资源简介

第六单元 圆
第21讲 圆的基本性质
知识清单梳理
知识点一：圆的有关概念
关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
知识点二 ：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
知识点四 ：圆周角定理及其推论
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=1/2∠O.

图a 图b 图c
( 2 )推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.
例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．
第22讲 与圆有关的位置关系
知识清单梳理
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)dr?点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二 ：切线的性质与判定
3.切线
的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.
知识点四 ：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
到三角形的三个顶点的距离相等
6.三角形的内切圆
与三角形各边都相
切的圆叫三角形的
内切圆，内切圆的
圆心叫做三角形的
内心，这个三角形叫
圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
到三角形的三条边的距离相等
第23讲 与圆有关的计算
知识清单梳理
知识点一 ：正多边形与圆
关键点拨与对应举例
1.正多边形与圆
（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.

（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：

中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2
例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.
(2)半径为6的正四边形的边心距为，中心角等于90°，面积为72.
知识点二：与圆有关的计算公式
2.弧长和
扇形面积
的计算
扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝＝
例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.
3.圆锥与
侧面展开图
（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.
（2）计算公式：
,S侧==πrl
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.
例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为

展开更多......

收起↑