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函数的三种表示方法
R·八年级数学下册
函 数
22
学习目标
1. 运用丰富的实例帮助学生理解函数的三种表示方法．
2. 通过观察、作图、交流等活动，加深对函数的三种表示方
法的优缺点的理解，提高把实际问题转化为数学问题的能
力. 理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换．
3. 通过数形结合利用函数图象预测实际问题变化趋势．
情境导入
问题1：已知某市出租车的收费标准为：3km内的起步价为8元，超过3km后，每超出1km收费2元．有一位乘客乘坐出租车去x km（x＞3，且x为整数）外的某地，付费y元．
y是x的函数吗？
如果是，请写出它的解析式．
是
y=8+2(x 3)
这里是怎样表示付费y与路程x之间的函数关系的？
用函数解析式来表示.
问题2：在标准大气压下，声音在空气中传播的速度（简称音速）y与气温x之间的关系如下表所示：
x/℃ 0 5 10 15 20
y/(m/s) 331 334 337 340 343
y是x的函数吗？
是
这里是怎样表示音速y与气温x之间的函数关系的？
列表格来表示.
问题3：如图是用弹簧做实验时，在弹性限度内，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：g）的关系图象，y是x的函数吗？
是
这里是怎样表示弹簧长度y与所挂物体质量x之间的函数关系的？
用平面直角坐标系中的一个图象来表示的.
探索新知
由上面的内容可知，写出函数解析式，或者列表格，或者画函数图象，都可以表示具体的函数. 这三种表示函数的方法，分别称为解析法、列表法和图象法.
y=8+2(x 3)
x/℃ 0 5 10 15 20
y/(m/s) 331 334 337 340 343
解析法：
列表法：
图象法：
思考：三种表示函数的方法各有什么优缺点？它们之间有什么联系？
表示方法 优点 缺点
解析法 变量间关系简洁明了，便于分析计算 需通过计算，才能得到所需
结果
列表法 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况
图象法 直观形象地表示了变量间的变化过程与趋势 函数值一般是近似值
关系 解析式是基础，是重点，列表是画图象的关键，图象是在解析式和列表的基础上对函数的总体概括和形象化地表达 例 3
一个水库的水位在最近5h内持续上涨. 下表中记录了这5h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度.
t / h 0 1 2 3 4 5
y / m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
t / h 0 1 2 3 4 5
y / m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
1
2
t/h
3
4
5
3
y/m
O
1
2
4
5
解：这6个点在一条直线上.
+0.3
+0.3
+0.3
+0.3
+0.3
再结合表中的数据，可以发现每小时水位上升0.3m.
由此猜想，如果画出这5h内其他时刻（如t=2.5h等）及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.
（2）水位高度 y 是不是时间 t 的函数？如果是，写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象. 这个函数能表示水位的变化规律吗？
解：由于水位在最近 5 h 内持续上涨，对于时间 t 的每一个确定的值，水位高度 y 都有唯一的值与其对应，所以 y 是 t 的函数.
1
2
t/h
3
4
5
3
y/m
O
1
2
4
5
1
2
t/h
3
4
5
3
y/m
O
1
2
4
5
A
B
t / h 0 1 2 3 4 5
y / m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
开始时水位高度为 3 m，
以后每小时水位上升 0.3 m.
函数 y = 0.3t + 3（0 ≤ t ≤ 5）
它表示经过 t h 水位高度 y 为
(0.3t + 3) m. 其图象是图中点
A (0，3) 和点 B (5，4.5) 之间
的线段 AB .
如果在这 5 h 内，水位一直匀速上升，即升速为 0.3 m / h，那么函数
y = 0.3t + 3（0 ≤ t ≤ 5）就精确地
表示了这种变化规律.
1
2
t/h
3
4
5
3
y/m
O
1
2
4
5
A
B
即使在这 5 h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升 0.3 m 是确定的，所以这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.
（3）如果这种上涨规律还会持续2h，那么2h后水位高度将为多少米？
解：如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过2h，即t=5+2=7（h）时，水位高度y=0.3×7+3=5.1（m）.
1
2
t/h
3
4
5
6
7
3
y/m
O
1
2
4
5
A
B
把图中的函数（线段AB）向右延伸到t=7所对应的位置，得右图，从它也能看出这时的水位高度约为5.1m.
由本例可以看出，函数的不同表示方法之间可以互相转化.
用一根长为 20 的细绳围成一个等腰三角形．
（1）写出底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式 ( x 为自变量 )；
（2）写出自变量 x 的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中画出函数图象．
解:（1）根据三角形周长与边长的关系可得 20 ＝ x + x + y，
所以 y ＝ 20－2x ．
即底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式是 y ＝ 20－2x ．
（2）根据问题的实际意义，得 x，y 均为正数，所以 0＜x＜10．
结合三角形的三边关系，得 x + x ＞ y，即 2x＞20－2x，
所以 x＞5．
结合上述两方面的限制，可确定自变量 x 的取值范围是 5＜x＜10．
用一根长为 20 的细绳围成一个等腰三角形．
（1）写出底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式 ( x 为自变量 )；
（2）写出自变量 x 的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中画出函数图象．
用一根长为 20 的细绳围成一个等腰三角形．
（1）写出底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式 ( x 为自变量 )；
（2）写出自变量 x 的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中画出函数图象．
（3）函数图象如图所示．
练 习
1. 用列表法与解析法表示 n 边形的内角和 m（单位：度）
关于边数 n 的函数.
解：列表法：
解析法：m = (n－2) · 180°.
【选自教材第107页 练习 第1题】
边数n/条 3 4 5 6 7 8 …
内角和m/度 180 360 540 720 900 1080 …
2. 用解析法与图象法表示等边三角形的周长 C 关于
边长 a 的函数.
解：解析法：C = 3a（a > 0）.
图象法：如图所示.
【选自教材第107页 练习 第2题】
3. 一条小船沿直线向码头匀速前进. 在 0 min，2 min，4 min，
6 min 时，测得小船与码头的距离分别为 200 m，150 m，
100 m，50 m. 小船与码头的距离 s (单位：m)是时间 t (单位：
min)的函数吗？如果是，写出函数解析式，画出函数图象，
并计算小船到达码头用了多长时间.
解：小船与码头的距离 s 是时间 t 的函数.
由题意知，小船的船速是 25 m/min.
函数解析式为 s =－25t + 200（0 ≤ t ≤ 8）.
图象如图所示.
当s=0时，t=8，
即小船到达码头用了8min.
【选自教材第107页 练习 第3题】
4.一根水管以固定的速度向容积为100m3的水池中注水，注水时间t与水池中的水量Q存在如表所示的关系：
t/min 0 2 4 6 8 …
Q/m3 20 24 28 32 36 …
（1）请从表中找出t与Q之间的函数关系式；
解：由表中观察到开始时水池中已有20m3水量，以后每隔2min，水量增加4m3，即每分钟水量增加2m3，这样的变化规律可以表示为Q=2t+20．故t与Q之间的函数关系式为Q=2t+20．
t/min 0 2 4 6 8 …
Q/m3 20 24 28 32 36 …
（2）确定自变量t的取值范围，并画出函数的图象；
解：因为t表示注水时间，所以t≥0．因为水池的容积为100m3，所以2t+20≤100，解得t≤40．所以自变量t的取值范围为0≤t≤40．函数图象如图所示．
t/min 0 2 4 6 8 …
Q/m3 20 24 28 32 36 …
（3）当水池中的水量Q为50m3时，求注水时间t的值．
解：求水量为50m3时的注水时间，就是求Q=50时，函数Q=2t+20中自变量t的值．由Q=50，得2t+20=50，解得t=15.（从函数图象中也能估出这个值，如图中点A的横坐标）所以当水池中的水量Q 为50m3时，注水时间t的值为15min.
课堂小结
函数的表示方法
解析法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系.
列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系.
图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律.
对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系. 有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法.
课后作业
完成本课对应课时作业.

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