ＋ ＋ ＝
186（种）.
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