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(共23张PPT)
数据的分析
利用数据的集中趋势和离散程度做决策
01
02
03
学会运用方差分析数据并进行优化选择和决策.
综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题．
通过解决简单的实际问题，形成一定的数据意识，提高解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值．
说一说方差的计算公式和方差的意义.
方差越大，数据的离散程度越大；
方差越小，数据的离散程度越小．
数据分布比较分散
数据分布比较集中
只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用方差比较两组数据的离散程度. 数据波动小时，平均数更具有代表性.
探索新知
例2 自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差（实际含量－标准含量）. 甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为 500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取 10 瓶饮料进行测量，结果（单位：mL）如表所示.
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
（1）如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过 10 mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？
解：甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量 500 mL 的误差如表所示．
甲组误差/mL 1 －4 －2 －1 3 －2 5 －2 1 1
乙组误差/mL －4 －7 4 －5 0 6 4 5 －2 －1
从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为 5 mL、7 mL，两者都小于10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
（2）哪条灌装线的灌装质量更好？
可通过哪些统计量来关注饮料的质量？
甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为
x甲 =
501 + 496 + … + 501
10
= 500
x乙 =
496 + 493 + … + 499
10
= 500
两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.
甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501
乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499
（2）哪条灌装线的灌装质量更好？
可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为
(501－500)2 + (496－500)2 + … + (501－500)2
10
=
= 6.6
(496－500)2 + (493－500)2 + … + (499－500)2
10
=
= 18.8
＜
可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.
根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好.
方差只能反映样本的稳定性，而不能反映样本的一般水平.
因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断.
知识点拨
甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ）
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
队员 平均成绩 方差
甲 9.7 2.12
乙 9.6 0.56
丙 9.8 0.56
丁 9.8 1.34
C
例3 甲、乙两地同一天的气温记录如表所示.
两地的气温有什么差异？
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
为了直观地观察两地气温的特点，可以以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示.
解：得到下图.
从折线图中可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地．
为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较.
①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异：
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
平均数、中位数、众数.
两地气温的平均数分别为
x甲
11 + 9 + … + 13
13
=
= 16
x乙
13 + 11 + … + 15
13
=
= 16
平均数相等.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
将两地气温按从小到大排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
中位数都是 16.
①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异：
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
将两地气温按从小到大排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
众数：甲地是 16 和 21.
乙地是 15 和 17.
重复次数太少，不具有代表性.
①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异：
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
平均数/℃ 中位数/℃ 众数/℃
甲地 16 16 16 和 21
乙地 16 16 15 和 17
①通过数据的集中趋势分析两地的气温差异：
从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显.
时刻 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
两地气温的方差分别为
方差
②通过数据的离散程度分析两地的气温差异：
由 可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定.
1. 甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试. 每人投篮 10 组，每组投篮 10 次，两名运动员投篮 10 组命中的次数如下表所示.
【选自教材第174页 练习 第1题】
哪名运动员的投篮更稳定？
甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9
乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7
解：甲运动员投篮命中次数的平均数为
乙运动员投篮命中次数的平均数为
甲 8 6 9 6 8 10 7 7 10 9
乙 7 8 9 8 9 8 8 10 6 7
甲运动员投篮命中次数的方差为
乙运动员投篮命中次数的方差为
由平均数相同， 可知，乙运动员的投篮更稳定.
2. 甲、乙两台机床同时生产一种零件. 在 10 天中，两台机床每
天出次品的数量（单位：件）如下表所示.
【选自教材第174页 练习 第2题】
（1）分别计算两组数据的平均数和方差；
解：两组数据的平均数分别为
x甲
0 + 1 + 0 + 2 + 2 + 0 + 3 + 1 + 2 + 4
10
=
= 1.5
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
x乙
2 + 3 + 1 + 1 + 0 + 2 + 1 + 1 + 0 + 1
10
=
= 1.2
两组数据的方差分别为
(0－1.5)2 + (1－1.5)2 + … + (4－1.5)2
10
=
= 1.65
(2－1.2)2 + (3－1.2)2 + … + (1－1.2)2
10
=
= 0.76
甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
（2）哪台机床的性能比较好？
即：出次品的平均数小，且波动较小(方差小)的.
由 x甲 > x乙， 可知，乙机床的性能比较好.
机床 平均数 方差
甲 1.5 1.65
乙 1.2 0.76
如何表现一组数据的集中趋势和离散程度？
平均数
离差平方和
数据
中位数
众数
总体平均数
样本估计总体
方差
总体方差
样本估计总体
离散程度
集中趋势
课后作业
完成本课对应课时作业.

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