资源简介

江西省吉安市吉安县第一次阶段性检测2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2024九下·吉安月考）如图，是放置在北京冬奥会场馆内水平地面上的领奖台，其几何体左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得，
领奖台的左视图为
故答案为：C．
【分析】画一个几何体的三视图时，注意三个原则： 在确定的三视图中，防止所画的图形与原物体形状不一致；注意观察几何体，防止丢失客观存在的部分轮廓线；准确确定轮廓线的虚实，防止把实线与虚线混淆。
2．（2024九下·吉安月考）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17
C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，
∴x2﹣8x=1，
∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，
故选：B．
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
3．（2024九下·吉安月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：由勾股定理得AB=，sinB=
答案：C.
【分析】先由勾股定理求出斜边AB的长度，再求sinB.
4．（2024九下·吉安月考）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9
C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A.
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是16(1-x)，二次后的价格是，据此即可列方程。
5．（2024九下·吉安月考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，E是BC 边上一点，若AB=6， AE=3，∠AED=∠B，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由AB=AC得∠B=∠C，而∠AED=∠B，得∠C=∠AED
得∠AED=∠ACE，故△ADE~△AEC
得得AE2=AC·AD，即(3)2=6AD，得AD=3.
答案：A.
【分析】由AB=AC得∠B=∠C，即可得△ADE~△AEC，利用相似成比例线段即可求出AD的长.
6．（2024九下·吉安月考）如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为. 且过点(）有下列说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若是抛物线上两点，则.其中说法正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，开口向上，即a>0，对称轴在左侧，故b>0，与y轴交于负半轴，即c<0，故①正确；
对称轴为即有b=2a，即有2a-b=0，②正确；
由对称(-3，0)关于直线x=-1对称的点为(1，0)，故当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，故③错误；
-5到对称轴x=-1有4个单位，到对称轴x=-1的距离为，故y1>y2，故④正确；
答案：C.
【分析】由图像可直接判断a，b，c的符号，可判断①正确；由对称轴为x=-1即可判断②正确；由对称可知x=2时，y>0，即可判断③错误；由两点到对称轴的距离即可判断④正确.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2024九下·吉安月考）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，则总面积为9，其中阴影部分面积为5，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【分析】根据几何概率的计算公式解答即可．
8．（2024九下·吉安月考）已知，则＝　 　.
【答案】
【知识点】分式的化简求值-设参数法
【解析】【解答】解：设=k，则x=4k，y=3k，z=2k，代入=；
答案：
【分析】设值法=k，分别求出x，y，z的值，即可求出的值.
9．（2024九下·吉安月考）已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，4），则点B1的坐标为 　 　．
【答案】（4，-8）或（-4，8）
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：由相似比为1：2，由位似图形的性质知，B1在点B的同侧或异侧，即B1 （4，-8）或（-4，8）
答案： （4，-8）或（-4，8）
【分析】直接由位似图形的性质可得B1的坐标.
10．（2024九下·吉安月考）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线 AC，BD于点 O，以点 B为圆心，对角线 BD的长为半径画弧，交 BC长线于点E，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；扇形的面积
【解析】【解答】解：由正方形的性质可得S△BOC=S△AOD，故S阴=S扇BDE=；
答案：π.
【分析】由正方形的性质，可得阴影部分的面积即为扇形BDE的面积.
11．（2024九下·吉安月考）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝4，若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值为　 　
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，ABC为等边三角形，故OC=OB，S△OAB＝，故k=
答案：.
【分析】作AC⊥OB，表达△AOB的面积即可求出k的值.
12．（2024九下·吉安月考）如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 AD，BC上， AB=6，AE=3，BF=1，点M 是 EF 的中点，过点M 的直线与正方形的一组对边交于点P，Q(与点E，F 不重合)，点 P 在AB 或AD上.若. PQ=EF则AP的长为　 　.
【答案】1或或
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：分以下3种情况讨论
①P在AB上靠近点A时，过点Q作QH⊥AB于点H，MT⊥AB于点T，FG⊥AD于点D，易知FG=QH，而PQ=EF，得△EFG≌△PQH，AG=BF=1，GE=2，PH=GE=2，
M为EF的中点，TM为梯形AEFB的中位线，MT=，
由MT||HQ得即得PT=，故AP=AT-PT=3-=；
②P在AB上靠近点B时，同理可得PU=，故AP=AU+PU=3+=；
③当P在AD上时，PQ=EF且相互平分，得PEQF为矩形 ，此时AP=BF=1；
综上所述，AP的长为1或或
【分析】P在AB上靠近A或B，P在AD上分别讨论，利用全等三角形、梯形、比例进行求解即可.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2024九下·吉安月考）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）原式＝
＝1-3+1+2
＝1
（2）解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先求出锐角三角函数、去绝对值、零次幂、负指数幂，再进行计算；
(2)观察发现左右两边有相同的因式，即提公因式求解即可.
14．（2024九下·吉安月考）2024年春节档上映了3 部观众较为喜爱的电影：《热辣滚烫》、《第二十一条》、《飞驰人生2》.甲、乙两人分别从中任意选择一部观看.
（1）甲选择《热辣滚烫》电影是　 　事件.(填“不可能”或“必然”或“随机”)；
（2）求甲、乙两人选择同一部电影的概率(请用画树状图或列表的方法给出分析过程)
【答案】（1）随机
（2）《热辣滚烫》， 《第二十一条》， 《飞驰人生2》分别用A、 B、 C表示，画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中甲、乙2人选择同1部电影的情况有3种，
∴P(选择同1部电影)=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：(1)3部电影都有可能观看，且概率相同，故为随机事件.
【分析】(1)3部电影都有可能观看，且概率相同，故为随机事件；
(2)由树众图求出共有9种可能，甲乙先同一种电影的情况有3种，即可求出概率.
15．（2024九下·吉安月考）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【答案】（1）证明：∵m≠0，
Δ＝（m+2）2﹣4m×2
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
x﹣1＝0或mx﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝，
∵m为正整数，x2为整数，
∴正整数m的值为1或2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)由判别式△= （m﹣2）2， 即可说明 方程总有两个实数根；
(2)直接求出x1=1，x2=，根为正整数，即可求出m的值.
16．（2024九下·吉安月考）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=120°请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹，不写作法，写明答案).
（1）在图(1)中，已知AD=CD在⊙O 上求作一个度数为30°的圆周角；
（2）在图(2)中，已知AD≠CD在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角.
【答案】（1）如图1所示： 或
（2）如图2所示：
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)由∠ADC=120°，AD=CD即可得∠ABD=∠CBD=30°，连接BD即可；
(2)由∠ADC=120°，知劣弧ADC所对圆周角为60°，作出直径即可得30的圆周角.
17．（2024九下·吉安月考）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD交于点O，AC=2AB，BE//AC，OE//AB.
（1）求证：四边形ABEO是菱形.
（2）若AC=2，BD=4，求四边形ABEO的面积.
【答案】（1）证明： ∵BE∥AC，OE∥AB，
∴四边形ABEO是平行四边形，
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点， 且AC=2AB，
∴
∴四边形ABEO 是菱形；
（2）如图， 连接AE， 交OB于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，且.
∵四边形ABEO 是菱形，
∴
在 Rt△AOF 中，
则四边形ABEO的面积为
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】(1)由 BE∥AC，OE∥AB 可得ABEO为平行四边形，再由AC=2AO，AC=2AB得AB=AO，即可ABEO为菱形；
(2)由菱形的性质，求出OB和AE即可求出ABEO的面积.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2024九下·吉安月考）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是的切线；
（2）若，求CG的长．
【答案】（1）解：连接OD，
，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
（2）解：由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。
19．（2024九下·吉安月考）天猫商城某网店销售某款蓝牙耳机，进价为100元．在元旦即将来临之际，开展了市场调查，当蓝牙耳机销售单价是180元时，平均每月的销售量是200件，若销售单价每降低1元，平均每月就可以多售出5件．
（1）设每件商品降价x元，该网店平均每月获得的利润为y元，请写出y与x元之间的函数关系；
（2）该网店应该如何定价才能使得平均每月获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）由题意得：
（2）因为
所以函数有最大值，
当 时，
答： 网店降价为20元时， 即： 定价为180-20=160元时，获得的利润最大，最大利润是18000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)由题意销量为，单件利润为 ，再列出函数关系即可；
(2)由二次函数的性质可得时利润取大值，代入求解即可.
20．（2024九下·吉安月考）如图1是一种建筑行业用的小型吊机实物图，图2、图3是吊机的示意图，支架AB=150cm，吊杆 AM=200cm，∠ACB＝90°，∠BAC＝37°.
（1）如图 2，若AM⊥AB，求点 M到直线 BC的距离；
（2）如图3，当液压杆 DE 伸长时，此时点 M 比(1)中的点 M到直线BC 的距离升高了21cm，
求∠MAB的度数.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin45°≈0.7）
【答案】（1）如图2中，过点 M 作 MF⊥BC，垂足为 F，过点A 作 AG⊥MF，垂足为 G.
∵∠ACB=90°，∴四边形ACFG是矩形.
∴AC=GF，∠CAG=90°.
在Rt△ACB中，AC=AB·cos∠BAC≈150×0.8=120(cm)，
∴AC=GF≈120 cm.
∵AM⊥AB，
∴∠MAB=90°.
∴∠MAG=∠BAC=37°.
在Rt△AMG中，MG=AM·sin37°≈200×0.6=120(cm)，
∴MF=MG+GF≈240 cm.
（2）如图3 中，过点 M作MP⊥BC，垂足为 P，过点 A 作AN⊥MP，垂足为 N.
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACPN是矩形.
∴AC=NP，∠CAN=90°.
∴∠BAN=∠CAN-∠CAB=90°-37°=53°.
在 Rt△ACB中，AC=AB·cos∠CAB≈150×0.8=120(cm)，
∴AC=NP≈120 cm.
由题意，得 MP=240+21=261(cm).
∴MN=MP-NP≈261-120=141(cm).
在Rt△MAN中，
=∠MAN+∠BAN≈53°+45°=98°.
∴∠MAB的度数约为98°.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)画出图像构造矩形 ACFG 和直角 △AMG，在△ACB中，利用三角函数可得AC的长，在△AMG中，可得MG的长，于是可求出MF的长；
(2)在△ACB中，利用三角函数求出AC和MP、MN的长度，在△MAN中，求出即可求出∠MAB的度数.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2024九下·吉安月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点 A，它与双曲线 交于B （2，m），E（）两点.
（1）求直线 y1和双曲线y2 的解析式；
（2）若点D在y轴上， △ABD是等边三角形，将 △ABD沿直线BD翻折，点A 落在点 C 处，判断点C 是否在双曲线 的图象上并说明理由；
（3）在(2)的条件下，求：sin∠BEC的值.
【答案】（1）∵ 点 E 在双曲线y2上，
即
∵点B(2，m)在双曲线 上，
两点在 的图象上，
解得
（2）点C 在双曲线 上
理由如下：如图(1)，∵ 点A在直线y1上， 当 时，x=1，∴A(1，0).
又∵
依题意，设 D(0，n).
在等边三角形ABD中，
解得 (舍去)，
轴.
∵由翻折可知点A 关于BD的对称点是 C，
∴ 易得
当 时，
∴ 点C 在双曲线 上.
（3）如图(2)，连接CE，CA，过点 C作 CF⊥直线 AB 于 F.
由(2)可知，DA=DC=CB=BA，
∴ 四边形ABCD 是菱形.
又∵∠BAD=60°，∴ ∠CAB=30°.
在 Rt△AFC中，
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求二次函数解析式；求正弦值
【解析】【分析】(1)点E代入反比例函数解析得，将B代入即可求出m，再用待定系数法求一次函数的解析式；
(2)求出对称点C的坐标，再代入验证即可；
(3)在AFC中，求出CF=，EC=2，即可求出sin∠BEC.
22．（2024九下·吉安月考）【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材12页给出直角三角形的斜边中线定理．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
上述定理的部分推理过程如下：
已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线．
求证：
证明：如图2，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE．
（1）【定理探索】请结合图2将证明过程补完整；
（2）【问题解决】如图3，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，DF⊥CE，点F为垂足，若∠AEC＝75°，求∠BCE的度数；
（3）【应用探究】如图4，△ABC和△ADB均为直角三角形，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，连接CD交AB于点E，已知AE＝1，EB＝7，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵DE＝DC，
∴四边形ACBE为平行四边形．
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE为矩形．
∴ED＝DC＝BD＝AD，
∴CD＝AB．
（2）解：连接ED，如图3，
∵AD是高，CE是中线，
∴ED＝AB，
∵点F是CE的中点，DF⊥CE，
∴ED＝CD，
设∠ECD＝x，则∠EDB＝∠B＝2x，
∴∠AEC＝∠B+∠ECB，即75°＝3x，
解得x＝25°，
∴∠BCE＝25°，
（3）过点D作于点F，连接CF.作 于点
在 中， DE==5. ∵ FC=FD，∴ CG=DG=
又∵
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的综合
【解析】【分析】(1)结合矩形的性质可得ED=DC=BD=AD，即可得CD＝AB．
(2)连接ED，结合直角三角形的性质得∠BCE的度数；
(3)构造直角三角形结合其性质，得EF=3，DG=，即可求出CD的长.
六、解答题（本大题共12分）
23．（2024九下·吉安月考）如图，抛物线 与x 轴相交于点 A，点B，与y轴相交于点 C.
（1）请直接写出点 A，B，C 的坐标；
（2）点P(m，n)(0（3）F是抛物线上的动点，作 FE//AC 交x轴于点E，是否存在点 F，使得以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）如图1，过点 P 作. 轴交 BC 于点 Q.
设直线 BC 的解析式为： 将B(6，0)，C(0，-6)代入，得
解得
∴直线 BC 的解析式为
根据三角形的面积，当平行于直线 BC 且与抛物线只有一个交点时，点 P 到 BC 的距离最大，此时，的面积最大，
时，PQ 的最大值为
面积的最大值为 …
（3）点 F 的坐标为(4，或 或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)令x=0，则y=-6，故C坐标为(0，-6)，令y=0，即，解得x1=-2，x2=6，
故A(-2，0)、B(6，0)、C(0，-6)
(3)设点F(t，t2-2t-6)，E(n，0)
①AEFC为平行四边形时，由CF||AE知，A→E，C→F，
即n+2=t，t2-2t-6+6=0，得t=4或0(舍)，得F(4，-6)；
②ACEF为平行四边形时，AC||EF，A→C，F→E，CF的中点在x轴上，
即有t2-2t-6+(-6)=0，解得t=或
综上所述点F的坐标为 (4，或 或
【分析】(1)分别令x=0，求出点C的坐标，令y=0，即可求出A和B的坐标；
(2)先求出直线BC的解析式，设点(m，n)，求出△PBC的面积表达式，利用二次函数关系可求得面积的最大值；
(3)ACFE和ACEF为平行四边形进行讨论，结合平移的性质AEFC为平行四边形，A→E，C→F可得t的值，即得点F的坐标；ACEF为平行四边形时，AC||EF，A→C，F→E，CF的中点在x轴上，利用中点坐标公式得t2-2t-6+(-6)=0，解方程即可得t的值.
1 / 1江西省吉安市吉安县第一次阶段性检测2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2024九下·吉安月考）如图，是放置在北京冬奥会场馆内水平地面上的领奖台，其几何体左视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九下·吉安月考）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17
C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15
3．（2024九下·吉安月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．（2024九下·吉安月考）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．16（1﹣x）2＝9 B．16（1﹣x2）＝9
C．9（1﹣x）2＝16 D．9（1+x2）＝16
5．（2024九下·吉安月考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，E是BC 边上一点，若AB=6， AE=3，∠AED=∠B，则AD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．5.5
6．（2024九下·吉安月考）如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为. 且过点(）有下列说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若是抛物线上两点，则.其中说法正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2024九下·吉安月考）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形（阴影部分）的概率为　 　．
8．（2024九下·吉安月考）已知，则＝　 　.
9．（2024九下·吉安月考）已知△AOB与△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为1：2，点B的坐标为（﹣2，4），则点B1的坐标为 　 　．
10．（2024九下·吉安月考）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线 AC，BD于点 O，以点 B为圆心，对角线 BD的长为半径画弧，交 BC长线于点E，则图中阴影部分的面积为　 　.
11．（2024九下·吉安月考）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，S△OAB＝4，若反比例函数y＝（k≠0）图象的一支经过点A，则k的值为　 　
12．（2024九下·吉安月考）如图，点 E，F 分别在正方形 ABCD 的边 AD，BC上， AB=6，AE=3，BF=1，点M 是 EF 的中点，过点M 的直线与正方形的一组对边交于点P，Q(与点E，F 不重合)，点 P 在AB 或AD上.若. PQ=EF则AP的长为　 　.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2024九下·吉安月考）（1）计算：
（2）解方程：
14．（2024九下·吉安月考）2024年春节档上映了3 部观众较为喜爱的电影：《热辣滚烫》、《第二十一条》、《飞驰人生2》.甲、乙两人分别从中任意选择一部观看.
（1）甲选择《热辣滚烫》电影是　 　事件.(填“不可能”或“必然”或“随机”)；
（2）求甲、乙两人选择同一部电影的概率(请用画树状图或列表的方法给出分析过程)
15．（2024九下·吉安月考）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
16．（2024九下·吉安月考）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=120°请仅用无刻度直尺完成以下作图(保留作图痕迹，不写作法，写明答案).
（1）在图(1)中，已知AD=CD在⊙O 上求作一个度数为30°的圆周角；
（2）在图(2)中，已知AD≠CD在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角.
17．（2024九下·吉安月考）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD交于点O，AC=2AB，BE//AC，OE//AB.
（1）求证：四边形ABEO是菱形.
（2）若AC=2，BD=4，求四边形ABEO的面积.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2024九下·吉安月考）如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是的切线；
（2）若，求CG的长．
19．（2024九下·吉安月考）天猫商城某网店销售某款蓝牙耳机，进价为100元．在元旦即将来临之际，开展了市场调查，当蓝牙耳机销售单价是180元时，平均每月的销售量是200件，若销售单价每降低1元，平均每月就可以多售出5件．
（1）设每件商品降价x元，该网店平均每月获得的利润为y元，请写出y与x元之间的函数关系；
（2）该网店应该如何定价才能使得平均每月获得的利润最大，最大利润是多少元？
20．（2024九下·吉安月考）如图1是一种建筑行业用的小型吊机实物图，图2、图3是吊机的示意图，支架AB=150cm，吊杆 AM=200cm，∠ACB＝90°，∠BAC＝37°.
（1）如图 2，若AM⊥AB，求点 M到直线 BC的距离；
（2）如图3，当液压杆 DE 伸长时，此时点 M 比(1)中的点 M到直线BC 的距离升高了21cm，
求∠MAB的度数.（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin45°≈0.7）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2024九下·吉安月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点 A，它与双曲线 交于B （2，m），E（）两点.
（1）求直线 y1和双曲线y2 的解析式；
（2）若点D在y轴上， △ABD是等边三角形，将 △ABD沿直线BD翻折，点A 落在点 C 处，判断点C 是否在双曲线 的图象上并说明理由；
（3）在(2)的条件下，求：sin∠BEC的值.
22．（2024九下·吉安月考）【教材呈现】北师大版九年级上册数学教材12页给出直角三角形的斜边中线定理．
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
上述定理的部分推理过程如下：
已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线．
求证：
证明：如图2，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE．
（1）【定理探索】请结合图2将证明过程补完整；
（2）【问题解决】如图3，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，DF⊥CE，点F为垂足，若∠AEC＝75°，求∠BCE的度数；
（3）【应用探究】如图4，△ABC和△ADB均为直角三角形，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，连接CD交AB于点E，已知AE＝1，EB＝7，求CD的长．
六、解答题（本大题共12分）
23．（2024九下·吉安月考）如图，抛物线 与x 轴相交于点 A，点B，与y轴相交于点 C.
（1）请直接写出点 A，B，C 的坐标；
（2）点P(m，n)(0（3）F是抛物线上的动点，作 FE//AC 交x轴于点E，是否存在点 F，使得以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得，
领奖台的左视图为
故答案为：C．
【分析】画一个几何体的三视图时，注意三个原则： 在确定的三视图中，防止所画的图形与原物体形状不一致；注意观察几何体，防止丢失客观存在的部分轮廓线；准确确定轮廓线的虚实，防止把实线与虚线混淆。
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，
∴x2﹣8x=1，
∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，
故选：B．
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；求正弦值
【解析】【解答】解：由勾股定理得AB=，sinB=
答案：C.
【分析】先由勾股定理求出斜边AB的长度，再求sinB.
4．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A.
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是16(1-x)，二次后的价格是，据此即可列方程。
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由AB=AC得∠B=∠C，而∠AED=∠B，得∠C=∠AED
得∠AED=∠ACE，故△ADE~△AEC
得得AE2=AC·AD，即(3)2=6AD，得AD=3.
答案：A.
【分析】由AB=AC得∠B=∠C，即可得△ADE~△AEC，利用相似成比例线段即可求出AD的长.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，开口向上，即a>0，对称轴在左侧，故b>0，与y轴交于负半轴，即c<0，故①正确；
对称轴为即有b=2a，即有2a-b=0，②正确；
由对称(-3，0)关于直线x=-1对称的点为(1，0)，故当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，故③错误；
-5到对称轴x=-1有4个单位，到对称轴x=-1的距离为，故y1>y2，故④正确；
答案：C.
【分析】由图像可直接判断a，b，c的符号，可判断①正确；由对称轴为x=-1即可判断②正确；由对称可知x=2时，y>0，即可判断③错误；由两点到对称轴的距离即可判断④正确.
7．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，则总面积为9，其中阴影部分面积为5，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【分析】根据几何概率的计算公式解答即可．
8．【答案】
【知识点】分式的化简求值-设参数法
【解析】【解答】解：设=k，则x=4k，y=3k，z=2k，代入=；
答案：
【分析】设值法=k，分别求出x，y，z的值，即可求出的值.
9．【答案】（4，-8）或（-4，8）
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：由相似比为1：2，由位似图形的性质知，B1在点B的同侧或异侧，即B1 （4，-8）或（-4，8）
答案： （4，-8）或（-4，8）
【分析】直接由位似图形的性质可得B1的坐标.
10．【答案】
【知识点】正方形的性质；扇形的面积
【解析】【解答】解：由正方形的性质可得S△BOC=S△AOD，故S阴=S扇BDE=；
答案：π.
【分析】由正方形的性质，可得阴影部分的面积即为扇形BDE的面积.
11．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，ABC为等边三角形，故OC=OB，S△OAB＝，故k=
答案：.
【分析】作AC⊥OB，表达△AOB的面积即可求出k的值.
12．【答案】1或或
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：分以下3种情况讨论
①P在AB上靠近点A时，过点Q作QH⊥AB于点H，MT⊥AB于点T，FG⊥AD于点D，易知FG=QH，而PQ=EF，得△EFG≌△PQH，AG=BF=1，GE=2，PH=GE=2，
M为EF的中点，TM为梯形AEFB的中位线，MT=，
由MT||HQ得即得PT=，故AP=AT-PT=3-=；
②P在AB上靠近点B时，同理可得PU=，故AP=AU+PU=3+=；
③当P在AD上时，PQ=EF且相互平分，得PEQF为矩形 ，此时AP=BF=1；
综上所述，AP的长为1或或
【分析】P在AB上靠近A或B，P在AD上分别讨论，利用全等三角形、梯形、比例进行求解即可.
13．【答案】（1）原式＝
＝1-3+1+2
＝1
（2）解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)先求出锐角三角函数、去绝对值、零次幂、负指数幂，再进行计算；
(2)观察发现左右两边有相同的因式，即提公因式求解即可.
14．【答案】（1）随机
（2）《热辣滚烫》， 《第二十一条》， 《飞驰人生2》分别用A、 B、 C表示，画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中甲、乙2人选择同1部电影的情况有3种，
∴P(选择同1部电影)=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：(1)3部电影都有可能观看，且概率相同，故为随机事件.
【分析】(1)3部电影都有可能观看，且概率相同，故为随机事件；
(2)由树众图求出共有9种可能，甲乙先同一种电影的情况有3种，即可求出概率.
15．【答案】（1）证明：∵m≠0，
Δ＝（m+2）2﹣4m×2
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
x﹣1＝0或mx﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝，
∵m为正整数，x2为整数，
∴正整数m的值为1或2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)由判别式△= （m﹣2）2， 即可说明 方程总有两个实数根；
(2)直接求出x1=1，x2=，根为正整数，即可求出m的值.
16．【答案】（1）如图1所示： 或
（2）如图2所示：
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】(1)由∠ADC=120°，AD=CD即可得∠ABD=∠CBD=30°，连接BD即可；
(2)由∠ADC=120°，知劣弧ADC所对圆周角为60°，作出直径即可得30的圆周角.
17．【答案】（1）证明： ∵BE∥AC，OE∥AB，
∴四边形ABEO是平行四边形，
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点， 且AC=2AB，
∴
∴四边形ABEO 是菱形；
（2）如图， 连接AE， 交OB于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，且.
∵四边形ABEO 是菱形，
∴
在 Rt△AOF 中，
则四边形ABEO的面积为
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】(1)由 BE∥AC，OE∥AB 可得ABEO为平行四边形，再由AC=2AO，AC=2AB得AB=AO，即可ABEO为菱形；
(2)由菱形的性质，求出OB和AE即可求出ABEO的面积.
18．【答案】（1）解：连接OD，
，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
（2）解：由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。
19．【答案】（1）由题意得：
（2）因为
所以函数有最大值，
当 时，
答： 网店降价为20元时， 即： 定价为180-20=160元时，获得的利润最大，最大利润是18000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)由题意销量为，单件利润为 ，再列出函数关系即可；
(2)由二次函数的性质可得时利润取大值，代入求解即可.
20．【答案】（1）如图2中，过点 M 作 MF⊥BC，垂足为 F，过点A 作 AG⊥MF，垂足为 G.
∵∠ACB=90°，∴四边形ACFG是矩形.
∴AC=GF，∠CAG=90°.
在Rt△ACB中，AC=AB·cos∠BAC≈150×0.8=120(cm)，
∴AC=GF≈120 cm.
∵AM⊥AB，
∴∠MAB=90°.
∴∠MAG=∠BAC=37°.
在Rt△AMG中，MG=AM·sin37°≈200×0.6=120(cm)，
∴MF=MG+GF≈240 cm.
（2）如图3 中，过点 M作MP⊥BC，垂足为 P，过点 A 作AN⊥MP，垂足为 N.
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACPN是矩形.
∴AC=NP，∠CAN=90°.
∴∠BAN=∠CAN-∠CAB=90°-37°=53°.
在 Rt△ACB中，AC=AB·cos∠CAB≈150×0.8=120(cm)，
∴AC=NP≈120 cm.
由题意，得 MP=240+21=261(cm).
∴MN=MP-NP≈261-120=141(cm).
在Rt△MAN中，
=∠MAN+∠BAN≈53°+45°=98°.
∴∠MAB的度数约为98°.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)画出图像构造矩形 ACFG 和直角 △AMG，在△ACB中，利用三角函数可得AC的长，在△AMG中，可得MG的长，于是可求出MF的长；
(2)在△ACB中，利用三角函数求出AC和MP、MN的长度，在△MAN中，求出即可求出∠MAB的度数.
21．【答案】（1）∵ 点 E 在双曲线y2上，
即
∵点B(2，m)在双曲线 上，
两点在 的图象上，
解得
（2）点C 在双曲线 上
理由如下：如图(1)，∵ 点A在直线y1上， 当 时，x=1，∴A(1，0).
又∵
依题意，设 D(0，n).
在等边三角形ABD中，
解得 (舍去)，
轴.
∵由翻折可知点A 关于BD的对称点是 C，
∴ 易得
当 时，
∴ 点C 在双曲线 上.
（3）如图(2)，连接CE，CA，过点 C作 CF⊥直线 AB 于 F.
由(2)可知，DA=DC=CB=BA，
∴ 四边形ABCD 是菱形.
又∵∠BAD=60°，∴ ∠CAB=30°.
在 Rt△AFC中，
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求二次函数解析式；求正弦值
【解析】【分析】(1)点E代入反比例函数解析得，将B代入即可求出m，再用待定系数法求一次函数的解析式；
(2)求出对称点C的坐标，再代入验证即可；
(3)在AFC中，求出CF=，EC=2，即可求出sin∠BEC.
22．【答案】（1）证明：∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∵DE＝DC，
∴四边形ACBE为平行四边形．
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBE为矩形．
∴ED＝DC＝BD＝AD，
∴CD＝AB．
（2）解：连接ED，如图3，
∵AD是高，CE是中线，
∴ED＝AB，
∵点F是CE的中点，DF⊥CE，
∴ED＝CD，
设∠ECD＝x，则∠EDB＝∠B＝2x，
∴∠AEC＝∠B+∠ECB，即75°＝3x，
解得x＝25°，
∴∠BCE＝25°，
（3）过点D作于点F，连接CF.作 于点
在 中， DE==5. ∵ FC=FD，∴ CG=DG=
又∵
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的综合
【解析】【分析】(1)结合矩形的性质可得ED=DC=BD=AD，即可得CD＝AB．
(2)连接ED，结合直角三角形的性质得∠BCE的度数；
(3)构造直角三角形结合其性质，得EF=3，DG=，即可求出CD的长.
23．【答案】（1）
（2）如图1，过点 P 作. 轴交 BC 于点 Q.
设直线 BC 的解析式为： 将B(6，0)，C(0，-6)代入，得
解得
∴直线 BC 的解析式为
根据三角形的面积，当平行于直线 BC 且与抛物线只有一个交点时，点 P 到 BC 的距离最大，此时，的面积最大，
时，PQ 的最大值为
面积的最大值为 …
（3）点 F 的坐标为(4，或 或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)令x=0，则y=-6，故C坐标为(0，-6)，令y=0，即，解得x1=-2，x2=6，
故A(-2，0)、B(6，0)、C(0，-6)
(3)设点F(t，t2-2t-6)，E(n，0)
①AEFC为平行四边形时，由CF||AE知，A→E，C→F，
即n+2=t，t2-2t-6+6=0，得t=4或0(舍)，得F(4，-6)；
②ACEF为平行四边形时，AC||EF，A→C，F→E，CF的中点在x轴上，
即有t2-2t-6+(-6)=0，解得t=或
综上所述点F的坐标为 (4，或 或
【分析】(1)分别令x=0，求出点C的坐标，令y=0，即可求出A和B的坐标；
(2)先求出直线BC的解析式，设点(m，n)，求出△PBC的面积表达式，利用二次函数关系可求得面积的最大值；
(3)ACFE和ACEF为平行四边形进行讨论，结合平移的性质AEFC为平行四边形，A→E，C→F可得t的值，即得点F的坐标；ACEF为平行四边形时，AC||EF，A→C，F→E，CF的中点在x轴上，利用中点坐标公式得t2-2t-6+(-6)=0，解方程即可得t的值.
1 / 1

展开更多......

收起↑