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第六章 | 平面向量及其应用
第六章 | 平面向量及其应用
6．2.3　向量的数乘运算
明确目标 发展素养
1.掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义． 2.理解两个平面向量共线的含义． 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 1.通过理解向量数乘定义及几何意义，提升数学抽象素养． 2.通过运用数乘运算律和共线向量定理及应 用，增强逻辑推理、数学运算素养.
知识点一　向量的数乘运算
(一)教材梳理填空
1．向量的数乘运算：
定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度 |λa|＝|λ||a|
方 向 λ＝0 λa的方向与a的方向相同
λ＞0 λa＝0
λ＝0 λa的方向与a的方向相反
2．向量数乘运算的运算律：
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的线性运算：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)λa的方向与a的方向一致． (×)
(2)若λa＝0，则a＝0. (×)
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.(×)
2．已知非零向量a，b满足a＝4b，则 (　　)
A．|a|＝|b|　　　　　　　　 B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
答案：C
3．3(2a－4b)等于 (　　)
A．5a＋7b B．5a－7b
C．6a＋12b D．6a－12b
答案：D
知识点二　 共线向量定理
(一)教材梳理填空
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
[微思考]　定理中把“a≠0”去掉可以吗？
提示：不可以．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa. (×)
(2)若b＝λa，则a与b共线． (√)
2．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是 (　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
答案：C
3．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b.
答案：8
题型一　向量的线性运算
【学透用活】
[典例1]　化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解]　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
【对点练清】
1．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
解：原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b＝－a＋b
＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝－i－5j.
2．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.
解：联立方程组解得
题型二　用已知向量表示其他向量
【学透用活】
[典例2]　如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
[解]　由三角形中位线定理，知DE綉BC，
故＝，即＝a.
∴＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b，
＝＋＋＝＋＋
＝－a－b＋a＝a－b.
【对点练清】
1.如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a－b　　　　　　　 B.a＋b
C．a＋b D．a－b
解析：选D　＝＋＝＋
＝－＝a－b.
2.如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行 四 边形，BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示， ，.
解：因为＝＝＝(－)＝(a－b)，
所以＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
因为＝＝，
所以＝＋＝＋
＝＝(＋)＝(a＋b)，
所以＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.
题型三　向量共线定理及应用
【分类例析】
角度(一)　证明或判断三点共线　
[典例3]　已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
[证明]　∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2.∴∥.∵AB与BD有交点B，
∴A，B，D三点共线．
角度(二)　由三点共线求参数值　
[典例4]　已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
[解]　∵A，B，P三点共线，∴向量，共线．
∴必定存在实数λ，使＝λ，即－＝λ(－)．∴＝(1－λ) ＋λ，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
【对点练清】
1．若典例3中条件“＝2e1－8e2”改为“＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？
解：因为A，B，D三点共线，所以与共线．
设＝λ (λ∈R)，
∵＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.
由e1与e2不共线，可得∴λ＝2，k＝－8.
2．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2.试判断下列向量是否共线．
(1)与；(2)与；(3)与.
解：由题意，可得＝＋＋＝e1＋2e2－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝3e1＋6e2，
＝＋＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2e1＋4e2，
＝＋B＝e1＋2e2－5e1＋6e2＝－4e1＋8e2.
(1)＝3(e1＋2e2)＝3，∴与共线．
(2)B与不共线．(3)与不共线．
课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．(多选)下列各式计算正确的是 (　　)
A．(－7)×6a＝－42a
B．a－2b＋2(a＋b)＝3a
C．a＋b－(a＋b)＝0
D．(a－b)－3(a＋b)＝－2a－4b
解析：选ABD　根据向量数乘的运算律可验证A、B正确；C错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数；D正确，(a－b)－3(a＋b)＝a－b－3a－3b＝－2a－4b.
2．点C在直线AB上，且＝3，则等于 (　　)
A．－2 　　　　　　　　 B.
C．－ D．2
解析：选D　如图，＝3，所以＝2.
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则
(　　)
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．2＝
解析：选B　因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.
4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为 (　　)
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
解析：选A　因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是 (　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
解析：选AB　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，又λ≠μ，故B可以；当x＝y＝0时，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．故选A，B.
6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________.
解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使＝k.因为＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，
所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]．因为a与b不共线，
所以解得λ＝2或λ＝－1.
答案：－1或2
7．已知点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
解析：因为C在线段AB上，且＝，所以与方向相同，与方向相反，且＝，＝，所以＝，＝－.
答案：　－
8．化简：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
解：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
层级(二)　能力提升练
1．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ－，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
解析：选B　∵＝λ＋，∴－＝λ.∴＝λ.∴P，A，C三点共线，∴点P一定在AC边所在的直线上．
2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M.设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝a＋b B.＝－a＋b
C.＝－a＋b D.＝－a＋b
解析：选ABD　如图，由题意可得，＝＋＝b＋a，故A正确.＝＋＝－a＋b＋a＝b－a，故B正确．因为AB∥CD，所以＝＝.所以AM＝AC，则＝＋＝－a＋＝－a＋b＋a＝b－a，故C错误.＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故D正确．故选A，B，D.
3.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝ m＋n (m，n∈R)，则m－n＝________.
解析：由题意得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
4.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝， ＝a，＝b.
(1)用a，b表示，， ，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)如图，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.则＝a＋b，
＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，
＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．
又∵，有公共点B，∴B，E，F三点共线．
5．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
所以与方向相同，且的长度为的长度的2倍，
即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．
层级(三)　素养培优练
1.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是_________．
解析：设＝k,0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k.∵＝λ＋μ，且与不共线，∴∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.故t＝λ－μ 的最大值是3.
答案：3
2.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的 斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若＝x＋y，求x，y的值．
解：如图，先过B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，再过点A作AF⊥BE交BE于点F，由∠ACD＝45°，∠BCA＝90°，得∠BCE＝45°，则CE＝BE，
设CE＝BE＝mCD，则AF＝(m＋1)CD，BF＝(m－1)DA，AB＝2AD.
在Rt△AFB中，AF2＋BF2＝AB2，所以[(m＋1)CD]2＋[(m－1)DA]2＝(2 DA)2，解得m＝，故＝＋＋＝＋ ＋＝(1＋)＋，故x＝1＋，y＝.第六章 | 平面向量及其应用
第六章 | 平面向量及其应用
6．2.3　向量的数乘运算
明确目标 发展素养
1.掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义． 2.理解两个平面向量共线的含义． 3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 1.通过理解向量数乘定义及几何意义，提升数学抽象素养． 2.通过运用数乘运算律和共线向量定理及应 用，增强逻辑推理、数学运算素养.
知识点一　向量的数乘运算
(一)教材梳理填空
1．向量的数乘运算：
定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
长度 |λa|＝|λ||a|
方 向 λ＝0 λa的方向与a的方向
λ＞0 λa＝0
λ＝0 λa的方向与a的方向
2．向量数乘运算的运算律：
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
3．向量的线性运算：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)λa的方向与a的方向一致． ( )
(2)若λa＝0，则a＝0. ( )
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )
2．已知非零向量a，b满足a＝4b，则 (　　)
A．|a|＝|b|　　　　　　　　 B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同 D．a与b的方向相反
3．3(2a－4b)等于 (　　)
A．5a＋7b B．5a－7b
C．6a＋12b D．6a－12b
知识点二　 共线向量定理
(一)教材梳理填空
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使
[微思考]　定理中把“a≠0”去掉可以吗？
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa. ( )
(2)若b＝λa，则a与b共线． ( )
2．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是 (　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
3．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b.
题型一　向量的线性运算
【学透用活】
[典例1]　化简下列各式：
(1)3(6a＋b)－9；
(2)－2；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
【对点练清】
1．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．
2．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.
题型二　用已知向量表示其他向量
【学透用活】
[典例2]　如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.
【对点练清】
1.如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a－b　　　　　　　 B.a＋b
C．a＋b D．a－b
2.如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行 四 边形，BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示， ，.
题型三　向量共线定理及应用
【分类例析】
角度(一)　证明或判断三点共线　
[典例3]　已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．
角度(二)　由三点共线求参数值　
[典例4]　已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．
【对点练清】
1．若典例3中条件“＝2e1－8e2”改为“＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？
2．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2.试判断下列向量是否共线．
(1)与；(2)与；(3)与.
课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．(多选)下列各式计算正确的是(　　)
A．(－7) 6a＝－42a
B．a－2b＋2(a＋b)＝3a
C．a＋b－(a＋b)＝0
D．(a－b)－3(a＋b)＝－2a－4b
2．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　)
A．－2 　　　　　　　　 B.
C．－ D．2
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则(　　)
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．2＝
4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为(　　)
A．－1或3 B.
C．－1或4 D．3或4
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是 (　　)
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则实数λ＝________.
7．已知点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
8．化简：
(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；
(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．
层级(二)　能力提升练
1．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ－，其中λ∈R，则点P一定在(　　)
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
2．(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M.设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝a＋b B.＝－a＋b
C.＝－a＋b D.＝－a＋b
3.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝ m＋n (m，n∈R)，则m－n＝________.
4.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝， ＝a，＝b.
(1)用a，b表示，， ，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
5．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
层级(三)　素养培优练
1.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是_________．
2.如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一起，其中45°直角三角板的 斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合，若＝x＋y，求x，y的值．

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