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解三角形——正余弦定理
一、选择题
1．若S△ABC＝(a2＋b2－c2)，则∠C等于(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且bA．3 B．4
C．2 D．
3．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
4．在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，则C＝(　　)
A．75° B．105°
C．45° D．30°
5．在△ABC中，sinA＝，且A为钝角，AB＝3，AC＝5，则BC等于(　　)
A．2 B．
C．4 D．2
6．在△ABC 中，a＝2，b＝3，当△ABC的面积最大时，∠C的值是(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
7．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶6，那么cos C的值(　　)
A．－ B．－
C． D．
二、填空题
8．在△ABC中，(b＋c)(b－c)＝a2，则∠B＝________.
9．在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，则△ABC的形状为________.
10．已知△ABC的面积为，AC＝2，A＝60°，则 BC＝________.
三、解答题
11．已知△ABC的边a，b是方程x2－3x＋2＝0的两个根，∠C＝60°，求边c的长度．
12．在△ABC中，若a＝2，cos B＝－，△ABC的面积为1，求(1)边c的值；(2)△ABC的周长．
13．在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求cos B的值；
(2)若cos A＝，a＝8，求b以及S△ABC的值．
14．某校电商专业学生到快递公司实习，参与规划一条快递路线的项目，其平面示意图为如图五边形ABCDE，ED，DC，CB，BA，AE、BE均为快递路线，∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，DE＝4 km, BC＝CD＝ km.求BE这条快递路线的长度．
答案
1．C　解析　由S＝(a2＋b2－c2)＝a·b·sinc
变形得sin C＝，sin C＝cos C，所以C＝45°.故选C
2．C　解析　△ABC中：a＝2，c＝2，cos A＝
因为a2＝b2＋c2－2bccos A，所以4＝b2＋12－2×2b×，
所以b2－6b＋8＝0；所以b＝2或4，又因为b3．C　解析　a cosA＝b cos B，sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故为等腰三角形或直角三角形．故选C.
4．A　解析　由正弦定理知＝，又a＝14，b＝7，B＝60°，
所以sin A＝＝＝，因为a所以C＝180°－(B＋A)＝180°－(60°＋45°)＝75°.故选A
5．A　解析　由sin A＝，A为钝角，所以cos A＝－，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA
＝52，又∵BC>0，∴BC＝＝2.
6．A　解析　因为S＝absin C＝×2×3sin C，所以当三角形的面积最大时，则∠C等于90°
7．B　解析　sin A︰sin B︰sin C＝a∶b∶c＝3∶5∶6，
设a＝3m，则b＝5m，c＝6m，cos C＝＝－.
8．90°　解析　因为(b＋c)(b－c)＝a2，所以b2－c2＝a2，所以b2＝a2＋c2.故∠B＝90°.
9．等边三角形　解析　由2∠B＝∠A＋∠C得∠B＝60°，
又b2＝ac＝a2＋c2－2accos 60°，化简得(a－c)2＝0，所以a＝c又有一个角为60°，故是等边三角形
10．　解析　由S＝bcsin A，解得c＝1由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A＝3，
所以a＝，即BC＝.
11．解　由题意得，a＋b＝3，ab＝2，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－2ab－2abcos 60°＝3
所以c＝.
12．解　(1)因为cos B＝－，且B为△ABC内角，所以sin B＝＝，因为S△ABC＝acsin B＝×2c×＝1，所以c＝，
(2)由余弦定理cos B＝，得－＝，解得b＝，∴△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＋.
13．解　(1) 由余弦定理及已知得：cos B＝＝，(2)因为A，B为三角形内角，所以sin A＝＝＝，sin B＝＝＝， 由正弦定理得：b＝＝＝7，又∵cos A＝＝.∴c2－2c－15＝0，解得c＝5或c＝－3(舍去)．∴S△ABC＝bc·sin A＝10.
14．解　连接BD，∵BC＝CD＝，∠BCD＝120°，∴∠BDC＝30°.∵∠CDE＝120°，∴∠BDE＝90°.在△BCD中，∴BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°，∴BD＝3，在Rt△BDE中，BE＝＝5.

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