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章末复习
R·八年级数学下册
函 数
22
知识结构图
常量与变量
函数的概念
函数的表示
函数的应用
解析法
列表法
图象法
知识梳理
1.常量和变量
一般地，在一个变化过程中，我们称_______________的量为常量，_______________的量为变量.
数值始终不变
数值发生变化
例1：已知签字笔的价格是5元/支，笔记本的价格是2元/本，状状购买了a支签字笔和b本笔记本花了m元，在这个问题中，变量是________，常量是________．
a, b, m
5，2
2. 函数的相关概念
函数
概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数.
函数值
函数解析式
自变量的取值范围
求函数值
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
例2：下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
例3：函数y= 中自变量x的取值范围是________________.
C
x≥－3且x≠－2
例4：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放．
（1）第5个图形有多少枚黑色棋子
（2）记第n个图形的黑色棋子枚数为y，试写出y关于n的函数解析式．
（3）第几个图形有2025枚黑色棋子
18枚
y=3n+3
将y=2025代入y=3n+3，得3n+3=2025，解得n=674．
所以第674个图形有2025枚黑色棋子．
3. 函数的图象
函数的图象
定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
画法
1.列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.
2.描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.
3.连线：按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
图象表达的实际意义
例5：实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢. 实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系. 下图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算32mg镭缩减为1mg所用的时间约是（ ）
A. 4860年 B. 6480年
C. 8100年 D. 9720年
C
4. 函数的表示方法
函数的表示方法
解析法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系.
列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系.
图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律.
对于一个具体的函数问题，应当选择适当的方法表示其中的函数关系. 有时为全面地认识问题，需要同时使用多种表示法.
例6：已知用于爆破工程的炸药包的导火线长为100cm，正常情况下，导火线每秒燃烧4cm.
（1）写出导火线燃烧时的剩余长度l（单位：cm）与燃烧时间 t（单位：s）之间的函数解析式；
（2）点燃导火线______s后炸药包爆炸，自变量t的取值范围是 ____________；
（3）完成下表；
t /s 0 5 10 15 20 25
l /cm 100 80 60 40 20 0
l=100－4t
25
0 ≤ t ≤ 25
t /s 0 5 10 15 20 25
l /cm 100 80 60 40 20 0
（4）根据表中的对应值画出这个函数的图象.
复习巩固
1. A，B 两地相距 10 km，李明从 A 地出发骑自行车以 20 km/h
的速度前往 B 地. 用 x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：
km）表示李明与 B 地的距离，指出其中的常量与变量，
自变量与函数，并写出函数解析式和自变量的取值范围.
复习巩固
1. A，B 两地相距 10 km，李明从 A 地出发骑自行车以 20 km/h
的速度前往 B 地. 用 x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：
km）表示李明与 B 地的距离，指出其中的常量与变量，
自变量与函数，并写出函数解析式和自变量的取值范围.
解：常量是 A，B 两地的距离与李明骑行的速度，变量是
骑行时间 x 和李明与 B 地的距离 y. 自变量是骑行时间 x，
李明与 B 地的距离 y 是 x 的函数.
函数解析式为 y = 10－20x （0 ≤ x ≤ 0.5）.
2. 某水库的水位高度与相应的蓄水量如下表所示.
（1）设水库的水位高度为 x m，蓄水量为 y m3，y 是 x 的函数吗？为什么？
解：y 是 x 的函数. 理由：对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的确定的值与其对应.
（2）观察表格中的数据，随着水位高度的变化，蓄水量是如何变化的？
2. 某水库的水位高度与相应的蓄水量如下表所示.
随着水位高度的变高，蓄水量越来越多.
3. 判断下列各点是否在函数 y = 的图象上.
（－2，－1），（－1，0），（0，1），（1，2）
解：当 x = －2 时，y = = －1；
当 x = －1 时，x + 1 = 0，式子 无意义；
当 x = 0 时，y = = 1；
当 x = 1 时，y = = .
3. 判断下列各点是否在函数 y = 的图象上.
（－2，－1），（－1，0），（0，1），（1，2）
所以点（－2，－1），（0，1）在函数 y = 的图象上，
点（－1，0），（1，2）不在函数 y = 的图象上.
4. 某水果批发市场每次批发苹果不少于 100 kg 时，批发价
为 4.5 元/ kg. 小王携带 9 000 元到这家市场批发苹果，
并以批发价买进. 设购买的苹果为 x kg，小王付款后还剩
余 y 元. 写出 y 关于 x 的函数解析式，并指出自变量 x 的
取值范围.
复习巩固
解：y = 9000－4.5x（100 ≤ x ≤ 2000）.
5. 已知等腰三角形周长为 20. 写出底边长 y 关于腰长 x 的
函数解析式，以及函数解析式中自变量的取值范围，
并在平面直角坐标系中画出它的图象.
需符合实际意义，即符合三角形的三边关系且三边长均大于 0.
解：y = 20－2x（5 < x < 10）.
在平面直角坐标系中画出
它的图象如下：
6.（1）画出函数 y = | x－1| 的图象；
解：如图.
（2）设 P（x，0）是 x 轴上的一个动点，它与 x 轴上表示
－3 的点的距离为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，
并画出这个函数的图象.
y = | x－(－3) | = | x + 3 | . 如图.
拓广探索
7. 在同一平面直角坐标系中分别画出函数 y = x 与 y =
的图象. 利用这两个图象回答：
（1）x 取什么值时，x 比 大？
解：y = x与 y = 的图象如图所示.
（1）当－1< x < 0 或 x > 1 时，x 比 大；
（2）当x<－1 或 0 < x <1 时，x 比 小.
（2）x 取什么值时，x 比 小？
8. 四边形有两条对角线，五边形、六边形分别有多少条对角线？
n 边形呢？多边形对角线的条数 y 是边数 n 的函数吗？
如果是，写出函数解析式，并画出函数图象.
分析：一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作（n－3）条对角线，
n 个顶点可以作 n(n－3) 条对角线，但每条对角线都重复计算了一次，
所以 n 边形有 条对角线.
8. 四边形有两条对角线，五边形、六边形分别有多少条对角线？
n 边形呢？多边形对角线的条数 y 是边数 n 的函数吗？
如果是，写出函数解析式，并画出函数图象.
解：五边形有 5 条对角线，六边形有 9 条对角线，n 边形有 条对角线，多边形对角线的
条数 y 是边数 n 的函数.函数解析式为 y = （n ≥ 3），函数图象如图所示.

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