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几种常见的函数模型
一、选择题
1．一次函数y＝－2x－3的图象经过的象限是(　　)
A．一、二、三 B．二、三、四
C．一、二、四 D．一、三、四
2．若点M(1,2)关于y轴的对称点在一次函数y＝(3k＋2)x＋k的图象上，则k的值为(　　)
A．－2 B．0
C．－1 D．－
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，(a<0)，且f(0)＝f(4)，则下列不等式成立的是(　　)
A．f(2)B．f(2)>f(1)>f(4)
C．f(2)>f(4)>f(1)
D．f(2)4．已知二次函数y＝x2＋(m＋1)x＋m－1的图象经过原点，则使f(x)<0的x的取值范围是
(　　)
A．(0,2)
B．(－2,0)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
5．二次函数y＝(x－3)(x－1)的对称轴方程是(　　)
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)为偶函数的充要条件是(　　)
A．a＝0 B．b＝0
C．c＝0 D．b＝0或c＝0
7．已知二次函数f(x)的图象经过两点(0,3)，(2,3)，且最大值是5，则该函数的解析式是
(　　)
A．f(x)＝2x2－8x＋11
B．f(x)＝－2x2－8x－1
C．f(x)＝2x2－4x＋3
D．f(x)＝－2x2＋4x＋3
二、填空题
8．在画一次函数y＝kx＋b的图象时，小雯同学列表如下，其中“▲”表示的数为________，
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 5 3 1 ▲ －3 …
9．函数f(x)＝x2＋bx＋c在(－∞，1)是单调函数，则b的取值范围是________．
10．已知二次函数y＝x2－4x＋3图象的顶点是A，对称轴是直线l，对数函数y＝log2x与x轴的交点是B，与直线l的交点是C，则△ABC的面积是________．
三、解答题
11．已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3，其中m为实数．
(1)求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)，且x1、x2的倒数之和为，求这个二次函数的解析式．
12．已知一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象在y轴上的截距是1，对任意实数x，都有f(x)＝f(2－x)成立，且f(2)＝f(－2)＋8.求函数f(x)的解析式
答案
1．B　解析　∵y＝－2x－3，k＝－2<0，b＝－3<0，∴函数图象经过二、三、四象限．故选B.
2．A　解析　由题知，点关于y轴的对称点坐标的规律－－－横坐标变为相反数，纵坐标不变，可得：对称点M1(－1,2)将点M1(－1,2)代入一次函数y＝(3k＋2)x＋k，即为2＝(3k＋2)×(－1)＋k，可得：k＝－2，故选A.
3．B　解析　二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，(a<0)，且f(0)＝f(4)，所以对称轴为x＝2，且开口向下，所以f(2)取最大值，离对称轴越远值越小，所以f(2)>f(1)>f(4)，故选B.
4．B　解析　过原点则m－1＝0，即m＝1；所以函数f(x)<0的解为(－2,0)，故选B.
5．D　解析　二次函数y＝(x－3)(x－1)与x轴的交点为(3,0)、(1,0)，所以函数的对称轴方程为x＝＝2，答案为D.
6．B　解析　二次函数为偶函数的充要条件为b＝0，即选B.
7．D　解析　由题意，二次函数y＝f(x)图象过点(2,3)和(0,3)，即有f(2)＝f(0)＝3，所以函数的对称轴方程为x＝＝1，又因为最大值为5，所以二次函数的顶点为(1,5)，可设顶点式f(x)＝a(x－1)2＋5，又因为过(0,3)，解得a＝－2，展开的f(x)＝－2x2＋4x＋3.故选D.
8．－1　解析　由表格可知：直线y＝kx＋b过点(－1,3)，(0,1)，则：，解得：，
∴y＝－2x＋1，
当x＝1时，y＝－2×1＋1＝－1，∴“▲”表示的数为：－1，故答案为：－1.
9．(－∞，－2]　解析　因为函数f(x)＝x2＋bx＋c在(－∞，1)是单调函数，则函数的对称轴x＝－≥1，解b≤－2.
10．1　解析　根据题意知A(2，－1)，B(1,0)，C(2,1)，所以△ABC的面积是：×(2－1)×[1－(－1)]＝1.
11．(1)证明：令y＝0，得x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0，这里b2－4ac＝[－2(m－1)]2－4(m2－2m－3) ＝16＞0恒成立，所以方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图象与x轴必有两个交点．
(2)解：根据题意，＋＝＝，x1、x2为方程x2－2(m－1)x＋m2－2m－3＝0的两根，则x1＋x2＝2(m－1)，x1·x2＝m2－2m－3，所以＝，解得m＝0或m＝5.所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x＋12.
12．解　由题意知，函数可以设为一般式，其中对称轴方程为x＝＝1，c＝1.
所以，解得，
所以函数f(x)＝－x2＋2x＋1.

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