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用待定系数法求一次函数的解析式
R·八年级数学下册
一次函数
23
学习目标
1. 学会用待定系数法确定一次函数的解析式．
2. 利用一次函数的解析式、图象和性质综合
解决实际问题，体会数学建模的一般思想．
知识回顾
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，如何画出它们的图象？
两点法——两点确定一条直线
思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
探索新知
例 4
已知一次函数的图象过点（2，－4）与（ －3，11），求这个一次函数的解析式.
y
O
－2
2
－4
4
6
8
10
12
x
－2
2
4
－4
（2,－4）
（－3,11）
分析：求一次函数 y=kx+b 的解析式，关键是求出 k，b 的值（即待定系数）. 从已知条件可以列出关于 k，b 的二元一次方程组，进而求出 k，b.
y
O
－2
2
－4
4
6
8
10
12
x
－2
2
4
－4
（2,－4）
（－3,11）
解：设这个一次函数的解析式为y = kx + b（k ≠ 0）.
因为 y = kx + b 的图象过点
（2，－4）与（－3，11），
k = －3，
b = 2.
解这个方程组，得
因此，这个一次函数的解析式为 y = －3x + 2.
2k + b = －4，
－3k + b = 11.
所以
设
列
解
代
待定系数法
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法.
归纳小结
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1.一个一次函数，当自变量 x=1 时，函数值 y=5；当 x=－1 时，函数值 y=1. 求这个一次函数的解析式.
【选自教材第123页 练习 第1题】
解：设这个一次函数的解析式为 y = kx + b .
由题意，得
k + b = 5，
－k + b = 1.
解得
k = 2，
b = 3.
所以这个一次函数的解析式为 y = 2x + 3.
2. 一个一次函数的图象经过点（9，0）和（24，20）， 求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为 y = kx + b.
把（9，0）和（24，20）分别代入，得
9k + b = 0，
24k + b = 20.
所以这个一次函数的解析式为 y = x－12.
解得
k = ，
b = －12.
【选自教材第123页 练习 第2题】
用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤：
（1）设：设一次函数的解析式为 y = kx + b（k ≠ 0）；
（2）代：将两组 x，y 的值分别代入解析式，得到关于 k，b 的二元一次方程组；
（3）解：解方程组，求出 k，b 的值；
（4）写：将求出的 k，b 的值回代到所设的函数解析式，得出所求函数的解析式.
函数解析式
y = kx+b
满足条件的两定点
(x1, y1)与(x2, y2)
一次函数的图象直线 l
选取
解出
画出
选取
从数到形
从形到数
归纳小结
一位记者乘坐汽车赴 360 km 外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路. 汽车在高速公路和
普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 y（单位：km）与时间 x（单位：h）之间的关系如图所示.
例 5
（1）求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式；
（2）记者出发后多长时间到达采访地？
当 0 ≤ x ≤ 2 时，汽车行驶的速度较快；
当 x > 2 时，汽车行驶的速度较慢.
因此，求函数解析式时应对 0 ≤ x ≤ 2和 x > 2 两个时段分别讨论.
分析：
解：当 0 ≤ x ≤ 2 时，函数图象是经过原点和点 A 的直线的一部分，
设函数的解析式为 y = k1x.
因为它的图象过点 A（2，180），
所以 180 = 2k1，解得 k1 = 90.
因此，当0 ≤ x ≤ 2 时，
函数的解析式为 y = 90x .
（1）求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的函数解析式；
当 x > 2 时，函数图象是经过 A，B 两点的直线的一部分.
设这个一次函数的解析式为 y = k2x + b2，
把点 A，B 的坐标分别代入 y = k2x + b2，得
k2 = 60，
b2 = 60.
解这个方程组，得
2k2 + b2 = 180，
3.5k2 + b2 = 270.
因此，当 x > 2 时，函数的解析式为 y = 60x + 60.
综上，当 0 ≤ x ≤ 2 时，y = 90x；当 x > 2 时，y = 60x + 60.
分段函数
（2）记者出发后多长时间到达采访地？
解：由图象可知，当 y = 360时，x > 2.
由 360 = 60x + 60，解得 x = 5.
因此，记者在出发 5 h 后到达采访地.
当 0 ≤ x ≤ 2 时，y = 90x；
当 x > 2 时，y = 60x + 60.
一名旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票. 他所托运的行李的费用 y（单位：元）与行李的质量 x（单位：kg）的关系如图所示. 这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少千克？
托运费为0元，即求直线与x轴交点的横坐标.
【选自教材第123页 练习 第3题】
解：设 y 关于 x 的函数解析式为 y = kx + b.
由题图可知，函数图象过点（25，90），（30，180），
当 y = 0 时，18x－360 = 0，
解得 x = 20.
所以这位旅客可免费托运的行李的最大质量是 20 kg.
所以
25k + b = 90，
30k + b = 180.
解得
k = 18，
b = －360.
所以 y = 18x－360.
练 习
1.如图，直线 AB 经过点 A (1,1) 和点 B (－1,－3)．
（1）求直线 AB 对应的函数解析式；
解：设直线 AB 对应的函数解析式为 y ＝ kx + b．
把 A (1,1) 和 B (－1,－3) 代入，得
k + b = 1，
－k + b = －3.
解方程组得
k = 2，
b = －1.
所以直线 AB 对应的函数解析式为 y ＝ 2x－1．
（2）连接 OA，OB，求 △AOB 的面积．
解：如图，设直线 y＝2x－1 与 y 轴相交于点 C．
当 x ＝ 0 时，y ＝－1，
所以 S△AOB ＝ S△OBC + S△AOC
所以点 C 的坐标为 (0，－1)．
＝ ×1×1 + ×1×1＝1．
C
2.甲、乙两人在某大街上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 m，先到终点的人原地休息. 已知甲先出发 4 min，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 y（单位：m）与甲出发的时间 x（单位：min）之间的关系如图中折线 OABCD 所示.
（1）甲的速度为______m/min，
乙的速度为______m/min；
60
80
（2）求线段 AB 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
解：设线段 AB 的函数解析式为 y = kx + b（4 ≤ x ≤ 16），
把（4，240），（16，0）代入，
得
4k + b = 240，
16k + b = 0.
则线段 AB 的函数解析式为
y = -20x + 320（4 ≤ x ≤ 16）.
k = -20，
b = 320.
解方程组得
（3）乙比甲早几分钟到达终点？
甲步行完全程所用时间为 2400÷60 = 40（min），
乙步行完全程所用时间为
2400÷80 = 30（min），
乙比甲早到终点的时间为
40-30-4 = 6（min）.
所以乙比甲早 6 min 到达终点.
课堂小结
用待定系数法求
一次函数解析式
设：设出一次函数的解析式 y=kx+b（k ≠ 0）
列：将已知的两组x，y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k, b的二元一次方程组
解：解所列的方程组，求出 k ，b 的值
代：将求出的k ，b的值代入所设解析式中，得到所求一次函数的解析式
求一次函数解析式，解决实际问题
课后作业
完成本课对应课时作业.

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