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空间几何体的表面积和体积
一、选择题
1．正方体的棱长为2 cm，则其表面积为 (　　)
A．20 cm2 B．22 cm2
C．24 cm2 D．26 cm2
2．圆锥的侧面母线长为3，侧面展开所成的扇形的中心角等于60°，那么这个圆锥的底面积是(　　)
A．4π B．2π
C． D．
3．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒(cuán)尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为4 m，底面边长为24米，侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，则此正四棱锥的高为(　　)
A．8 B．4
C．8 D．4
4．如图所示，长方体一个顶点上三条棱的长度分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是(　　)
A．20π B．25π
C．50π D．200π
5．一个正方体的内切球和外接球的半径之比是(　　)
A．1∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
6．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝1，则三棱锥的体积为(　　)
A． B．
C． D．1
7．如果圆锥的侧面积是表面积的，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于 (　　)
A． B．
C．π D．
8．已知矩形ABCD，AB＝2BC，把这个矩形分别以AB、BC所在直线为轴旋转一周，所围成几何体的侧面积分别记为S1、S2，则S1与S2的比值等于 (　　)
A． B．1
C．2 D．4
9．已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积是(　　)
A．9 B．9π
C．12 D．12π
二、填空题
10．已知球的一个球截面的半径是2，球心与该球截面的距离是2，则球的表面积为________．
11．若圆柱的侧面积和体积数值相等，则该圆柱底面直径等于________．
12．若一个球体的表面积是8π ，则球体的半径等于________．
三、解答题
13．某组合体是由正方体ABCD与A1B1C1D1正四棱锥P－A1B1C1D1组成，且PA1＝AB.若该组合体的表面积为36(5＋)，求其体积．
14．如图，已知圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形．试求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥的体积．
答案
1．C
2．D　解析　扇形的弧长等于3×＝π，即2πr＝π，所以r＝，底面圆面积＝πr2＝.
3．B　解析　如图，在正四棱锥S?ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，则H为AB的中点，连接SO，OH，则SO⊥平面ABCD, OH⊥AB，则∠SHO为侧面与底面所成的锐二面角，∴∠SHO＝30°.
∵SH＝＝8，SO＝SH×sin 30°＝4，故选B.
4．C　解析　设长方体的对角线长为l，球半径为R，由已知及对称性知l＝2R，l＝＝5＝2R，得R＝.∴S球＝4πR2＝50π.
5．C　解析　因设正方体的棱长为2a，内切球的半径为a，外接球的半径为a，所以内切球半径：外接球半径＝1∶.
6．A　解析　如图所示，因为PA⊥PB, PA⊥PC，所以PA⊥平面PBC. 因为PB⊥PC，所以∠BPC＝90°.所以V＝S△PBC×PA＝××1×1×1＝.
7．B　解析　设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，
由题意×2πrl＝l＝3r，α＝＝.
8．B　解析　设BC＝a，AB＝2a，所以S1＝2π×(2a)·a，S2＝2πa×2a，即S1∶S2＝1.
9．D　解析　2πr＝6π，所以r＝3，高h＝＝4，V＝π×32×4＝12π.
10．64π　解析　截面圆半径r、球心到截面的距离d、和球的半径R构成一个直角三角形，R是斜边，所以R2＝d2＋r2可以求出R＝4，球的体积S＝4πR2＝64π.
11．4　解析　设圆柱的底面半径为r，高为h，由题意得2πrh＝πr2h，r＝2,2r＝4.
12．　解析　设球体的半径为R，由题意可知4πR2＝8π，R＝.
13．解　(1)连接A1C1、B1D1交于点O，连接PO，由正棱锥的性质可知PO⊥平面A1B1C1D1，
设AB＝2a，则PA1＝a，A1O＝A1C1＝a，∴PO＝＝a，取B1C1的中点E，连接PE, 则PE⊥B1C1，且PE＝＝a，
所以几何体的表面积为5×4a2＋4××2a×a＝(20＋4)a2＝36(5＋)，
可得a＝3，所以，该几何体的体积为63＋×36×3＝252.
14．解　∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝，∴AO＝OC＝1，即圆锥的高h＝1，圆锥的底面半径r＝1.
(1)圆锥的侧面积S侧面＝π×1×＝π；
(2)圆锥的体积V＝×π×12×1＝.

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