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集合的概念及其表示方法
一、选择题
1．下列语句能构成一个集合的是(　　)
A．某班视力较好的同学全体
B．某职业学校成绩优异的毕业生的全体
C．所有的正方体
D．参加2024世界职业院校技能大赛的优秀选手
2．下列集合的表示方法中正确的是(　　)
A．方程x2＋3＝0的解集是{ }
B．方程组的解集为{3,1}
C．绝对值小于3的整数用列举法表示为{0,1,2}
D．方程x2＝4的解集可表示为{－2,2}
3．以下集合中是有限集的是(　　)
A．{x∈N|x>1}
B．{x|x＝2n，n∈Z}
C．{四边形}
D．{x∈R|x2－2x＋1＝0}
4．由a2,2－a,4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　)
A．1 B．－2
C．－1 D．2
5．用列举法表示集合{x|x2＋5x＋6＝0}，结果是(　　)
A．{－2，－3} B．{－6,1}
C．{6，－1} D．{2,3}
6．已知集合M＝{0，a－3}，实数a满足的条件是(　　)
A．a≠0 B．a≠3
C．a＝0或a≠3 D．a∈R
7．下列集合中不是空集的是(　　)
A．{(x，y)|x2＋|y|＝－2}
B．{x|x2＋1≤0}
C．{x|x≤0且x∈N＋}
D．{0}
8．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．9
二、填空题
9．已知2∈{2m－1，－2}，m＝________.
10．用符号“∈”、“ ”填空
0________N；－2________N；________Q；____R；－3________Z.
11．若面积为2的正方形的边长为a，则a________Q．(填“∈”或“ ”)
三、解答题
12．已知集合A＝{a2－a－1，a，－1}，且1∈A，求a的值．
13．已知集合，A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.
(1)1是A中的一个元素，用列举法表示A；
(2)若A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B；
(3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围．
答案
1．C　解析　根据集合的概念，由某些确定的对象组成的整体，才能构成集合，所以只有正方体的概念是明确的，能构成集合，其他选项均不满足确定性，构不成集合，故选C.
2．D　解析　 本身就是集合不能再加大括号了，所以A错误；方程组的解集只有一个元素应该是{(3,1)}，所以B错误；绝对值小于3的整数用列举法表示为{－1，－2,0,1,2}，所以C错误．
3．D　解析　∵{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，由有限集的概念可知，该集合为有限集，A、B、C均为无限集，故选D.
4．C　解析　对A，当a＝1时，a2＝1,2－a＝1，不满足题意；对B，当a＝－2时，a2＝4，不满足题意；对C，当a＝－1时，a2＝1,2－a＝3，满足题意；对D，当a＝2时，a2＝4，不满足题意；故选C.
5．A　解析　x2＋5x＋6＝0 (x＋2)(x＋3)＝0，解得x1＝－2，x2＝－3，用列举法表示成{－2，－3}，故答案选A.
6．B　解析　由集合中元素具有互异性知a－3≠0，解得a≠3，故选B.
7．D　解析　集合{0}含有元素0，不是空集，故选D.
8．A　解析　集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x＝a－b，a∈A，b∈A}，则当a＝b时，有a－b＝0；当a>b时，a－b＝1或a－b＝2；当a9．　解析　因为2∈{2m－1，－2}，所以2m－1＝2，解得m＝.
10．∈　 　 　∈　∈
11． 　解析　因为正方形面积为2，所以a2＝2，a＞0，所以a＝，所以a是无理数，所以a Q.故答案为： .
12．解　根据题意得，a2－a－1＝1或a＝1
(1)若a2－a－1＝1，则a＝2或a＝－1，当a＝2时，A＝{1,2，－1}，符合题意，当a＝－1时，集合A中的元素出现重复，不合题意，舍去；
(2)若a＝1时，a2－a－1＝－1，和A中的元素出现重复，不合题意，舍去，综上所述，a的值为2.
13．解　(1)∵1是A的元素，∴1是方程ax2＋2x＋1＝0的一个根，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3，
此时A＝{x|－3x2＋2x＋1＝0}，∴x1＝1，x2＝－，∴此时集合A＝；
(2)①当a＝0时，A＝{x|2x＋1＝0}＝{－}
②当a≠0时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，A＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}
综上，B＝{0,1}；
(3)集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①A中有且仅有一个元素，由(2)可知此时a＝0或a＝1，②A中一个元素也没有，即A＝ ，此时a≠0，且Δ＝4－4a＜0，解得a＞1，综合①②知a的取值范围为{a|a≥1或a＝0}．

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