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数据的分析
数据的分组
01
02
03
经历数据分组的活动，了解组内离差平方和与组间离差平方和的概念．
能够按照组内离差平方和最小的分组原则对数据进行分组．
借助数据的分组原则解决实际问题．
在社会生活中，分类现象普遍存在.
超市里各种商品按用途不同分类摆放
宾馆根据硬件设施、服务水平分成不同的星级
对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题.
探索新知
问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试. 将 10 名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试？
你怎么理解这句话？
把笔试成绩分成好和差两组.
好
差
进入面试
淘汰
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
上面的问题可以理解为把这10名应聘者的笔试成绩分成好和差两组，则共有____种分组方法．
9
那如果要使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？
在前面的学习中，我们学习了离差平方和，了解到 d2 可以刻画一组数据的离散程度，结合上面的问题，你有什么想法？
概念引入：
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
d2 =
一般地，设有 n 个数据 x1，x2，…，xn，其平均数记为 x，则离差平方和为
如果把这组数据分为两组，前 m（m < n）个数据为一组，后（n－m）个数据为一组.
它们的离差平方和分别为
…
…
m 个数据
(n－m) 个数据
平均数：x1
平均数：x2
( x1－ x1 )2 + ( x2－ x1 )2 + … + ( xm－ x1 )2
d12 =
( xm+1－ x2 )2 + ( xm+2－ x2 )2 + … + ( xn－ x2 )2
d22 =
那么
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
d 2 =
= ( x1－x1 + x1－ x )2 + ( x2－x1 + x1－ x )2 +…+ (xm－x1 + x1－x )2
+ (xm+1－x2 + x2－x )2 + … + ( xn－x2 + x2－ x )2
用完全平方公式展开：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
( x1－x1 )2 + 2( x1－x1 )( x1－ x ) + ( x1－ x )2
( x2－x1 )2 + 2( x2－x1 )( x1－ x ) + ( x1－ x )2
( xm－x1)2 + 2( xm－x1 )( x1－ x ) + ( x1－ x )2
我们先只观察 2 倍项，你有什么发现？
那么
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
d 2 =
= ( x1－x1 + x1－ x )2 + ( x2－x1 + x1－ x )2 +…+ (xm－x1 + x1－x )2
+ (xm+1－x2 + x2－x )2 + … + ( xn－x2 + x2－ x )2
前 m 个数据 2 倍项的和为
2( x1 + x2 + … + xm－mx1 )( x1－ x )
由平均数的意义：x1 + x2 + … + xm = mx1
= 0
同理，后面 (n－m) 个数据的 2 倍项的和也为 0.
所有 2 倍项的和为 0 ，计算时就不必考虑了.
那么
( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2
d 2 =
= ( x1－x1 + x1－ x )2 + ( x2－x1 + x1－ x )2 +…+ (xm－x1 + x1－x )2
+ (xm+1－x2 + x2－x )2 + … + ( xn－x2 + x2－ x )2
= ( x1－x1 )2 + ( x2－x1 )2 +…+ (xm－x1 )2 + (xm+1－x2 )2 + … +
( xn－x2 )2 + m( x1－x )2 + (n－m)( x2－x )2
= d12 + d22 + m( x1－x )2 + (n－m)( x2－x )2
d12 + d22 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度.
记为
称为组间离差平方和，表示两个组间的差异．
当分组结果满足组内差异最小的情况时，d12 + d22 与 满足什么条件？
d 2 = d12 + d22 +
这组数据的离差平方和，固定不变.
最小
最大
既可以按d12 + d22 最小
来分组，也可以按 最大来分组
将下列表格补充完整，找出最合适的分组方法．
分组
第 1 个间隔
第 2 个间隔
第 3 个间隔
第 4 个间隔
第 5 个间隔
第 6 个间隔
第 7 个间隔
第 8 个间隔
第 9 个间隔
d12
d12 + d22
d22
x1
x2
58
80.2
0
799.6
799.6
61
82.25
18
503.5
521.5
63.3
84.3
50.7
271.4
322.1
66.25
85.8
152.8
170.8
323.6
68.2
87.8
228.8
54.8
283.6
70.7
89
411.3
26
437.3
72.7
90.3
587.4
4.7
592.1
74.75
91
819.5
2
821.5
76.4
92
1026.2
0
1026.2
最小
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
分组
第 1 个间隔
第 2 个间隔
第 3 个间隔
第 4 个间隔
第 5 个间隔
第 6 个间隔
第 7 个间隔
第 8 个间隔
第 9 个间隔
d12
d12 + d22
d22
x1
x2
58
80.2
0
799.6
799.6
61
82.25
18
503.5
521.5
63.3
84.3
50.7
271.4
322.1
66.25
85.8
152.8
170.8
323.6
68.2
87.8
228.8
54.8
283.6
70.7
89
411.3
26
437.3
72.7
90.3
587.4
4.7
592.1
74.75
91
819.5
2
821.5
76.4
92
1026.2
0
1026.2
最小
当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小．
因此，按组内离差平方和最小的分法为
｛58，64，68，75，76｝和｛83，85，89，90，92｝
( x1－ x1 )2 + ( x2－ x1 )2 + … + ( xm－ x1 )2
d12 =
( xm+1－ x2 )2 + ( xm+2－ x2 )2 + … + ( xn－ x2 )2
d22 =
有一组数据: 5，6，8，9，10，按照“组内离差平方和最小”原则将这组数据分成两组，下列选项正确的是（ ）
A. {5} 和 {6，8，9，10}　　　　　B. {5，6} 和 {8，9，10}
C. {5，6，8} 和 {9，10}
D. {5，6，8，9} 和 {10}
＝ 0， ＝ 8.75， ＝ 8.75
＝ 0.5， ＝ 2， ＝ 2.5
＝ 4.67， ＝ 0.5， ＝ 5.17
＝ 10， ＝ 0， ＝ 10
B
有一组数据: 5，6，8，9，10，按照“组内离差平方和最小”原则将这组数据分成两组，下列选项正确的是（ ）
＝ m ( x1－ x )2 + (n－m )( x2－ x )2
最大
＝ (5－7.6)2 + 4(8.25－ 7.6 )2 = 8.45
＝ 2(5.5－ 7.6 )2 + 3(9－7.6)2 = 14.7
＝ 3(6.33－ 7.6 )2 + 2(9.5－7.6)2 ≈ 12.06
＝ 4(7－ 7.6 )2 + (10－7.6)2 = 7.2
A. {5} 和 {6，8，9，10}　　　　　B. {5，6} 和 {8，9，10}
C. {5，6，8} 和 {9，10}
D. {5，6，8，9} 和 {10}
B
例 10 个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示.
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17
（1）根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这 10 个城市分为两组.
解: 将表中的数据按从小到大排列，可得
－11　－3　3　3　9　10　12　17　21　22
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17
将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示.
分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内
离差平方和
第1个间隔 0 584.2 584.2
第2个间隔 32 380.9 412.9
第3个间隔 98.7 285.7 384.4
第4个间隔 132 158.8 290.8
第5个间隔 228.8 113.2 342
第6个间隔 308.8 62 370.8
第7个间隔 397.4 14 411.4
第8个间隔 562 0.5 562.5
第9个间隔 789.6 0 789.6
最小
因此，按组内离差平方和最小的分法为
{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨} 和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}．
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17
（2）根据平均高温的组间离差平方和最大原则，把这 10 个城市分为两组．所得分组结果与（1）中结果一致吗？
分别计算各组数据的平均数和组间离差平方和，如表所示：
分组 组间离差平方和
第1个间隔 －11 10.44 413.9
第2个间隔 －7 12.125 585.2
第3个间隔 －3.67 13.43 613.7
第4个间隔 －2 15.17 707.3
第5个间隔 0.2 16.4 656.1
第6个间隔 1.83 18 627.3
第7个间隔 3.29 20 586.7
第8个间隔 5 21.5 435.6
第9个间隔 6.78 22 208.5
最大
所得分组结果与（1）中结果一致.
（3）结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗？
合理．因为第一组中的城市位于我国北方地区，普遍气温偏低，第二组中的城市位于我国南方，温度较高．
{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}
{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}．
某年 5 个城市的人均生活用电量如下表所示.
【选自教材第185页 练习 第2题】
根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这 5 个城市分为两组.
城市 A B C D E
人均生活用电量/（kW·h） 910 886 847 812 788
解：将表中的数据按从小到大排列，可得788，812，847，886，910. 将它们分成两组共有 4 种情况：
分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内
离差平方和
第1个间隔 0 5592.75 5592.75
第2个间隔 288 2022 2310
第3个间隔 1760.67 288 2048.67
第4个间隔 5470.75 0 5470.75
所以按照第3个间隔分组时，组内离差平方和最小.分组情况为｛C，D，E｝和｛A，B｝.
什么是组内离差平方和？什么是组间离差平方和？对一组数据进行分组时，应遵循什么原则？
数据的分组
离差平方和
组内离差平方和
组内离差平方和最小
组间离差平方和
分组原则
组间离差平方和最大
完成本课对应课时作业.

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