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一次函数与一元一次方程、不等式
R·八年级数学下册
一次函数
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学习目标
1. 使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次
不等式的转化关系及其本质联系．
2. 使学生能初步运用函数的图象解释一元一次方程的解、
一元一次不等式的解集，并能通过函数图象求一元一次
方程的解、一元一次不等式的解集．
3. 掌握用图象求解方程、不等式的方法，进一步体会数形
结合思想的应用．
问题导入
思考：y-2x=20是二元一次方程还是函数？
一次函数的一般形式为
y=kx+b(k≠0).
y-2x=20
y=2x+20
方程的角度
二元一次方程
函数的角度
一次函数
任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是都对应一条直线.
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探索新知
如图，一次函数 y = 2x－1 的图象与 x 轴交点的横坐标是 0.5 . 当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是多少？ 由此可以得出一元一次方程 2x－1 = 0 的解吗？
y
O
－1
1
x
1
－1
y = 2x－1
y
O
－1
1
x
1
－1
y = 2x－1
1.从“数”的角度看：
一次函数问题 方程的解
2x－1=0 可以看作函数y=2x－1，当y=0时，求x的值 x=0.5
y
O
－1
1
x
1
－1
y = 2x－1
2.从“形”的角度看：
一次函数问题
2x－1=0 在直线y=2x－1上取纵坐标为0的点，求其横坐标
从函数的角度看解一元一次方程ax+b=0 (a≠0)，相当于在一次函数y=ax+b (a≠0)的函数值为0时，求自变量x的值.
(0.5,0)
归纳总结
求ax+b=0（a，b 是
常数，a≠0）的解
一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标
数形结合
已知一次函数y=－2x+2的图象如图所示．根据图象回答：
（1）求方程－2x+2=0的解；
（2）求方程－2x+2=2的解．
y
O
－1
2
－2
－3
1
3
x
2
－2
－1
1
解：（1）一次函数y=－2x+2的图象与x轴的交点为(1, 0)，所以方程－2x+2=0的解为x=1.
（2）一次函数y=－2x+2的图象过点(0, 2)，所以方程－2x+2=2的解为x=0.
如图，利用一次函数 y=2x–1 的图象，你能得出函数值大于 0 时 x 的取值范围吗？函数值小于 0 时呢？
y
O
－1
1
x
1
－1
y = 2x－1
1.从“数”的角度看：
一次函数问题 不等式的解
2x－1>0 可以看作函数y=2x－1，当y>0时，求x的取值范围 x>0.5
2x－1<0 可以看作函数y=2x－1，当y<0时，求x的取值范围 x<0.5
2.从“形”的角度看：
y
O
－1
1
x
1
－1
y = 2x－1
一次函数问题
2x－1>0 在直线y=2x－1上取纵坐标大于0的点，求其横坐标的范围
2x－1<0 在直线y=2x－1上取纵坐标小于0的点，求其横坐标的范围
从函数角度看解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a≠0)相当于在一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围.
归纳总结
从“数”的角度看
求ax+b>0(或ax+b <0)
(a, b是常数，a≠0)的解集
求一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)，求自变量x的取值范围
求直线y=ax+b在x轴上方(或下方)部分的自变量x的取值范围
从“形”的角度看
数形结合
画出一次函数 y=－2x+8 的图象，利用图象解方程
－2x+8=0 及不等式－2x+8>0 与－2x+8<0.
【选自教材第130页 练习 第1题】
解：一次函数 y = －2x + 8 的图象如图所示.
由图可知，
方程－2x + 8 = 0 的解为 x = 4，
不等式－2x + 8 > 0 的解集为 x < 4，
不等式－2x + 8 < 0 的解集为 x > 4.
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练 习
1.已知直线y=ax-b的图象如图所示，则关于x的方程ax-b=0的解为x=_____，当x=0时，y=_____.
2
-1
2.一次函数y=ax+b的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥0的解集是( ).
A.x≥2 B.x≤2 C.x≥4 D.x≤4
B
3.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：
（1）求方程 2x+6=0 的解；
（2）求不等式 2x+6>0 的解集；
（3）求不等式组﹣1≤2x+6≤3 的解集．
解：(1)因为图象过点(﹣3, 0)，所以方程2x+6=0的解为x=﹣3．
(2)因为当函数y=2x+6的图象在x轴上方时，x>﹣3，所以不等式2x+6>0的解集为x>﹣3．
3.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：
（1）求方程 2x+6=0 的解；
（2）求不等式 2x+6>0 的解集；
（3）求不等式组﹣1≤2x+6≤3 的解集．
(3)因为函数图象过F(﹣1.5, 3)，G(﹣3.5,﹣1)两点，当函数y=2x+6的函数值满足﹣1≤y≤3时，﹣3.5≤x≤﹣1.5，所以不等式组的解集是﹣3.5≤x≤﹣1.5 ．
4.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx和y=mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式(k-m)x-n>0的解集是____．
kx>mx+n
x>1
课堂小结
数：计算求解
形：观察图象
一次函数
一元一次方程
一元一次不等式
课后作业
完成本课对应课时作业.

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