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浙江省宁波市余姚市余姚市2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2025九下·余姚月考）下列各数：，0，，，其中最大的数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025九下·余姚月考）如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体放到小正方体的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（　　）．
A．主视图不变 B．俯视图不变
C．左视图改变 D．以上三种视图都改变
3．（2025九下·余姚月考）根据国家统计局数据显示，浙江省2024年人均可支配收入52206元，位居全国第三，同比增长4.8%，数据52206用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·余姚月考）如图，，平分，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·余姚月考）下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·余姚月考）为了更好的开展班级艺术节活动，文艺委员对全班学生感兴趣的文艺节目调查的数据进行整理.要反映学生感兴趣的各类文艺节目所占百分比，最适合的统计图是（　　）
A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．频数直方图
7．（2025九下·余姚月考）下列命题中，真命题是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直四边形是菱形
D．四边相等的四边形是正方形
8．（2025九下·余姚月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
9．（2025九下·余姚月考）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·余姚月考）已知二次函数，当时，，则，值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九下·余姚月考）因式分解： 　 　．
12．（2025九下·余姚月考）已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为　 　．
13．（2025九下·余姚月考）一个袋子中有2个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是，则袋子中有　 　个黑球.
14．（2025九下·余姚月考）如图，是的直径，P是延长线上一点，与相切于点C．若，则　 　°．
15．（2025九下·余姚月考）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有，，三点，设直线，，的解析式分别为，，，则，，中，最大值为　 　（填具体数值）．
16．（2025九下·余姚月考）如图，中，，，，以斜边为边，向上作等边三角形，则的长为　 　．
17．（2025九下·余姚月考）（1）计算：．
（2）化简：．
18．（2025九下·余姚月考）解分式方程：．
19．（2025九下·余姚月考）如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求．
20．（2025九下·余姚月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积．
21．（2025九下·余姚月考）为了增强学生的安全意识，某校开展了主题为“科学防护·珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：．
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93
众数 100
方差 52
根据以上信息，解答下列问题；
（1）直接写出上述图表中，，的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
22．（2025九下·余姚月考）如图，的网格中，均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中找一格点，使得为等腰三角形（找到一个即可）；
（2）在图2中作出的角平分线．
23．（2025九下·余姚月考）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐．为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11：30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下：
经过的时间 /分钟 0 1 2 3 4 5 … 10
累计人数 （人） 0 95 180 255 320 375 … 500
当时与之间的函数关系式，（）
已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐．
（1）根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式．
（2）排队人数最多时有多少人？
（3）若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求，的值．
24．（2025九下·余姚月考）如图，为的直径，弦于，为弦上一点，且，射线与射线相交与点．
（1）求证：为的中点．
（2）①若，求的值．
②当为直角三角形时，求的正切值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数为：，
故答案为：C．
【分析】本题考查了实数的大小比较，正确的估算无理数的大小是解题的关键．
首先确定，，，然后从小到大排列即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：将小正方体放到小正方体的正上方，
此时的主视图为，俯视图为。左视图为；
而原图的主视图为，俯视图为。左视图为；
因此该几何体变化前后的三视图，主视图发生了改变，俯视图和左视图均为发生改变。四个选项中只有B正确
故答案为：B．
【分析】本题考查了三视图的定义，即主视图，从正面看；左视图，从左往右看；俯视图，从上往下看．
可以分别画出变化前和变化后对应的三视图，然后对比即可。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：52206=5.2206×104，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵平分，
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，三角形内角和定理。
根据“两直线平行、内错角相等”可以得出，然后由角平分线得到，最后根据三角形内角和定理求解即可。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故选项A错误，不符合题意；
B.，故选项A错误，不符合题意；
C.，故选项A错误，不符合题意；
D.，选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则进行计算并判断即可.
6．【答案】A
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：∵要反映学生感兴趣的各类文艺节目所占百分比，
∴最适合的统计图是扇形统计图，
故答案为：A.
【分析】根据统计图的特点：扇形统计图能清楚地反映出各部分在总体中所占的百分比；条形统计图能清楚地反映出每个项目的具体数目；折线统计图能清楚地反映出数据的变化趋势；频数直方图能够显示各组频数分布的情况，显示各组之间频数的差别，据此即可求解.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C是假命题，不符合题意；
D、四边相等的四边形是菱形，故D是假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐项进行分析即可.
8．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴其解集在数轴上表示如下图所示：
故答案为：D.
【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可求解.
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：在中，，点是重心，
，，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
故选：B．
【分析】根据三角形重心性质可得，，，再根据余弦定义可得AC，根据直线平行判定定理可得，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
即该二次函数开口向下，对称轴为直线x=1，
∵当时，，
∴，即，
故在对称轴的左边，
即把，分别代入，得
，整理得，
即分别是一元二次方程的两个解，
则，
∵，
∴，，
故答案为：B
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、二次函数的图象性质等相关知识。
首先先将二次函数变形，此时可以求出二次函数的最大值和对称轴，再结合越靠近对称轴的横坐标所对应的纵坐标越大，分析得在对称轴的左边，此时可以建立方程组并进行变形，得到，该方程组可以看做是分别是一元二次方程的两个解，然后利用求根公式即可求出答案。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
12．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为，
∴底面周长为，
∴圆锥的侧面积为，
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式进行求解即可．
13．【答案】3
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋子中有x个黑球，
根据题意，得，
解得：x=3，
经检验x=3是分数方程的解，
∴袋子中有3个黑球，
故答案为：3.
【分析】设袋子中有x个黑球，根据概率公式得关于x的分式方程，解方程即可求解.
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，如图所示
∵与相切于点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，圆周角定理。
首先利用切线的性质得，这时可以利用三角形内角和的性质求出的度数，最后根据圆周角定理即可得答案。
15．【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：将 ，，三点，分别代入，，中，得到
，，，
解得，，，
∴，，，
∴，，中，最大值为．
故答案为：．
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式。
首先利用待定系数法分别求出，，，最后计算出，，的值，比较大小即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；等边三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，，
，
∵是等边三角形
，
过点分别作，作的延长线于一点，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
设为，
则，，
在中，
在中，
则
∴，
∴，
整理得
∴，
解得，；
当时，则，
∴；
当时，则
∴；
在中，，
∴，
故（舍去）；
故答案为：．
【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质，公式法解一元二次方程，矩形的判定与性质等知识点。
先根据勾股定理得出AB的值，再结合等边三角形的性质得，此时可以做辅助线，即过点分别作，作的延长线于一点，证明四边形是矩形，则有，，在中和在中，利用勾股定理求出DH2的值和GB2的值，则有，用r可以表示出，最后整理可以求出r的两个值；在中，，故，故（舍去）；即可作答．
17．【答案】解：（1）
．
；
（2）
．
；
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，实数的混合运算，整式的混合运算。
（1）先计算零次幂20250=1、负整数指数幂，并化简绝对值，再合并即可；
（2）先利用完全平方公式对（x+1）2进行展开，同时对x（x-2）去括号计算，最后合并同类项即可．
18．【答案】解：
化成整式方程得：x－2=﹣2－2(x－1)
解方程得：
经检验，是原分式方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将分式方程转化为整式方程，解整式方程后，需要检验x的值是否是方程的解.
19．【答案】（1）证明（1）∵，
，
，
∴，
，
在和中，
，
（）．
（2）解：∵，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】本题考查了平行线性质、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理等；
（1）由“两直线平行、同位角相等”得，然后推出BC=EF，最后由即可得证；
（2）由（1）的证明结果，此时可以利用全等三角形的性质得，最后由三角形的内角和定理即可求解。
（1）证明（1）∵，
，
，
∴，
，
在和中，
，
（）．
（2）解：∵，
，
．
20．【答案】（1）解：将点，代入，
得：，，即，，
，，
将代入反比例函数中，得：，
反比例函数的表达式为。
（2）解：连接，如图所示：
设一次函数的图像与轴交于点，
在中，令，则，
，
，
由（1）知，，，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数以及相关的图象与性质．
（1）先将点，代入，求出A、B的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出，此时得到，再用分割法求出的面积即可．
（1）解：将点，代入得：，，
，，
，，
将代入反比例函数中，得：，
反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，如图所示：
设一次函数的图像与轴交于点，
在中，令，则，
，
，
由（1）知，，，
．
21．【答案】（1）解：八年级C组有3人，
∴C组的百分比为，
∴，
∴，
∵A组占，B组占，C组占，
∴中位数落在C组中，第5，6位同学成绩的平均数，
∴b=
在七年级学生的成绩中，出现的次数最多，
∴。
（2）解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下，
∵八年级的中位数大，众数也大，方差小，
∴八年学生的成绩较好，更加整齐．
【知识点】统计表；扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，需要计算百分数、中位数、众数，并由调查数据进行决策。
（1）根据八年级C组有3人，得到C组的百分比，此时即可计算出，然后根据中位数，众数的计算方法分别计算即可求解；
（2）根据调查数据，中位数和众数大，成绩越好；而方差小，说明成绩稳定，由此得出结论。
（1）解：八年级C组有3人，
∴C组的百分比为，
∴，
∴，
∵A组占，B组占，C组占，
∴中位数落在C组中，第5，6位同学成绩的平均数，
∴，
∴，
在七年级学生的成绩中，出现的次数最多，
∴；
（2）解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下，
∵八年级的中位数大，众数也大，方差小，
∴八年学生的成绩较好，更加整齐．
22．【答案】解：（1）如图，点即为所求；
（2）如图，即为所求.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得，然后延长至点，使，连接，则为等腰三角形；
（2）延长至点，使，连接，利用勾股定理得到，，则点为的中点，根据等腰三角形“三线合一”性质即可得到平分.
23．【答案】（1）解：当时，随着时间的变化，人数的增加较多，
∴设与之间的函数关系式为，
当x=0时，y=0，当时，，当时，，
得到，解得，，
∴当时，与之间的函数关系式为。
（2）解：①设排队人数为，则：
当时，，
，
当时，有最大值320（人）；
当时，，
当时，有最大值300（人）；
，
排队人数最多时有320人．
（3）解：若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐，则：，化简变形得到，
，都是自然数，
，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题主要考查求解和运用二次函数、运用一次函数等相关知识。
（1）首先将y与x的函数关系式假设出来，然后运用待定系数法将三组数代入，列出三元一次方程组即可求解；
（2）分两种情况，即当时，，此时可知当时，有最大值320（人）；当时，，则当时，有最大值300（人）；由此即可求解；
（3）根据条件可以列式，然后根据，都是自然数，即可得出m和x的值。
（1）解：当时，随着时间的变化，人数的增加较多，
∴设与之间的函数关系式为，
当时，，当时，，当时，，
∴，
解得，，
∴当时，与之间的函数关系式为；
（2）解：①设排队人数为，则：
当时，，
，
当时，有最大值320（人）；
当时，，
当时，有最大值300（人）；
，
排队人数最多时有320人．
（3）解：若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐，
则：，
∴，
，都是自然数，
，．
24．【答案】（1）证明：为的直径，弦，
，
，
，
，
．
为的直径，
，
，，
，
，
即为的中点．
（2）解：①，且，
∴，
设，则，
∴．
，
，
，
，
解得，
．
②（i）当时，，
∴，
由（1）得，
∴，
，，
设，
，，
由（1）知，，
，
．
（ii）当时，，
∴．
，，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
由，
∴四边形为正方形，
，
．
综上，的正切值为或1．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；解直角三角形；等圆、等弧的概念
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，根据等弧所对圆周角相等可得，结合已知得，，根据等角的余角相等可得，从而得，即得为的中点，解答即可．
（2）①根据，设，则，由勾股定理计算可得．根据，建立比例关系得，计算可得，，解答即可；
②当时，先用AAS证明，可得，，设，，由勾股定理计算可得，根据三角函数的定义即得；当时，，，可得，四边形为正方形，即得，解答即可．
（1）证明：为的直径，弦，
，
，
，
，
．
为的直径，
，
，，
，
，
即为的中点．
（2）解：①，且，
∴，
设，则，
∴．
，
，
，
，
解得，
．
②（i）当时，，
∴，
由（1）得，
∴，
，，
设，
，，
由（1）知，，
，
．
（ii）当时，，
∴．
，，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
由，
∴四边形为正方形，
，
．
综上，的正切值为或1．
1 / 1浙江省宁波市余姚市余姚市2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2025九下·余姚月考）下列各数：，0，，，其中最大的数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴最大的数为：，
故答案为：C．
【分析】本题考查了实数的大小比较，正确的估算无理数的大小是解题的关键．
首先确定，，，然后从小到大排列即可得出答案。
2．（2025九下·余姚月考）如图是由5个相同小正方形搭成的几何体，若将小正方体放到小正方体的正上方，则关于该几何体变化前后的三视图，下列说法正确的是（　　）．
A．主视图不变 B．俯视图不变
C．左视图改变 D．以上三种视图都改变
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：将小正方体放到小正方体的正上方，
此时的主视图为，俯视图为。左视图为；
而原图的主视图为，俯视图为。左视图为；
因此该几何体变化前后的三视图，主视图发生了改变，俯视图和左视图均为发生改变。四个选项中只有B正确
故答案为：B．
【分析】本题考查了三视图的定义，即主视图，从正面看；左视图，从左往右看；俯视图，从上往下看．
可以分别画出变化前和变化后对应的三视图，然后对比即可。
3．（2025九下·余姚月考）根据国家统计局数据显示，浙江省2024年人均可支配收入52206元，位居全国第三，同比增长4.8%，数据52206用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：52206=5.2206×104，
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
4．（2025九下·余姚月考）如图，，平分，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵平分，
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，三角形内角和定理。
根据“两直线平行、内错角相等”可以得出，然后由角平分线得到，最后根据三角形内角和定理求解即可。
5．（2025九下·余姚月考）下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故选项A错误，不符合题意；
B.，故选项A错误，不符合题意；
C.，故选项A错误，不符合题意；
D.，选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则进行计算并判断即可.
6．（2025九下·余姚月考）为了更好的开展班级艺术节活动，文艺委员对全班学生感兴趣的文艺节目调查的数据进行整理.要反映学生感兴趣的各类文艺节目所占百分比，最适合的统计图是（　　）
A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．频数直方图
【答案】A
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：∵要反映学生感兴趣的各类文艺节目所占百分比，
∴最适合的统计图是扇形统计图，
故答案为：A.
【分析】根据统计图的特点：扇形统计图能清楚地反映出各部分在总体中所占的百分比；条形统计图能清楚地反映出每个项目的具体数目；折线统计图能清楚地反映出数据的变化趋势；频数直方图能够显示各组频数分布的情况，显示各组之间频数的差别，据此即可求解.
7．（2025九下·余姚月考）下列命题中，真命题是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直四边形是菱形
D．四边相等的四边形是正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题，符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C是假命题，不符合题意；
D、四边相等的四边形是菱形，故D是假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐项进行分析即可.
8．（2025九下·余姚月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴其解集在数轴上表示如下图所示：
故答案为：D.
【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可求解.
9．（2025九下·余姚月考）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：在中，，点是重心，
，，，
，
，
，
，，
，
，即，
，
故选：B．
【分析】根据三角形重心性质可得，，，再根据余弦定义可得AC，根据直线平行判定定理可得，再根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
10．（2025九下·余姚月考）已知二次函数，当时，，则，值为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
即该二次函数开口向下，对称轴为直线x=1，
∵当时，，
∴，即，
故在对称轴的左边，
即把，分别代入，得
，整理得，
即分别是一元二次方程的两个解，
则，
∵，
∴，，
故答案为：B
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、二次函数的图象性质等相关知识。
首先先将二次函数变形，此时可以求出二次函数的最大值和对称轴，再结合越靠近对称轴的横坐标所对应的纵坐标越大，分析得在对称轴的左边，此时可以建立方程组并进行变形，得到，该方程组可以看做是分别是一元二次方程的两个解，然后利用求根公式即可求出答案。
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九下·余姚月考）因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
12．（2025九下·余姚月考）已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为，
∴底面周长为，
∴圆锥的侧面积为，
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面积公式进行求解即可．
13．（2025九下·余姚月考）一个袋子中有2个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到黑球的概率是，则袋子中有　 　个黑球.
【答案】3
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设袋子中有x个黑球，
根据题意，得，
解得：x=3，
经检验x=3是分数方程的解，
∴袋子中有3个黑球，
故答案为：3.
【分析】设袋子中有x个黑球，根据概率公式得关于x的分式方程，解方程即可求解.
14．（2025九下·余姚月考）如图，是的直径，P是延长线上一点，与相切于点C．若，则　 　°．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，如图所示
∵与相切于点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，圆周角定理。
首先利用切线的性质得，这时可以利用三角形内角和的性质求出的度数，最后根据圆周角定理即可得答案。
15．（2025九下·余姚月考）如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有，，三点，设直线，，的解析式分别为，，，则，，中，最大值为　 　（填具体数值）．
【答案】4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：将 ，，三点，分别代入，，中，得到
，，，
解得，，，
∴，，，
∴，，中，最大值为．
故答案为：．
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式。
首先利用待定系数法分别求出，，，最后计算出，，的值，比较大小即可得到答案．
16．（2025九下·余姚月考）如图，中，，，，以斜边为边，向上作等边三角形，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程；等边三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，，
，
∵是等边三角形
，
过点分别作，作的延长线于一点，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
设为，
则，，
在中，
在中，
则
∴，
∴，
整理得
∴，
解得，；
当时，则，
∴；
当时，则
∴；
在中，，
∴，
故（舍去）；
故答案为：．
【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质，公式法解一元二次方程，矩形的判定与性质等知识点。
先根据勾股定理得出AB的值，再结合等边三角形的性质得，此时可以做辅助线，即过点分别作，作的延长线于一点，证明四边形是矩形，则有，，在中和在中，利用勾股定理求出DH2的值和GB2的值，则有，用r可以表示出，最后整理可以求出r的两个值；在中，，故，故（舍去）；即可作答．
17．（2025九下·余姚月考）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】解：（1）
．
；
（2）
．
；
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，实数的混合运算，整式的混合运算。
（1）先计算零次幂20250=1、负整数指数幂，并化简绝对值，再合并即可；
（2）先利用完全平方公式对（x+1）2进行展开，同时对x（x-2）去括号计算，最后合并同类项即可．
18．（2025九下·余姚月考）解分式方程：．
【答案】解：
化成整式方程得：x－2=﹣2－2(x－1)
解方程得：
经检验，是原分式方程的解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先将分式方程转化为整式方程，解整式方程后，需要检验x的值是否是方程的解.
19．（2025九下·余姚月考）如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明（1）∵，
，
，
∴，
，
在和中，
，
（）．
（2）解：∵，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】本题考查了平行线性质、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理等；
（1）由“两直线平行、同位角相等”得，然后推出BC=EF，最后由即可得证；
（2）由（1）的证明结果，此时可以利用全等三角形的性质得，最后由三角形的内角和定理即可求解。
（1）证明（1）∵，
，
，
∴，
，
在和中，
，
（）．
（2）解：∵，
，
．
20．（2025九下·余姚月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积．
【答案】（1）解：将点，代入，
得：，，即，，
，，
将代入反比例函数中，得：，
反比例函数的表达式为。
（2）解：连接，如图所示：
设一次函数的图像与轴交于点，
在中，令，则，
，
，
由（1）知，，，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数以及相关的图象与性质．
（1）先将点，代入，求出A、B的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出，此时得到，再用分割法求出的面积即可．
（1）解：将点，代入得：，，
，，
，，
将代入反比例函数中，得：，
反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，如图所示：
设一次函数的图像与轴交于点，
在中，令，则，
，
，
由（1）知，，，
．
21．（2025九下·余姚月考）为了增强学生的安全意识，某校开展了主题为“科学防护·珍爱生命”的安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：．
八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：．
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93
众数 100
方差 52
根据以上信息，解答下列问题；
（1）直接写出上述图表中，，的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）解：八年级C组有3人，
∴C组的百分比为，
∴，
∴，
∵A组占，B组占，C组占，
∴中位数落在C组中，第5，6位同学成绩的平均数，
∴b=
在七年级学生的成绩中，出现的次数最多，
∴。
（2）解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下，
∵八年级的中位数大，众数也大，方差小，
∴八年学生的成绩较好，更加整齐．
【知识点】统计表；扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，需要计算百分数、中位数、众数，并由调查数据进行决策。
（1）根据八年级C组有3人，得到C组的百分比，此时即可计算出，然后根据中位数，众数的计算方法分别计算即可求解；
（2）根据调查数据，中位数和众数大，成绩越好；而方差小，说明成绩稳定，由此得出结论。
（1）解：八年级C组有3人，
∴C组的百分比为，
∴，
∴，
∵A组占，B组占，C组占，
∴中位数落在C组中，第5，6位同学成绩的平均数，
∴，
∴，
在七年级学生的成绩中，出现的次数最多，
∴；
（2）解：八年级学生的安全知识竞赛成绩较好，理由如下，
∵八年级的中位数大，众数也大，方差小，
∴八年学生的成绩较好，更加整齐．
22．（2025九下·余姚月考）如图，的网格中，均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中找一格点，使得为等腰三角形（找到一个即可）；
（2）在图2中作出的角平分线．
【答案】解：（1）如图，点即为所求；
（2）如图，即为所求.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得，然后延长至点，使，连接，则为等腰三角形；
（2）延长至点，使，连接，利用勾股定理得到，，则点为的中点，根据等腰三角形“三线合一”性质即可得到平分.
23．（2025九下·余姚月考）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐．为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11：30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下：
经过的时间 /分钟 0 1 2 3 4 5 … 10
累计人数 （人） 0 95 180 255 320 375 … 500
当时与之间的函数关系式，（）
已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐．
（1）根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式．
（2）排队人数最多时有多少人？
（3）若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求，的值．
【答案】（1）解：当时，随着时间的变化，人数的增加较多，
∴设与之间的函数关系式为，
当x=0时，y=0，当时，，当时，，
得到，解得，，
∴当时，与之间的函数关系式为。
（2）解：①设排队人数为，则：
当时，，
，
当时，有最大值320（人）；
当时，，
当时，有最大值300（人）；
，
排队人数最多时有320人．
（3）解：若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐，则：，化简变形得到，
，都是自然数，
，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题主要考查求解和运用二次函数、运用一次函数等相关知识。
（1）首先将y与x的函数关系式假设出来，然后运用待定系数法将三组数代入，列出三元一次方程组即可求解；
（2）分两种情况，即当时，，此时可知当时，有最大值320（人）；当时，，则当时，有最大值300（人）；由此即可求解；
（3）根据条件可以列式，然后根据，都是自然数，即可得出m和x的值。
（1）解：当时，随着时间的变化，人数的增加较多，
∴设与之间的函数关系式为，
当时，，当时，，当时，，
∴，
解得，，
∴当时，与之间的函数关系式为；
（2）解：①设排队人数为，则：
当时，，
，
当时，有最大值320（人）；
当时，，
当时，有最大值300（人）；
，
排队人数最多时有320人．
（3）解：若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐，
则：，
∴，
，都是自然数，
，．
24．（2025九下·余姚月考）如图，为的直径，弦于，为弦上一点，且，射线与射线相交与点．
（1）求证：为的中点．
（2）①若，求的值．
②当为直角三角形时，求的正切值．
【答案】（1）证明：为的直径，弦，
，
，
，
，
．
为的直径，
，
，，
，
，
即为的中点．
（2）解：①，且，
∴，
设，则，
∴．
，
，
，
，
解得，
．
②（i）当时，，
∴，
由（1）得，
∴，
，，
设，
，，
由（1）知，，
，
．
（ii）当时，，
∴．
，，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
由，
∴四边形为正方形，
，
．
综上，的正切值为或1．
【知识点】三角形全等及其性质；圆周角定理；解直角三角形；等圆、等弧的概念
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，根据等弧所对圆周角相等可得，结合已知得，，根据等角的余角相等可得，从而得，即得为的中点，解答即可．
（2）①根据，设，则，由勾股定理计算可得．根据，建立比例关系得，计算可得，，解答即可；
②当时，先用AAS证明，可得，，设，，由勾股定理计算可得，根据三角函数的定义即得；当时，，，可得，四边形为正方形，即得，解答即可．
（1）证明：为的直径，弦，
，
，
，
，
．
为的直径，
，
，，
，
，
即为的中点．
（2）解：①，且，
∴，
设，则，
∴．
，
，
，
，
解得，
．
②（i）当时，，
∴，
由（1）得，
∴，
，，
设，
，，
由（1）知，，
，
．
（ii）当时，，
∴．
，，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
由，
∴四边形为正方形，
，
．
综上，的正切值为或1．
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