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(共22张PPT)
R·八年级数学下册
一次函数
23
一次函数与二元一次方程(组)
学习目标
1. 使学生理解二元一次方程与一次函数的关系．
2. 能用“形”(一次函数图象)的方法处理“数”[二元一次
方程(组)]的问题，培养学生数形结合的意识与能力．
3. 会应用一次函数的图象求二元一次方程(组)的解．
问题导入
1. 二元一次方程x+y=5和一次函数y=－x+5之间有什么联系？
2.（1）解二元一次方程组
x+y=5，
2x－y=1；
（2）求直线y=－x+5和直线y=2x－1交点的坐标．
对比（1）中方程组的解与（2）中交点的坐标，你有什么发现？
探索新知
我们知道，方程2x－y=1可以转化为y=2x－1，它们有相同的解．y=2x－1对应一次函数y=2x－1.
类似地，对于二元一次方程2x－y=3，可以将其写成一次函数___________的形式．
y=2x－3
（1）画出一次函数y=2x－3的图象；
（2）找出一次函数y=2x－3的几组解；
（3）将（2）中找出的几组解在平面直角坐标系中描出，你发现了什么
x=﹣1，y=﹣5
x=0，y=﹣3
x=1，y=﹣1
x=2，y=1
x=3，y=3
x=4，y=5
y=2x－3
找出的几组解在平面直角坐标系中描出后，均在直线y=2x－3上．
y=2x－3
（4）在一次函数y=2x－3的图象上的点的坐标都是二元一次方程2x－y=3的解吗
归纳小结
由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x, y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x, y)为坐标的点都在这条直线上．
二元一次方程
二元一次方程的解
一次函数
一条直线
一次函数
两变量的值
直线上
点的坐标
对应
对应
对应
对应
直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y=2的解的是( ).
C
（1）求一次函数 y=2x－1 与 y=－ 的图象的交点坐标，你有哪些方法？
+
y
O
－1
2
1
3
x
2
－2
－1
1
3
y = 2x － 1
P (1,1)
y = －x +
解：从函数值考虑，两条直线相交时，交点处自变量相等，函数值也相等（交点的横、纵坐标均相等），所以所以2x－1=－+，解得x=1，代入y=2x－1，得y=1，所以交点坐标为(1, 1).
2x－y=1，
3x+5y=8，
（2）解方程组 并结合（1）中的交点坐标，谈一谈你的发现.
y
O
－1
2
1
3
x
2
－2
－1
1
3
y = 2x － 1
P (1,1)
y = －x +
解方程组 得
2x－y=1，
3x+5y=8，
x=1，
y=1.
发现：（1）中两条直线交点的坐标(x, y)的值即为方程组的解．
归纳小结
从数的角度看：
解这样的方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是何值；
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从形的角度看：
解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
同时释放两个探测气球，1 号气球从距离地面 5 m 高处出发，以 1 m/s 的速度上升；2 号气球从距离地面 15 m 高处出发，以 0.5 m/s 的速度上升. 两个气球都上升了 1 min.
例
（1）分别写出表示两个气球所在位置的高度 y（单位：m）关于上升时间 x（单位：s）的函数解析式；
= 起始高度+上升高度.
1 min
解：气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.
（2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
从“数”的角度看：就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.
由此可列二元一次方程组
y = x + 5，
y = 0.5x + 15.
解这个方程组，得
x = 20，
y = 25.
这就是说，当气球上升 20 s时，两个气球都距离地面 25 m.
从“形”的角度看：同一坐标系中，这两条直线的交点坐标为(20, 25)，这说明气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.
y/m
O
10
5
15
20
25
x/s
10
5
15
20
y = x + 5
y = 0.5x + 15
P (20,25)
1. 一次函数 y = 2x－3 与 y = ax + 2 的图象的交点坐标
的解和 a 的值.
y = 2x － 3.
y = ax + 2.
为 (2,1)，请确定方程组
解：由题意知方程组
y = 2x － 3，
y = ax + 2.
的解为
x = 2，
y = 1.
x = 2，
y = 1.
把
代入 y = ax + 2，得 2a + 2 = 1，解得 a = －.
【选自教材第130页 练习 第2题】
2. 刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游. 在甲公司
租车，需收取固定租金 80 元，在此基础上再按 14 元/ h
计费；在乙公司租车，无固定租金，按 30 元/h 计费. 当他
家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同？
解：设租车时间为 x h，租用甲、乙两个公司汽车的费用分别
为 y1元、y2元.
由题意可得 y1 = 80 + 14x，y2 = 30x .
令 y1 = y2，即 80 + 14x = 30x，解得 x = 5.
因此，当他家租车 5 h 时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同.
【选自教材第130页 练习 第3题】
练 习
（1）求每种付酬方案中y关于x的函数解析式；
方案一：y=40x.
方案二：y=20x+600.
1.某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是每月推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬.公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：
（2）当推销产品多少件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同？报酬是多少？
根据题意列方程组，得
y=40x，
y=20x+600.
x=30，
y=1200.
解得
答：当推销产品30件时，选择方案一与选择方案二所得报酬相同，报酬是1200元．
（3）若推销员某月推销产品35件，则他选择哪种方案所得报酬更高？
结合（2）中的答案和函数图象可得，当月推销产品35件时，选择方案一所得报酬更高．
2.*当k为何值时，直线2k+1=5x+4y与直线k=2x+3y的交点在第四象限？
联立
5x+4y=2k+1，
2x+3y=k.
解得
x= ，
y= .
因为它们的交点在第四象限，所以x>0，y<0，即
解得 课堂小结
二元一次方程组的解
两个一次函数图象的交点坐标
两个二元一次方程的公共解
课后作业
完成本课对应课时作业.

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