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一次函数的概念
R·八年级数学下册
一次函数
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学习目标
1. 结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的
数量关系写出一次函数的解析式．
2. 能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般
与特殊之间的关系．
3. 会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题．
问题导入
问题：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. 用函数解析式表示 y 与 x 的关系，并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温.
海拔高度
y= 6x+5
当x=2时，y= 6×2+5= 7(℃).
探索新知
在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.
（1）铁的密度约为 7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化.
（2）每个练习本的厚度为 0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化.
m=7.9V
h=0.5n
（3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化.
（4）把一个长10 cm、宽5 cm 的矩形的长减少x cm，宽不变，矩形的面积 y（单位：cm2）随x 的变化而变化.
m=h 105
y= 5x+50
在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
m=7.9V
h=0.5n
m=h 105
y= 5x+50
这些函数的常数、自变量分别是什么？这些函数解析式有哪些共同特征？
这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
知识要点
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.
一次函数解析式的特点：
1.结构上看：函数=常数×自变量+一个常数.
2.解析式中自变量x，函数y的指数都是“1”.
3.比例系数k≠0.
4.常数项b通常不为0，但也可以等于0.
特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠ 0）的函数，叫作正比例函数，其中 k叫作比例系数.
一次函数
正比例函数
知识要点
一次函数与正比例函数的对比：
一次函数 y = kx + b 正比例函数 y = kx
相同点 不同点
① y 关于 x 的式子是整式；
② 两个变量的次数都是 1；
③ 比例系数 k ≠ 0
常数 b 为任意实数
常数 b = 0
1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y= 8x；
（2）y= ；
（3）y=5x2+6；
（4）y= 0.5x 1；
（5）y= 1；
（6）y= 13；
（7）y=2(x 4)；
（8）y=.
正比例函数：（1）；
一次函数：（1）（4）（5）（7）（8）.
2.已知函数y=(m 3)+3是一次函数，求m的值和这个函数的解析式.
解：由题意得m2 8=1，m 3≠0，所以m= 3.
所以一次函数的表达式为y= 6x+3.
注意：利用定义求一次函数y=kx+b表达式时，要保证k≠0，自变量x的指数是“1”.
3.已知关于x的函数y=(m－3)x｜m｜－2+n－2.
（1）当m，n取何值时，它是一次函数？
（2）当m，n取何值时，它是正比例函数？
解：（1）由题意，得｜m｜－2=1，m－3≠0，n－2为任意实数，所以当m=－3，n为任意实数时，它是一次函数.
（2）由题意，得｜m｜－2=1，m－3≠0，n－2=0，所以当m=－3，n=2时，它是正比例函数.
例
一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2cm.
（1）求弹簧的长度 y（单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式；
（2）当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？
解：（1）y 关于 x 的函数解析式为 y=2x+12.
（2）把x=5代入 y=2x+12，得y=2×5+12=22.
因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm.
练 习
1. 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（1）y =－8x；
（2）y =－；
（3）C = 2πr；
（4）y = 5x2 + 6；
（5）y = 2(x－4).
一次函数 y = kx + b
正比例函数 y = kx
（1）（3）（5）
一次函数
正比例函数
【选自教材第115页 练习 第1题】
2. 用函数解析式表示下列问题中 y 与 x 的关系：
（1）某人一年内的月平均收入为 x 元，他这一年
（12 个月）的总收入为 y 元；
（2）某水池有水 20 m3，现在打开进水管开始进水，
进水速度为 3 m3/h，则 x h 后水池有水 y m3 .
y = 12x；
y = 3x + 20.
【选自教材第115页 练习 第2题】
3.根据相关部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放，在换水时需要经历“排水—清洗—注水”的过程.某个蓄水2500 m3的游泳池在打开排水阀后，以20 m3/min的速度排水.
（1）写出该游泳池中剩余水量y（单位：m3）关于排水时间x
（单位：min）的函数解析式，这个函数是一次函数吗 （不要求写出自变量的取值范围）
解：根据题意，得y=－20x+2500．这个函数是一次函数．
（2）排水1h时，游泳池中剩余水量是多少
（3）游泳池完全排空需要多久
解：1h=60min，当x=60时，y=－20×60+2500=1300．
故排水1h时，游泳池中剩余水量是1300m3．
解：令y=0，得－20x+2500=0，解得x=125．
故游泳池完全排空需要125min．
4. 如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动.设四边形APQD的面积为y cm2，运动时间为x s，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
解：由题意，得AP=2x cm，CQ=x cm，
CD=AB=8 cm，
所以DQ=CD－CQ=(8－x)cm．
所以y=(AP+DQ)·AD= (2x+8－x)×4，
即y=2x+16(0课堂小结
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.
特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠ 0）的函数，叫作正比例函数.
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数
正比例函数
课后作业
完成本课对应课时作业.

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