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四川省南充市营山县2025年初中学业水平第一次模拟考试数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（2025·营山模拟）实数中，比小的数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025·营山模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·营山模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·营山模拟）第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·营山模拟）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·营山模拟）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·营山模拟）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，点B到的距离为，，则房顶A离地面的高度为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·营山模拟）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被水覆盖了，如果图2所表示的方程组的解为，则被墨水所覆盖的图形为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·营山模拟）如图，是的弦，点D是弦的中点，与交于点C，是直径，连接，若，，则半径的长为（　　）
A．4 B． C． D．5
10．（2025·营山模拟）如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2025·营山模拟）计算的结果为　 　．
12．（2025·营山模拟）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于　 　．
13．（2025·营山模拟）如图，是的直径，，交于点，连接，若，则的度数为　 　．
14．（2025·营山模拟）已知方程的两根为，求的值为　 　．
15．（2025·营山模拟）如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为　 　．
16．（2025·营山模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤．
其中正确的有　 　（填序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2025·营山模拟）计算：．
18．（2025·营山模拟）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
19．（2025·营山模拟）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科日测试（把测试结果分为四个等级：A：优秀：B：良好：C：及格：D：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次抽样测试的学生人数？该县九年级有学生2500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的有多少人？
（2）求扇形统计图中的度数？并把条形统计图补充完整；
（3）测试老师想从4位学生（分别记为E，F，G，H，其中E为小明）中随机选择两位学生了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
20．（2025·营山模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）在（）的条件下，若取最大正整数值，设、是该方程的两根，求的值．
21．（2025·营山模拟）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点C( 3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于一、三象限内的A，B两点，且AC=2BC，求m的值．
22．（2025·营山模拟）如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE=∠ABD．
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=12，sin∠CDE=，求圆O的半径和AC的长．
23．（2025·营山模拟）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
任务一：建立函数模型
（1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
任务二：设计销售方案
（2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润．
24．（2025·营山模拟）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，．
（1）求的值；
（2）设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）当时，判断与是否相似并说明理由．
25．（2025·营山模拟）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴实数中，比小的数有共3个，
故答案为：C．
【分析】利用估算无理数的大小，可得到，据此可求解.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(3x)2=9x2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、3x与3y不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(x+y)2=x2+2xy+y2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(x+2)(x-2)=x2-4，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断C选项；根据平方差公式，两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不都是，即可求出x的取值范围.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据260000000用科学记数法表示为2.6×108.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
直角三角板位于两条平行线间且，
，
又直角三角板含角，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质求出∠3=135°，再利用平角及角的运算求出∠2的度数即可.
6．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：A．
【分析】先对不等式组进行标注，然后求出，再根据，即可求出最后解不等式即可
7．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】
解：过点作于，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故答案为：B．
【分析】过点作于，首先根据对称新可求得AD=3，然后根据真切的定义，可得出，进而可得出答案为
.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由图可知，图形的前两列为方程的左边，后两列为方程的右边，表示一个数。其中，“I ”表示1，“ - ”表示10，竖线上的横线表示5，
∴由图2，得到以下方程：
将代入可解得：
根据图形规律，可推出代表的图形为“ ”
故答案为：C.
【分析】观察图1和对应的方程组可知：“I ”表示1，“ - ”表示10，竖线上的横线表示5，据此利用图2可得到关于x、y的方程组，将x=5代入可求出对应的y、b的值.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的弦，点是弦的中点，
∴，，
∵是直径，连接，，
∴，
∴是的中位线，
，
∵，，
，
在中
，
，
在中
，
，
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理得，，根据过圆周角定理的推论可证得，再证明是的中位线，利用三角形中位线定理可求出BE的长，利用勾股定理求出DB、OA的长，即可得到OC的长.
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形为正方形，
，，，
在和中，
，
∴，
，
，
，
即，
为中点，
，
，为中点，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，为中点，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接，利用正方形的性质可证得，，，利用HL可知利用 全等三角形的性质可证，进而可得，利用等腰三角形性质和直角三角形斜边上的中线性质证得，再利用SSS可证得，可推出，，利用三角形的内角和定理可表示出∠DAP的度数，同时可求出∠PAE的度数，由此可表示出∠DAE的度数，利用平行线的性质可得到∠AEB的度数，然后求出∠CEF的度数.
11．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式==1．
故答案为：1．
【分析】根据同分母分式加减法的运算法则“同分母分式加减法，分母不变，分子相加”进行计算，即可求解．
12．【答案】1．
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为红球的概率是，布袋里有2个红球，3个白球和a个黄球，
所以
∴a=1
故答案为1.
【分析】由题意可得所有等可能的结果数，根据红球的概率可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用垂直的定义和直角三角形的两锐角互余可求出∠AOC的度数，再利用圆周角定理可求出∠B的度数。
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系可得的值，由此可得到，将方程的根代入可得答案.
15．【答案】2.5或10
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；矩形翻折模型；分类讨论
【解析】【解答】解：①点的对应点落在矩形的内部，
过点作于点，延长交于点，
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，
，
点刚好落在线段的垂直平分线上，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
解得；
②点的对应点落在矩形的外面，
过点作于点，延长交于点，
由①同理可得，四边形为矩形，
，，
，
，
，
解得，
综上所述的长为2.5或10，
故答案为：2.5或10．
【分析】分情况讨论；①点的对应点落在矩形的内部，①点的对应点落在矩形的内部，利用矩形的判定和性质可求出MN的长，利用已知可求出AN、N的长；再利用折叠的性质可求出AF的长，利用勾股定理求出NF的长，即可得到ME的长，利用 勾股定理可得到关于DE的方程，解方程求出DE的长；②点的对应点落在矩形的外面，过点作于点，延长交于点，易求出NF的长，利用勾股定理可得到关于DE的方程，解方程求出DE的长；综上所述可得到符合题意的DE的长.
16．【答案】①④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴，，．
∴．
∴．故①符合题意．
∵点是函数图象上一点，对称轴是直线，
∴二次函数图象经过点．
∵二次函数图象开口方向向下，
∴当时，y随x的增大而增大．
∵函数图象上一点，
∴．故②不符合题意．
∵，二次函数图象对称轴是直线，
∴设二次函数解析式为．
把点坐标代入二次函数解析式得．
解得．
∴二次函数解析式为．
∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．故③不符合题意．
∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线，
∴二次函数图象过点．
把点和代入二次函数解析式中得
用a来表示b和c得
∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），
∴．
∴．
∴．故④符合题意．
∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线，
∴二次函数在时取得最大值．
∴当时，，即．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．故⑤符合题意．
故①④⑤符合题意．
故答案为：①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；根据点N坐标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点，再根据二次函数的增减性即可判断②不符合题意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移规律即可判断③不符合题意；把点A坐标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式的性质即可判断④符合题意；根据二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可判断⑤符合题意．
17．【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简 绝对值，再算乘法运算，然后合并即可.
18．【答案】（1）证明：∵，∴，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得，再利用可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得，利用三角形内角和定理求出∠D的度数，再利用平行线的性质 可求出∠DBE的度数.
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
19．【答案】（1）解：本次抽样测试的学生人数是：（人），
该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为：（人）
（2）解：图中的度数是，
级的人数是：（人），
条形统计图补充完整如下：
（3）解：画树形图如下：
共有种等可能的情况，其中选中小明的结果有种，
则选中小明
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用级的人数除以其所占的百分比得出本次抽样测试的学生人数，利用该县九年级学生总人数乘以D级所占的百分比列式计算即可.
（2）用乘以级所占的百分比求出的度数，再求出级的人数，从而补全条形统计图；
（3）画出树状图，共有种等可能的情况，其中选中小明的结果有种，再根据概率公式进行计算即可．
（1）解：本次抽样测试的学生人数是：（人），
该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为：（人），
（2）解：图中的度数是，
级的人数是：（人），
条形统计图补充完整如下：
；
（3）解：画树形图如下：
共有种等可能的情况，其中选中小明的结果有种，
则选中小明．
20．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，
解得，
又∵，
∴，
∴的取值范围为：且
（2）解：∵，∴的最大正整数值为，
当时，一元二次方程为，
∴，，
∴原式
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（）利用已知可得到b2-4ac＞0且m-1≠0，可得到关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可.
（）根据（）中的取值范围确定的最大正整数的值，将其代入一元二次方程，利用根与系数的关系得到、的值，然后将代数式变形后整体代入求值.
（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
又∵，
∴，
∴的取值范围为：且；
（2）解：∵，
∴的最大正整数值为，
当时，一元二次方程为，
∴，，
∴原式．
21．【答案】（1）解：∵一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），∴-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，
∵k＞0，
∴b＞0，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴×3×b=3，
解得：b=2．
把b=2代入①，解得：k=，则函数的解析式是y=x+2．
故这个函数的解析式为y=x+2
（2）解：如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．
∵AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴=2，
∴AD=2BE．
设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．
∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴A（3n-3，2n），B（-3-n，-n），
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，
∴（3n-3） 2n=（-3-n） （-n），
解得n1=2，n2=0（不合题意舍去），
∴m=（3n-3） 2n=3×4=12
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入一次函数解析式可得到关于k、b的方程，再利用已知条件求出b的值，即可得到k的值，由此可求出一次函数解析式.
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE，可推出△ACD∽△BCE，利用相似三角形的性质可推出AD=2BE；设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n，利用一次函数解析式可表示出点A、B的方程，将点A、B的坐标代入反比例函数解析式，可得到关于n的方程 ，解方程求出符合题意的n的值，由此可求出m的值.
（1）解：∵一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），
∴-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，
∵k＞0，
∴b＞0，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴×3×b=3，
解得：b=2．
把b=2代入①，解得：k=，则函数的解析式是y=x+2．
故这个函数的解析式为y=x+2；
（2）解：如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．
∵AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴=2，
∴AD=2BE．
设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．
∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴A（3n-3，2n），B（-3-n，-n），
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，
∴（3n-3） 2n=（-3-n） （-n），
解得n1=2，n2=0（不合题意舍去），
∴m=（3n-3） 2n=3×4=12．
22．【答案】（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ADO+∠ABD=90°，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CDE=∠ABD，
∴sin∠CDE=sin∠ABD=，
在Rt△ABD中，sin∠ABD==，
设AD=5x，则AB=13x，
∴BD==12x，
∴12x=12，解得x=1，
∴AB=13，
∴圆O的半径为；
连结OC，如图，
∵CA=CB，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABD，
在Rt△ACO中，∵sin∠ACO==，
∴AC=×=
【知识点】切线的判定；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OD，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用等腰三角形的性质可证得∠OBD=∠ODB，据此可推出∠ODE=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用已知可得到AD与AB的比值，设AD=5x，则AB=13x，利用勾股定理可表示出BD的长，由此可求出AB的长，即可得到圆的半径长；连结OC，利用等腰三角形的性质可证得∠ACO=∠ABD，CO⊥AB，然后利用解直角三角形求出AC的长.
23．【答案】解：（1）设y与x的函数表达式为，将点代入，
可得，解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
（2）根据题意，可得
，
∵，
∴该函数图象开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时（元），
这种蔬菜的销售能获得日销售利润8600元，蔬菜的销售单价应定为18元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设y与x的函数表达式为，利用材料二可知将点代入，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2））根据题意，可得到W与x的函数解析式，再利用二次函数的性质可求出结果.
24．【答案】（1）解：过点作于点，
，
四边形是正方形，，，
，，
，，
，
（2）解：四边形是边长为3的正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
（3）解：当时，，
理由：，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
∵，
∴
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）过点作于点，利用正方形的性质求出AE的长，再利用直角三角形的性质求出和的长，然后利用正切的概念可求出结果.
（2）易证△AHG是等腰直角三角形，可得到AH=GH=y，由GH∥AB，可证得，利用相似三角形的性质可得到关于x、y的方程，可得到y关于x的关系式.
（3）由锐角三角函数的定义得出，求出，，证明和都是等腰直角三角形，可推出∠CGE=∠DAF=90°，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（1）解：过点作于点，
，
四边形是正方形，，，
，，
，，
，
；
（2）解：四边形是边长为3的正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当时，，
理由：，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
∵，
∴．
25．【答案】（1）解：∵ 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，
当时，，
解得：或，
，，
设直线BC的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时．
（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
1 / 1四川省南充市营山县2025年初中学业水平第一次模拟考试数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（2025·营山模拟）实数中，比小的数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴实数中，比小的数有共3个，
故答案为：C．
【分析】利用估算无理数的大小，可得到，据此可求解.
2．（2025·营山模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(3x)2=9x2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、3x与3y不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C、(x+y)2=x2+2xy+y2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(x+2)(x-2)=x2-4，故此选项计算正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式可判断C选项；根据平方差公式，两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，可判断D选项.
3．（2025·营山模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式的被开方数是非负数和分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不都是，即可求出x的取值范围.
4．（2025·营山模拟）第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据260000000用科学记数法表示为2.6×108.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
5．（2025·营山模拟）把一块含角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
直角三角板位于两条平行线间且，
，
又直角三角板含角，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用平行线的性质求出∠3=135°，再利用平角及角的运算求出∠2的度数即可.
6．（2025·营山模拟）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
得：，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：A．
【分析】先对不等式组进行标注，然后求出，再根据，即可求出最后解不等式即可
7．（2025·营山模拟）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，点B到的距离为，，则房顶A离地面的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】
解：过点作于，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故答案为：B．
【分析】过点作于，首先根据对称新可求得AD=3，然后根据真切的定义，可得出，进而可得出答案为
.
8．（2025·营山模拟）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被水覆盖了，如果图2所表示的方程组的解为，则被墨水所覆盖的图形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由图可知，图形的前两列为方程的左边，后两列为方程的右边，表示一个数。其中，“I ”表示1，“ - ”表示10，竖线上的横线表示5，
∴由图2，得到以下方程：
将代入可解得：
根据图形规律，可推出代表的图形为“ ”
故答案为：C.
【分析】观察图1和对应的方程组可知：“I ”表示1，“ - ”表示10，竖线上的横线表示5，据此利用图2可得到关于x、y的方程组，将x=5代入可求出对应的y、b的值.
9．（2025·营山模拟）如图，是的弦，点D是弦的中点，与交于点C，是直径，连接，若，，则半径的长为（　　）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵是的弦，点是弦的中点，
∴，，
∵是直径，连接，，
∴，
∴是的中位线，
，
∵，，
，
在中
，
，
在中
，
，
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理得，，根据过圆周角定理的推论可证得，再证明是的中位线，利用三角形中位线定理可求出BE的长，利用勾股定理求出DB、OA的长，即可得到OC的长.
10．（2025·营山模拟）如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形为正方形，
，，，
在和中，
，
∴，
，
，
，
即，
为中点，
，
，为中点，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，为中点，
，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接，利用正方形的性质可证得，，，利用HL可知利用 全等三角形的性质可证，进而可得，利用等腰三角形性质和直角三角形斜边上的中线性质证得，再利用SSS可证得，可推出，，利用三角形的内角和定理可表示出∠DAP的度数，同时可求出∠PAE的度数，由此可表示出∠DAE的度数，利用平行线的性质可得到∠AEB的度数，然后求出∠CEF的度数.
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2025·营山模拟）计算的结果为　 　．
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式==1．
故答案为：1．
【分析】根据同分母分式加减法的运算法则“同分母分式加减法，分母不变，分子相加”进行计算，即可求解．
12．（2025·营山模拟）已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于　 　．
【答案】1．
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为红球的概率是，布袋里有2个红球，3个白球和a个黄球，
所以
∴a=1
故答案为1.
【分析】由题意可得所有等可能的结果数，根据红球的概率可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
13．（2025·营山模拟）如图，是的直径，，交于点，连接，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用垂直的定义和直角三角形的两锐角互余可求出∠AOC的度数，再利用圆周角定理可求出∠B的度数。
14．（2025·营山模拟）已知方程的两根为，求的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系可得的值，由此可得到，将方程的根代入可得答案.
15．（2025·营山模拟）如图，在矩形中，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为　 　．
【答案】2.5或10
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；矩形翻折模型；分类讨论
【解析】【解答】解：①点的对应点落在矩形的内部，
过点作于点，延长交于点，
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，
，
点刚好落在线段的垂直平分线上，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
解得；
②点的对应点落在矩形的外面，
过点作于点，延长交于点，
由①同理可得，四边形为矩形，
，，
，
，
，
解得，
综上所述的长为2.5或10，
故答案为：2.5或10．
【分析】分情况讨论；①点的对应点落在矩形的内部，①点的对应点落在矩形的内部，利用矩形的判定和性质可求出MN的长，利用已知可求出AN、N的长；再利用折叠的性质可求出AF的长，利用勾股定理求出NF的长，即可得到ME的长，利用 勾股定理可得到关于DE的方程，解方程求出DE的长；②点的对应点落在矩形的外面，过点作于点，延长交于点，易求出NF的长，利用勾股定理可得到关于DE的方程，解方程求出DE的长；综上所述可得到符合题意的DE的长.
16．（2025·营山模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤．
其中正确的有　 　（填序号）
【答案】①④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴，，．
∴．
∴．故①符合题意．
∵点是函数图象上一点，对称轴是直线，
∴二次函数图象经过点．
∵二次函数图象开口方向向下，
∴当时，y随x的增大而增大．
∵函数图象上一点，
∴．故②不符合题意．
∵，二次函数图象对称轴是直线，
∴设二次函数解析式为．
把点坐标代入二次函数解析式得．
解得．
∴二次函数解析式为．
∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．故③不符合题意．
∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线，
∴二次函数图象过点．
把点和代入二次函数解析式中得
用a来表示b和c得
∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），
∴．
∴．
∴．故④符合题意．
∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线，
∴二次函数在时取得最大值．
∴当时，，即．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．故⑤符合题意．
故①④⑤符合题意．
故答案为：①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；根据点N坐标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点，再根据二次函数的增减性即可判断②不符合题意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移规律即可判断③不符合题意；把点A坐标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式的性质即可判断④符合题意；根据二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可判断⑤符合题意．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2025·营山模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简 绝对值，再算乘法运算，然后合并即可.
18．（2025·营山模拟）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∴，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可证得，再利用可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得，利用三角形内角和定理求出∠D的度数，再利用平行线的性质 可求出∠DBE的度数.
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
19．（2025·营山模拟）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科日测试（把测试结果分为四个等级：A：优秀：B：良好：C：及格：D：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）求本次抽样测试的学生人数？该县九年级有学生2500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的有多少人？
（2）求扇形统计图中的度数？并把条形统计图补充完整；
（3）测试老师想从4位学生（分别记为E，F，G，H，其中E为小明）中随机选择两位学生了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率．
【答案】（1）解：本次抽样测试的学生人数是：（人），
该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为：（人）
（2）解：图中的度数是，
级的人数是：（人），
条形统计图补充完整如下：
（3）解：画树形图如下：
共有种等可能的情况，其中选中小明的结果有种，
则选中小明
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用级的人数除以其所占的百分比得出本次抽样测试的学生人数，利用该县九年级学生总人数乘以D级所占的百分比列式计算即可.
（2）用乘以级所占的百分比求出的度数，再求出级的人数，从而补全条形统计图；
（3）画出树状图，共有种等可能的情况，其中选中小明的结果有种，再根据概率公式进行计算即可．
（1）解：本次抽样测试的学生人数是：（人），
该县九年级有学生名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计不及格的人数为：（人），
（2）解：图中的度数是，
级的人数是：（人），
条形统计图补充完整如下：
；
（3）解：画树形图如下：
共有种等可能的情况，其中选中小明的结果有种，
则选中小明．
20．（2025·营山模拟）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）在（）的条件下，若取最大正整数值，设、是该方程的两根，求的值．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，
解得，
又∵，
∴，
∴的取值范围为：且
（2）解：∵，∴的最大正整数值为，
当时，一元二次方程为，
∴，，
∴原式
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（）利用已知可得到b2-4ac＞0且m-1≠0，可得到关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可.
（）根据（）中的取值范围确定的最大正整数的值，将其代入一元二次方程，利用根与系数的关系得到、的值，然后将代数式变形后整体代入求值.
（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
又∵，
∴，
∴的取值范围为：且；
（2）解：∵，
∴的最大正整数值为，
当时，一元二次方程为，
∴，，
∴原式．
21．（2025·营山模拟）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点C( 3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于一、三象限内的A，B两点，且AC=2BC，求m的值．
【答案】（1）解：∵一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），∴-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，
∵k＞0，
∴b＞0，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴×3×b=3，
解得：b=2．
把b=2代入①，解得：k=，则函数的解析式是y=x+2．
故这个函数的解析式为y=x+2
（2）解：如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．
∵AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴=2，
∴AD=2BE．
设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．
∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴A（3n-3，2n），B（-3-n，-n），
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，
∴（3n-3） 2n=（-3-n） （-n），
解得n1=2，n2=0（不合题意舍去），
∴m=（3n-3） 2n=3×4=12
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）将点C的坐标代入一次函数解析式可得到关于k、b的方程，再利用已知条件求出b的值，即可得到k的值，由此可求出一次函数解析式.
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE，可推出△ACD∽△BCE，利用相似三角形的性质可推出AD=2BE；设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n，利用一次函数解析式可表示出点A、B的方程，将点A、B的坐标代入反比例函数解析式，可得到关于n的方程 ，解方程求出符合题意的n的值，由此可求出m的值.
（1）解：∵一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），
∴-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，
∵k＞0，
∴b＞0，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴×3×b=3，
解得：b=2．
把b=2代入①，解得：k=，则函数的解析式是y=x+2．
故这个函数的解析式为y=x+2；
（2）解：如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．
∵AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴=2，
∴AD=2BE．
设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．
∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴A（3n-3，2n），B（-3-n，-n），
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，
∴（3n-3） 2n=（-3-n） （-n），
解得n1=2，n2=0（不合题意舍去），
∴m=（3n-3） 2n=3×4=12．
22．（2025·营山模拟）如图，在△ABC中，AC=BC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE=∠ABD．
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）若BD=12，sin∠CDE=，求圆O的半径和AC的长．
【答案】（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ADO+∠ABD=90°，
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CDE=∠ABD，
∴sin∠CDE=sin∠ABD=，
在Rt△ABD中，sin∠ABD==，
设AD=5x，则AB=13x，
∴BD==12x，
∴12x=12，解得x=1，
∴AB=13，
∴圆O的半径为；
连结OC，如图，
∵CA=CB，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠ACO=∠ABD，
在Rt△ACO中，∵sin∠ACO==，
∴AC=×=
【知识点】切线的判定；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OD，利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ADB=90°，利用等腰三角形的性质可证得∠OBD=∠ODB，据此可推出∠ODE=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）利用已知可得到AD与AB的比值，设AD=5x，则AB=13x，利用勾股定理可表示出BD的长，由此可求出AB的长，即可得到圆的半径长；连结OC，利用等腰三角形的性质可证得∠ACO=∠ABD，CO⊥AB，然后利用解直角三角形求出AC的长.
23．（2025·营山模拟）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
任务一：建立函数模型
（1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
任务二：设计销售方案
（2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润．
【答案】解：（1）设y与x的函数表达式为，将点代入，
可得，解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
（2）根据题意，可得
，
∵，
∴该函数图象开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时（元），
这种蔬菜的销售能获得日销售利润8600元，蔬菜的销售单价应定为18元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设y与x的函数表达式为，利用材料二可知将点代入，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2））根据题意，可得到W与x的函数解析式，再利用二次函数的性质可求出结果.
24．（2025·营山模拟）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，于点H，，．
（1）求的值；
（2）设，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（3）当时，判断与是否相似并说明理由．
【答案】（1）解：过点作于点，
，
四边形是正方形，，，
，，
，，
，
（2）解：四边形是边长为3的正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
（3）解：当时，，
理由：，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
∵，
∴
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）过点作于点，利用正方形的性质求出AE的长，再利用直角三角形的性质求出和的长，然后利用正切的概念可求出结果.
（2）易证△AHG是等腰直角三角形，可得到AH=GH=y，由GH∥AB，可证得，利用相似三角形的性质可得到关于x、y的方程，可得到y关于x的关系式.
（3）由锐角三角函数的定义得出，求出，，证明和都是等腰直角三角形，可推出∠CGE=∠DAF=90°，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（1）解：过点作于点，
，
四边形是正方形，，，
，，
，，
，
；
（2）解：四边形是边长为3的正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当时，，
理由：，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
∵，
∴．
25．（2025·营山模拟）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
设直线的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，
当时，，
解得：或，
，，
设直线BC的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解；
（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时．
（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
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