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建立一次函数模型
R·八年级数学下册
一次函数
23
学习目标
1. 通过实际问题经历一次函数模型的建模过程，在情境中
感受数学来源于生活，发展和培养数学建模思想以及分
析、解决问题的能力．
2. 了解分段函数的特点，学会根据题意求出分段函数的解
析式并画出函数图象，感知数形结合思想在一次函数中
的应用．
新课导入
在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画.
实际问题
一次函数
抽 象
解析式
根据条件
再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题.
试一试：在弹性限度内，弹簧的长度 y (单位：cm) 与所挂物体的质量 x (单位：kg) 之间是一次函数关系，其图象如图所示，则 y 关于 x 的函数解析式为___________，弹簧不挂物体时的长度为_____cm．
y=0.5x+10
10
探索新知
某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折.
例
（1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
付款金额、种子价格、购买量三者有怎样的关系
付款金额=种子价格×购买量
分析：通过题意我们可知，种子价格不是固定不变的，它与_______有关，设购买 x kg种子，付款金额为 y 元．则有：
购买量
购买量/kg 种子价格/（元/kg） 付款金额/元
0≤x≤2 40 40x
x>2 2kg种子价格+超过2kg部分的种子价格 24x+32
+
40×2
40×0.6×(x－2)
因此，写函数解析式与画函数图象时，应分_________和_________讨论．
0≤x≤2
x>2
解：（1）设购买量为 x kg，付款金额为 y 元.
当 0 ≤ x ≤ 2时，种子价格为 40元/kg，函数解析式为 y = 40x；
当 x > 2 时，购买的种子中有 2 kg 按 40元/kg 计价，其余的(x－2)kg
(即超出 2 kg 部分) 按 24元/kg
(即六折)计价.
函数解析式为 y=80+24(x – 2)=24x+32.
y/元
O
40
20
60
80
100
x/kg
2
1
3
y = 40x
y = 24x + 32
函数图象如图所示.
（2）一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元？
y/元
O
40
20
60
80
100
x/kg
2
1
3
y = 40x
y = 24x + 32
因为 4 > 2，
所以 y = 24 × 4 + 32 = 128.
因此，一次购买 4 kg 种子，需付款 128 元.
y =
40x，0 ≤ x ≤ 2，
24x + 32，x > 2 .
某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度.按照新标准，用户每月缴纳的水费 y ( 单位:元 ) 与每月用水量 x ( 单位:m3 ) 存在如图所示的函数关系．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
（2）若某用户某月缴纳水费 63 元，
则该用户当月的用水量是多少立方米？
解:（1）当 0 ≤ x ≤ 15 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y ＝ mx ( m ≠ 0 )．
由题意，得 15m ＝ 27，解得 m ＝ 1.8，所以 y ＝ 1.8x．
当 x＞15 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y ＝ kx + b ( k ≠ 0 )．
15k + b = 27，
20k + b = 39，
由题意，得
k = 2.4，
b = －9，
解方程组，得
所以 y = 2.4x－9.
综上，y 关于 x 的函数解析式为 y =
1.8x，0 ≤ x ≤ 15，
2.4x－9，x > 15.
（2）因为 63＞27，
所以将 y ＝ 63 代入 y ＝ 2.4x－9，
得 2.4x－9 ＝ 63，解得 x ＝30，
则该用户当月的用水量是 30 m3 ．
（2）若某用户某月缴纳水费 63 元，则该用户当月的用水量是多少立方米？
练 习
1. 一个实验室在 0:00-2:00 保持 20 ℃ 的恒温，在 2:00-4:00 匀速升温，每小时升高 5 ℃. 写出实验室温度 T(单位：℃)关于时间 t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象.
解：当 0 ≤ t ≤ 2 时，T = 20；
当 2 < t ≤ 4 时，T = 20 + 5(t－2) = 5t + 10，
所以 T =
20，0 ≤ t ≤ 2，
5t +10，2 < t ≤ 4 .
【选自教材第131页 练习 第1题】
2. 某市出租车的收费方式为：路程不超过 3 km 时收费 9 元，
超过 3 km 部分每千米收费 2 元. 记乘客乘坐出租车的路程
为 x (x > 3) km，乘车费为 y 元.
（1）求 y 关于 x 的函数解析式；
解：y 关于 x 的函数解析式为 y=9+2(x－3)，即 y=2x+3.
【选自教材第132页 练习 第2题】
（2）若有一位乘客付了 23 元乘车费，则他的乘车路程是多少？
解：令 y = 23，即 2x + 3 = 23，解得 x = 10.
所以他的乘车路程是 10 km.
3.某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用．他按市场价售出50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完．已知王爷爷电子钱包中的零钱总额y(单位：元)(含原有零钱)与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题：
（1）王爷爷的电子钱包中原有零钱____元；
（2）苹果降价前每千克____元，降价后每千克____元；
80
12
10
（3）请求出 y 关于 x 的函数解析式．
解：由图象和（1）（2）可得，当0 ≤ x ≤ 50时，y=12x+80；
当50 < x ≤ 80时，y=10(x－50)+680，即y=10x+180.
综上，y关于x的函数解析式为y=
12x+80，0 ≤ x ≤ 50，
10x+180，50 < x ≤ 80 .
课堂小结
一次函数的应用
函数的形式
确定解析式
单一函数
直接根据题意
分段函数
待定系数法
课后作业
完成本课对应课时作业.

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