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数据的分析
数据的四分位数
01
02
03
了解百分位数，并借助百分位数认识四分位数．
会计算四分位数，能够画出箱线图．
了解四分位数与箱线图的关系，能够借助箱线图分析数据的分布信息．
问题 某银行有A和B两个理财产品经营团队. 近三年，这两个团队分别负责经营12项理财产品，收益率（单位：%）如下：
A 4.77 3.98 6.44 4.89 2.15 3.85
3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60
4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品？
我们可以用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平.通过计算，可以得到A和B两个团队产品收益率的平均数和方差分别为
xA ≈ 3.862，
≈ 1.327；
xB ≈ 3.863，
≈ 0.117.
如果你是一位购买理财产品的投资者,你会选择哪个团队的产品？
稳健型投资者可以选择团队 B 经营的理财产品.
激进型投资者可以选择团队 A 经营的理财产品.
我们可以用产品收益率的平均数和方差来刻画这两个团队的经营水平.通过计算，可以得到A和B两个团队产品收益率的平均数和方差分别为
xA ≈ 3.862，
≈ 1.327；
xB ≈ 3.863，
≈ 0.117.
思考：如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，那么产品收益率的平均数和方差能反映出这些信息吗？
探索新知
概念引入：
一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份. 将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数.
相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息.
把团队A的产品收益率按从小到大的顺序排列：
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
3.915
中位数
50%分位数
3.195
4.44
25%分位数
75%分位数
由于 3.195，3.915，4.44 这三个值把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数.
第二四分位数
Q1
Q2
Q3
第一四分位数
（下四分位数）
第三四分位数
（上四分位数）
团队A的产品收益率的四分位数：
2.02 2.15 3.18 3.21 3.64 3.85 3.98 4.10 4.11 4.77 4.89 6.44
3.915
3.195
4.44
团队B的产品收益率的四分位数：
3.18 3.40 3.60 3.67 3.84 3.87 3.91 3.99 4.10 4.15 4.21 4.44
3.89
3.635
4.125
结合四分位数，说明两个团队产品收益率的分布情况．
1. 某校18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得 8个班的比赛得分如下：91,90,94,87,93,96,91,85,则这组数据的 75％分位数为_______．
93.5
2.一组数据按从小到大排列为：16，25，33，39，43，m，65，70．若这组数据的下四分位数与上四分位数的和是 85，则m = _____．
29 +
= 85
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概念引入：
为了更加直观地观察数据的分布特征，我们可以用数据的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图．
箱体
须线
须线
最小值
最大值
第一四分位数
第二四分位数
第三四分位数
整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距．
请尝试用箱线图表示问题中A，B两个团队产品收益率的四分位数．
团队A：
2
3
4
5
6
7
收益率%
团队B：
2
3
4
5
6
7
收益率%
观察箱线图，能得到A，B两个团队产品收益率的哪些信息？
分布的范围
中位数的大小
集中的范围
分布是否对称
箱线图也可以按竖直方向画．为了便于比较两组数据的分布特征，可以把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中.
0
1
2
3
4
5
6
7
收益率%
A 团队
B 团队
请结合左边的箱线图，分析比较 A，B两个团队产品收益率的分布情况．
0
1
2
3
4
5
6
7
收益率%
A 团队
B 团队
中位数的水平线段差不多高.
两个团队产品收益率的中位数几乎相等.
团队 A 的箱体和须线比团队 B 的长.
团队 A 的产品收益率波动明显比团队 B 的大
0
1
2
3
4
5
6
7
收益率%
A 团队
B 团队
中位数对应的水平线段在箱子的中间位置.
团队 B 的产品收益率分布比团队 A 的更对称
团队 A 有约 25％的产品收益率高于团队 B 的最高产品收益率
也有约 25％的产品
收益率低于团队 B 的最低产品收益率
与直方图、条形图比较，箱线图在表示数据方面有什么特点？
箱线图可以不受数据量影响，并排展示多组数据的分布，便于比较各组的中位数、离散程度等信息，还能直接反映数据的对称程度、集中范围.
有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是（ ）
A.这组数据的下四分位数是4
B.这组数据的中位数是10
C.这组数据的上四分位数是15
D.被墨水污染的数据中有一个数是3，有一个数是18
B
例 根据表中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点.
解：将表中两地的气温(单位：℃)分别按从小到大的顺序排列，可得
甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24
乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21
甲/℃ 11 9 10 12 16 21 23 24 21 18 16 14 13
乙/℃ 13 11 12 14 15 17 19 21 20 18 17 16 15
Q2
甲地：Q1 = 11.5，
乙地：Q1 = 13.5.
甲地：Q3 = 21，
乙地：Q3 = 18.5.
在同一幅图中画出两地气温的箱线图如图所示．
0
5
10
15
20
25
30
气温/℃
甲地
乙地
可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大.
甲地约有 25%时刻的气温高于乙地的最高温度，约有 25% 时刻的气温低于乙地的最低温度.
归 纳
按从小到大的顺序排列的一组数据，可以按以下步骤确定其四分位数：先找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数；然后找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数. 利用一组数据的三个四分位数，以及最小值、最大值可以刻画这组数据的大致分布情况.
1. 某城市 9 月份空气质量指数的箱线图如图所示.
【选自教材第180页 练习 第1题】
（1）这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？
最大值 110
最大值 30
Q1 = 40
Q2 = 50
Q3 = 80
（2）请分析这个月空气质量的特点.
最大值 110
最大值 30
空气质量指数低于 40 的天数约占总数的 25%；
空气质量指数低于 50 的天数约占总数的 50%；
空气质量指数高于 80 的天数约占总数的 25%；
空气质量指数在 40~80 之间的天数约占总数的 50%.
Q1
Q2
Q3
2. 计算第 149 页“问题 1”中每组数据的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较两个小组的跳绳成绩特点.
甲组 182 194 143 185 156
乙组 199 148 242 170 141
解：将数据按照从小到大的顺序排列
【选自教材第180页 练习 第2题】
甲组 143 156 182 185 194
乙组 141 148 170 199 242
Q2
Q1 = 149.5
Q1 = 144.5
Q3 = 189.5
Q3 = 220.5
在同一幅图中画出两组跳绳成绩的箱线图，如图所示.
甲组的跳绳成绩比乙组的稳定.
甲组跳绳成绩的中位数大于乙组跳绳成绩的中位数.
乙组跳绳成绩的波动明显
比甲组的大.
3. 任何一组数据的四分位数，是否都恰好能把这组数据分成四等份？举例说明.
将数据平均分成四份，每份数据个数相等.
解：不能. 例如有 9 个数据从小到大排列：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Q2
Q1 = 2.5
Q3 = 7.5
【选自教材第180页 练习 第3题】
如何理解百分位数和四分位数？它们有什么区别？箱线图该怎么画？它是怎样反映数据的分布信息的？
数据
百分位数
分布信息
三个特殊的百分位数
四分位数
箱线图
图形表示
完成本课对应课时作业.

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