资源简介

(共61张PPT)
7.4.1　二项分布
1. 通过具体实例，了解伯努利试验及n重伯努利试验的概念（数学抽象）.
2. 掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题（数学建模、数
学运算）.
课标要求
某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一块木牌上写着：
只需投掷二十次，便可拥有双倍财富（恰好10次正面朝上者中奖），他一
阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事
件，概率均为 ，20× 不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前
去，将仅有的30元押在桌上.那么这个学生的运气如何呢？
情境导入
知识点一 n重伯努利试验的概念
01
知识点二 二项分布的概念及表示
02
知识点三 二项分布的均值与方差
03
课时作业
04
目录
知识点一 n重伯努利试验的概念
01
PART
问题1　 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验.
（1）试想每次试验的前提是什么？每次试验结果有几种？
提示：条件相同下的试验，每次试验只有两种可能结果：正面朝上或反面
朝上.
（2）各次试验的结果有无影响？
提示：无影响，各次试验的结果相互独立.
【知识梳理】
1. 伯努利试验：只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验.
2. n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的
称为n重伯努利试验.
3. n重伯努利试验的共同特征
（1）同一个伯努利试验重复做 次；
（2）各次试验的结果相互 .
　　提醒：（1）在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验；
（2）“重复”意味着各次试验成功的概率相同.
两个　
随
机试验　
n　
独立　
【例1】　判断下列试验是不是n重伯努利试验：
（1）依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
解：（1）由于试验的条件不同（质地不同），因此不是n重伯努利试验.
（2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次
击中；
解：（2）某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.
（3）口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰
好抽出4个白球.
解：（3）每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的
可能性不相等，因此不是n重伯努利试验.
【规律方法】
n重伯努利试验的判断依据
（1）要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行；
（2）每次试验相互独立，互不影响；
（3）每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生.
训练1　下列事件是n重伯努利试验的是（　D　）
A. 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C. 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射
中目标”
D. 在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
解析：　选项A、C为互斥事件，不符合n重伯努利试验的定义，选项B虽
然是相互独立的两个事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率
不一定相同，因此不是n重伯努利试验，选项D中，甲射击10次，每次击
中与否是相互独立的，且在相同条件下，符合n重伯努利试验.
D
知识点二 二项分布的概念及表示
02
PART
问题2　（1）连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向
下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？
提示：连续投掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用Ai（i＝1，2，
3）表示“第i次掷得针尖向上”的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向
上”的事件，则B1＝（A1 ）∪（ A2 ）∪（ A3）.由此可得
P（B1）＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.
（2）类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k（k＝0，1，2，3）次针尖向
上的概率是多少？有什么规律？
提示：用Ai（i＝1，2，3）表示事件“第i次掷得针尖向上”，
用Bk（k＝0，1，2，3）表示事件“出现k次针尖向上”，
P（B0）＝P（ ）＝q3＝ p0q3，
P（B1）＝P（A1 ）＋P（ A2 ）＋P（ A3）＝3q2p＝
p1q2，
P（B2）＝P（A1A2 ）＋P（ A2A3）＋P（A1 A3）＝3qp2＝
p2q1，
P（B3）＝P（A1A2A3）＝p3＝ p3q0，
规律：P（Bk）＝ pk ，k＝0，1，2，3.
【知识梳理】
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜
p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝
pk（1－p ，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式
的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 .
　　提醒：（1）由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1；（2）
两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布.
X～B（n，p）　
【例2】　（链接教材P74例2）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过
A，B，C三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试
即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是 .
（1）求甲被录用的概率；
解： 通过两个项目测试的概率为 （ ）2× ＝ ，
通过三个项目测试的概率为 （ ）3＝ ，
则甲被录用的概率为 ＋ ＝ .
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列.
解： 因为甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是 ，由（1）
可知甲、乙、丙三人每个人被录用的概率都是 ，所以X～B（ 3， ）.
所以P（X＝0）＝ （ ）3＝ ，
P（X＝1）＝ （ ）1×（ ）2＝ ，
P（X＝2）＝ （ ）2× ＝ ，
P（X＝3）＝ （ ）3＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
【规律方法】
1. 判定一个随机变量是否服从二项分布，要看两点.
（1）试验是否为n重伯努利试验；
（2）随机变量是否为某事件在这n重伯努利试验中发生的次数.
2. 若X～B（n，p），要弄清试验次数n与成功概率p.对于公式P（X
＝k）＝ pk（1－p）n－k（k＝0，1，2，3，…，n），必须在满足“独
立重复试验”时才能应用.
训练2　已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都
为 ，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试
验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的.
（1）第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分
布列；
解：由题意得，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，则X～B（ 3， ），
则P（X＝0）＝ （ ）0（ 1－ ）3＝ ，
P（X＝1）＝ （ ）1（ 1－ ）2＝ ，
P（X＝2）＝ （ ）2（ 1－ ）1＝ ，
P（X＝3）＝ （ ）3（ 1－ ）0＝ .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次
失败的概率.
解： 第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成
功，每次试验又是相互独立的.
故所求概率p＝ （ ）3×（ 1－ ）3× ＝ .
知识点三 二项分布的均值与方差
03
PART
问题3　若随机变量X服从二项分布B（n，p），那么X的均值和方差各
是什么？
提示：当n＝1时，X服从两点分布，分布列为
X 0 1
P 1－p p
则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.
一般地，设q＝1－p，则二项分布的分布列为
X 0 1 … k … n
P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0
则E（X）＝0× p0qn＋1× p1qn－1＋2× p2qn－2＋…＋k pkqn－k
＋…＋n pnq0，
由k ＝n ，
可得E（X）＝n× p1qn－1＋n× p2qn－2＋…＋n pkqn－k＋…
＋n pnq0
＝np（ p0qn－1＋ p1qn－2＋…＋ pk－1qn－k＋…＋ pn－
1q0）
＝np（p＋q）n－1＝np，
同理可得D（X）＝np（1－p）.
【知识梳理】
如果X～B（n，p），那么E（X）＝ ，D（X）＝
.
特别地，若X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝
.
np　
np（1－
p）　
p（1－
p）　
【例3】　（1）随机变量X～B（100，p），且E（X）＝20，则D（2X
－1）＝（　A　）
A. 64 B. 128
C. 256 D. 32
解析： E（X）＝100p＝20，解得p＝0.2，D（X）＝np（1－p）
＝100×0.2×（1－0.2）＝16，D（2X－1）＝4D（X）＝64.
A
（2）一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且
仅有一个选项是正确的，每道题答案选择正确得4分，不作出选择或选错
不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次
测验中的成绩的均值为 ，方差为 .
解析： 设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得
的分数（成绩）为Y，则Y＝4X. 由题知X～B（25，0.6），所以E
（X）＝25×0.6＝15，D（X）＝25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E
（4X）＝4E（X）＝60，D（Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝
96.所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.
60
96
【规律方法】
求二项分布的均值和方差的步骤
（1）先判断随机变量是否服从二项分布；
（2）若服从二项分布，则代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方
差，即若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.特
别地，当n＝1时，X服从两点分布.
训练3　将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的
入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障
碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，
向左、右两边下落的概率分别是 ， .
（1）分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
解： 设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，
则P（M）＝ × × ＋ × × ＝ ，
所以P（N）＝1－P（M）＝1－ ＝ .
（2）在容器的入口处依次放入4个小球，记ζ为落入B袋中的小球的个数，
求ζ的分布列、均值和方差.
解： 易知ζ～B（ 4， ），
则ζ的分布列为
P（ζ＝k）＝ （ ）k（ ）4－k（k＝0，1，2，3，4），故P（ζ＝0）
＝ ，P（ζ＝1）＝ ，
P（ζ＝2）＝ ＝ ，P（ζ＝3）＝ ，
P（ζ＝4）＝ .
ζ 0 1 2 3 4
P
E（ζ）＝4× ＝ ，D（ζ）＝4× × ＝ .
故ζ的分布列为
1. 若随机变量X～B（ 5， ），则P（X＝2）＝（　　）
A. （ ）2×（ ）3 B. （ ）2×（ ）3
C. ×（ ）2×（ ）3 D. ×（ ）2×（ ）3
解析： 　∵随机变量X～B（ 5， ），∴P（X＝2）＝ ×（ ）2×
（ ）3.
√
2. 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛
时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为
（　　）
A. ×（ ）3× B. ×（ ）2×
C. ×（ ）3× D. ×（ ）3×
解析： 　甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获
胜，其概率为P＝ ×（ ）2× × ＝ ×（ ）3× .故选A.
√
3. 已知随机变量X服从二项分布B（n，p）.若E（X）＝2，D（X）＝
，则p＝ 　 　.
解析：∵X服从二项分布B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝ ，
∴ 解得p＝ .
4. 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病
人中至少3人被治愈的概率为 .（用数字作答）
解析：至少3人被治愈的概率为 ×0.93×0.1＋0.94＝0.947 7.

0.947 7
课堂小结
1. 理清单
（1）n重伯努利试验的概念及特征；
（2）二项分布的概念及表示；
（3）二项分布的均值与方差.
2. 应体会
求解n重伯努利试验的概率及二项分布问题常采用公式法.
3. 避易错
二项分布的判断错误.
课时作业
04
PART
1. 打靶时，某人中靶的概率为0.8，则他打100发子弹有4发中靶的概率为
（　　）
A. ×0.84×0.296 B. 0.84
C. 0.84×0.296 D. 0.24×0.896
解析： 　由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率
为 ×0.84×0.296.
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√
2. 已知X～B（ 5， ），则E（X＋1）＝（　　）
A. B. 1 C. D.
解析： 　由题意知，随机变量X～B（ 5， ），可得E（X）＝np＝
5× ＝ ，所以E（X＋1）＝E（X）＋1＝ ＋1＝ .
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3. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互
独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2 min，则这
名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的均值为（　　）
A. B. 1 C. D.
解析： 　遇到红灯的次数X～B（ 4， ），∴E（X）＝4× ＝ ，∴E
（Y）＝E（2X）＝2× ＝ .
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4. 农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个
坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均
数为 ，则每粒种子发芽的概率p＝（　　）
A. B. C. D.
解析： 　由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的
概率为（1－p），设每组不发芽的坑数为X，则X～B（5，（1－
p）），所以每组没有发芽的坑数的平均数为5×（1－p）＝ ，解得p＝
，所以每个种子的发芽率为 .故选C.
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5. 唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中写道：“春江潮水连海平，海上明
月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转有直接的关系，这是一种自然现象.
根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为 ，
则该地在该季节内的连续三天中，至少有两天出现大潮的概率为（　　）
A. B. C. D.
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解析： 　该地在该季节内的连续三天中，至少有两天出现大潮包括两天
出现大潮和三天出现大潮两种情况，有两天出现大潮的概率为 ×（ ）
2× ＝ ，有三天出现大潮的概率为 ×（ ）3＝ ，所以至少有两天出
现大潮的概率为 ＋ ＝ .故选A.
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6. 〔多选〕抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二
正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确
的是（　　）
A. P1＝P2＝P3＝P4 B. P3＝2P1
C. P1＋P2＋P3＋P4＝1 D. P4＝3P2
解析： 　由题意知，P1＝（ ）3＝ ，P2＝（ ）3＝ ，P3＝ ×
（ ）2×（ 1－ ）＝ ，P4＝ × ×（ 1－ ）2＝ ，P1＝P2＜P3＝
P4，故A错误；P3＝3P1，故B错误；P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确；P4
＝3P2，故D正确.
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7. 〔多选〕已知ξ～B（n，p），且E（3ξ＋2）＝9.2，D（3ξ＋2）＝
12.96，则下列说法正确的有（　　）
A. n＝6
B. p＝0.6
C. P（ξ＝4）＝ ×0.64×0.42
D. P（ξ≥1）＝1－0.66
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解析： 因为E（3ξ＋2）＝3E（ξ）＋2＝9.2，D（3ξ＋2）＝9D
（ξ）＝12.96，所以E（ξ）＝2.4，D（ξ）＝1.44，由ξ～B（n，p），
所以E（ξ）＝np＝2.4，D（ξ）＝np（1－p）＝1.44，所以n＝6，p＝
0.4，故A正确，B错误；又P（ξ＝4）＝ ×0.62×0.44，故C错误；P
（ξ≥1）＝1－P（ξ＝0）＝1－0.66，D正确.故选A、D.
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8. 某学生将参加创新知识大赛，答题环节有6道题目，每答对1道题得2
分，答错一道题减1分，已知该生每道题目答对的概率是 ，且各题目答对
与否相互之间没有影响，X表示该生得分，则E（X）＝ ，D
（X）＝ .
解析：依题意，设Y表示该生答对问题的个数，则Y～B（ 6， ），所以
E（Y）＝6× ＝4，D（Y）＝6× × ＝ ，又因为X＝2Y－（6－Y）
＝3Y－6，所以E（X）＝3E（Y）－6＝3×4－6＝6，D（X）＝32D
（Y）＝9× ＝12.
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9. 在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生
2次的概率，则每次试验中事件A发生的概率p的取值范围是
.
解析：由n重伯努利试验发生k次的概率，得 p·（1－p）3≤ p2（1－
p）2，则p≥0.4.结合0＜p＜1，解得0.4≤p＜1.
[0.4，
1）
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10. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ，假设甲、乙每
次射击是否击中目标，相互之间没有影响.（结果需用分数作答）
（1）求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
解： 记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，
由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，
故P（A1）＝1－P（ ）＝1－（ ）3＝ .
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（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的
概率.
解： 记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，
恰有1次击中目标”为事件B2，
则P（A2）＝ ×（ ）2＝ ，
P（B2）＝ ×（ ）1×（ 1－ ）＝ ，
由于甲、乙射击相互独立，
故P（A2B2）＝ × ＝ .
所以所求的概率为 .
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11. 一个袋中有大小、形状相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机
等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为X1；
当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为X2，则（　　）
A. E（X1）＜E（X2），D（X1）＜D（X2）
B. E（X1）＝E（X2），D（X1）＞D（X2）
C. E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2）
D. E（X1）＞E（X2），D（X1）＞D（X2）
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解析： 　X1的可能取值为0，1，2，X1～B（2， ），E（X1）＝2×
＝ ，D（X1）＝2× × ＝ ；X2的可能取值为0，1，P（X2＝0）＝
× ＝ ，P（X2＝1）＝ × ＋ × ＝ ，∴E（X2）＝0× ＋1× ＝
，D（X2）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＝ .∴E（X1）＝E
（X2），D（X1）＞D（X2）.
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12. 王先生家住A小区，他工作在B科技园区，从家开车到公司上班路上
有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇
到红灯的概率均为 ；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概
率依次为 ， .若分别走L1，L2路线，则王先生遇到红灯的次数的均值分
别为（　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
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解析： 　若走L1路线，设王先生遇到红灯的次数为随机变量X，则X的
取值可能为0，1，2，3，且X～B（ 3， ），所以E（X）＝3× ＝ .若
走L2路线，设王先生遇到红灯的次数为随机变量Y，则Y的取值可能为0，
1，2，则由题意知P（Y＝0）＝（ 1－ ）×（ 1－ ）＝ ，P（Y＝1）
＝ ×（ 1－ ）＋（ 1－ ）× ＝ ，P（Y＝2）＝ × ＝ ，所以E
（Y）＝0× ＋1× ＋2× ＝ .
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13. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可
知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的
概率为 ，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中乙队获胜的概率
为 .

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解析：乙队获胜可分为乙队以3∶0或3∶1或3∶2的比分获胜.乙队以3∶0
获胜，即乙队三场全胜，概率为 ×（ ）3＝ ；乙队以3∶1获胜，即
乙队前三场两胜一负， 第四场获胜，概率为 ×（ ）2× × ＝ ；乙
队以3∶2获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为 ×（ ）
2×（ ）2× ＝ .所以在这场“五局三胜制”的排球比赛中乙队获胜的
概率为 ＋ ＋ ＝ .
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14. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，
智能客服的回答被采纳的概率为 ，当输入的问题表达不清晰时，智能客
服的回答被采纳的概率为 .已知输入的问题表达不清晰的概率为 .
（1）求智能客服的回答被采纳的概率；
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解：设A＝“智能客服的回答被采纳”，B＝“输入的问题表达不清晰”，
依题意，P（B）＝ ，P（ ）＝ ，P（A｜B）＝ ，P（A｜ ）＝
，
因此P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（ ）P（A｜ ）＝ × ＋
× ＝ ，
所以智能客服的回答被采纳的概率为 .
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（2）在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设X表示智能客
服的回答被采纳的次数.求X的分布列.
解： 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，X～B（ 3， ），
P（X＝0）＝ （ ）0（ ）3＝ ，
P（X＝1）＝ （ ）1（ ）2＝ ，
P（X＝2）＝ （ ）2（ ）1＝ ，
P（X＝3）＝ （ ）3（ ）0＝ ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
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15. 甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为
p，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一
次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获
得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投
篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分. 按累计得分高低确
定胜负.
（1）若乙得6分的概率 ，求p；
解： 若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中，
其概率为p3·（1－p），又0＜p＜1，
故p3·（1－p）＝ ，解得p＝ .
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（2）由（1）问中求得的p值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？
解： 设X为甲累计获得的分数，则X～B（5， ），所以E（X）＝
np＝5× ＝ ，
设Y为乙累计获得的分数，则Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，
P（Y＝0）＝ ，P（Y＝2）＝ ×（1－ ）＝ ，
P（Y＝4）＝（ ）2×（1－ ）＝ ，
P（Y＝6）＝（ ）3×（1－ ）＝ ，
P（Y＝8）＝（ ）4×（1－ ）＝ ，
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P（Y＝10）＝（ ）5＝ ，
所以Y的分布列为
Y 0 2 4 6 8 10
P
所以E（Y）＝0× ＋2× ＋4× ＋6× ＋8× ＋10× ＝ ，
因为E（X）＞E（Y），所以甲获胜的可能性大.
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