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第六章 | 平面向量及其应用
6.2.4　向量的数量积
明确目标 发展素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义． 2.会计算平面向量的数量积． 3.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求向量的投影． 4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 1.通过学习向量数量积的定义，提升数学抽象、数学运算素养． 2.通过对向量投影及投影向量概念的学习，提升数学抽象素养． 3.在数量积的应用过程中，提升逻辑推理、数学运算素养.
知识点一　向量的数量积
(一)教材梳理填空
1．平面向量的夹角：
条件 两个非零向量a和b
产生 过程 作向量＝a，＝b，则 ＝θ叫做向量a与b的夹角
范围 [0，π]
续表
特 殊 情 况 θ＝0 a与b
θ＝π a与b
θ＝ a与b ，记作a⊥b
2．向量的数量积：
定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ
规定 零向量与任一向量的数量积为
3.投影向量：
(1)如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A 和 终 点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON
的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
(3)设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量＝|a|cos θ·e.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量数量积的运算结果是向量．( )
(2)向量a在向量b上的投影向量一定是数量．( )
(3)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0 a·b>0.( )
(4)|a·b|≤a·b.( )
2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于 (　　)
A.　　 B.　　　 C．1＋　　　 D．2
3．已知|a|＝1，|b|＝2，设e是与a同方向上的单位向量，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为______．
知识点二　 平面向量数量积的性质及运算律
(一)教材梳理填空
1．数量积的性质：
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝ .
(2)a⊥b
(3)当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝－ .特别地，a·a＝ 或|a|＝ .
(4)|a·b|≤ .
2．平面向量数量积的运算律：
交换律 a·b＝
结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a
分配律 (a＋b)·c＝
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)． ( )
(2)已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c. ( )
(3)λ(a·b)＝(λa)·b. ( )
2．已知|a|＝7，则a·a＝_________.
3．已知|a|＝8，|b|＝1，a·b＝8，则a与b的夹角θ＝______.
4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝2，则|a＋b|＝________.
题型一　向量的数量积运算
【学透用活】
[典例1]　(1)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：
①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．
(2)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，求a在e1上的投影向量．
【对点练清】
1．已知a·b＝16，若a在b上的投影向量为4b，则|b|＝________.
2．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
(2)∵与的夹角为120°，
(3)∵与的夹角为60°，
题型二　向量的模
【学透用活】
[典例2]　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a·b；
(2)求|a＋b|.
【对点练清】
1．(2025·北京高考)已知平面直角坐标系xOy中，| |＝| |＝，| |＝2，设C(3,4)，则|2＋|的取值范围是(　　)
A．[6,14]　B．[6,12]　C．[8,14]　D．[8,12]
2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝____________.
题型三　与向量夹角、垂直有关的问题
【学透用活】
[典例3]　(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
【对点练清】
1．(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　)
A．－　　B．－　　C.　　D.
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
3．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，当m为何值时，c与d垂直？
课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．向量b在向量a上的投影是向量
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若a·b＝0，则a⊥b
2．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
3．(多选)已知向量a，b满足|a|＝3|b|＝a·b＝3，则下列结论正确的是(　　)
A．a⊥b B．a∥b
C．|a＋b|＝4 D．|a－b|＝2
4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A. B.
C. D．1
5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为 (　　)
A．4 B．－4
C. D．－
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为________．
7．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝________.
8．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b且同向，求a·b；
(2)若向量a，b的夹角为135°，求|a＋b|.
层级(二)　能力提升练
1.如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝ (　　)
A．20　　　　　　 　 B.
C．2 D.
2．定义：|a b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a b|等于 (　　)
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
3．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝
________.
4．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值．
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
5．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
层级(三)　素养培优练
1．下面图①是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图②所示，图②中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则·＝(　　)
A．32 B．28
C．26 D．24
2．选择下列条件补充到题中横线上，并求k的取值范围．
①锐角；②钝角．
设{e1，e2}为标准正交基，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为________，试求k的取值范围．
3.如图，在直角△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：
与的夹角取何值时， ·最大？并求出这个最大值．第六章 | 平面向量及其应用
6.2.4　向量的数量积
明确目标 发展素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义． 2.会计算平面向量的数量积． 3.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求向量的投影． 4.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 1.通过学习向量数量积的定义，提升数学抽象、数学运算素养． 2.通过对向量投影及投影向量概念的学习，提升数学抽象素养． 3.在数量积的应用过程中，提升逻辑推理、数学运算素养.
知识点一　向量的数量积
(一)教材梳理填空
1．平面向量的夹角：
条件 两个非零向量a和b
产生 过程 作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角
范围 [0，π]
续表
特 殊 情 况 θ＝0 a与b同向
θ＝π a与b反向
θ＝ a与b垂直，记作a⊥b
2．向量的数量积：
定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ
规定 零向量与任一向量的数量积为
3.投影向量：
(1)如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A 和 终 点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON
的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
(3)设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量＝|a|cos θ·e.
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量数量积的运算结果是向量． (×)
(2)向量a在向量b上的投影向量一定是数量． (×)
(3)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ>0 a·b>0. (√)
(4)|a·b|≤a·b.(×)
2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于 (　　)
A.　　 B.　　　 C．1＋　　　 D．2
答案：A
3．已知|a|＝1，|b|＝2，设e是与a同方向上的单位向量，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为______．
答案：e
知识点二　 平面向量数量积的性质及运算律
(一)教材梳理填空
1．数量积的性质：
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
2．平面向量数量积的运算律：
交换律 a·b＝b·a
结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c)． (×)
(2)已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c. (×)
(3)λ(a·b)＝(λa)·b. (√)
2．已知|a|＝7，则a·a＝_________.
答案：49
3．已知|a|＝8，|b|＝1，a·b＝8，则a与b的夹角θ＝______.
答案：0
4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝2，则|a＋b|＝________.
答案：2
题型一　向量的数量积运算
【学透用活】
[典例1]　(1)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：
①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．
(2)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，求a在e1上的投影向量．
[解]　(1)①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.
②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，
所以a·b＝10×3×cos 120°＝－15，
所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2
＝200＋15－9＝206.
(2)设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影向量为|a|cos θ·e1＝·e1＝e1.
【对点练清】
1．已知a·b＝16，若a在b上的投影向量为4b，则|b|＝________.
解析：设a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|·cos θ＝16.①
由a在b上的投影向量为|a|cos θ＝4b，得|a|cos θ＝4|b|.②
由①②，得|b|＝2.
答案：2
2．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解：(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
题型二　向量的模
【学透用活】
[典例2]　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a·b；
(2)求|a＋b|.
[解]　(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
将|a|＝4，|b|＝3代入上式，得a·b＝－6.
(2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13，所以|a＋b|＝.
【对点练清】
1．(2025·北京高考)已知平面直角坐标系xOy中，| |＝| |＝，| |＝2，设C(3,4)，则|2＋|的取值范围是(　　)
A．[6,14]　B．[6,12]　C．[8,14]　D．[8,12]
解析：选D　因为||＝||＝，||＝2，
由＝－平方可得，·＝0，
所以〈，〉＝.
因为2＋＝2(－)＋－＝＋－2，||＝＝5，
所以|2＋|2＝2＋2＋42－4(＋)·＝2＋2＋4×25－4(＋)·＝104－4(＋)·，
又|(＋)·|≤|＋|||＝5×＝10，即－10≤(＋)·≤10，
所以|2＋|2∈，即|2＋|∈.
2．(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝____________.
解析：由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3　①.由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理，得3a2－6a·b＝0，结合①，得3a2－3(a2＋b2－3)＝0，整理，得b2＝3，所以|b|＝.
答案：
题型三　与向量夹角、垂直有关的问题
【学透用活】
[典例3]　(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[解析]　(1)∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.
答案：(0,1)∪(1，＋∞)
(2)由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
【对点练清】
1．(2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　)
A．－　　B．－　　C.　　D.
解析：选D　∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式两边同时平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.又a－c＝a－(－a－b)＝2a＋b，b－c＝b－(－a－b)＝a＋2b，∴(a－c)·(b－c)＝(2a＋b)·(a＋2b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且|a－c|＝|2a＋b|＝＝＝，|b－c|＝|a＋2b|＝＝＝，∴cos〈a－c，b－c〉＝＝，故选D.
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
解：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0)．
3．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，当m为何值时，c与d垂直？
解：由已知，得a·b＝3×2×cos 60°＝3.
由c⊥d，得c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即当m＝时，c与d垂直．
课时跟踪检测
层级(一)　“四基”落实练
1．(多选)下列说法正确的是 (　　)
A．向量b在向量a上的投影是向量
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．若a·b＝0，则a⊥b
解析：选AB　对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误；对于选项D，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B.
2．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D　由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，
所以cos?a，a＋b?＝＝＝，故选D.
3．(多选)已知向量a，b满足|a|＝3|b|＝a·b＝3，则下列结论正确的是(　　)
A．a⊥b B．a∥b
C．|a＋b|＝4 D．|a－b|＝2
解析：选BCD　由|a|＝3|b|＝a·b＝3，可得|b|＝1.因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3cos〈a，b〉＝3，
所以cos〈a，b〉＝1.因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝0，
所以a＝3b，a∥b，|a＋b|＝4，|a－b|＝2.
4．(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选B　因为(b－2a)⊥b，所以(b－2a)·b＝0，即b2＝2a·b，又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而|b|＝，故选B.
5．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为 (　　)
A．4 B．－4
C. D．－
解析：选B　由题意知，cos〈m，n〉＝＝＝，
所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0，
所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4.
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为________．
解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝12，又|b|＝5，∴|a|cos θ＝，＝，即a在b方向上的投影向量为b.
答案：b
7．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝________.
解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.
答案：6
8．已知|a|＝1，|b|＝.
(1)若a∥b且同向，求a·b；
(2)若向量a，b的夹角为135°，求|a＋b|.
解：(1)若a∥b且同向，则a与b夹角为0°，
此时a·b＝|a||b|＝.
(2)|a＋b|＝ ＝
＝＝1.
层级(二)　能力提升练
1.如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝ (　　)
A．20　　　　　　 　 B.
C．2 D.
解析：选C　由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a
＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝＝＝＝2.故选C.
2．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于 (　　)
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
解析：选A　cos θ＝＝＝－.∵θ∈[0，π]，
∴sin θ＝，∴|a×b|＝2×5×＝8.故选A.
3．已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝
________.
解析：∵c2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋5b2＝9，
∴|c|＝3.又∵a·c＝a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2，
∴cos〈a，c〉＝＝.
答案：
4．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值．
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)
＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2
＝|b|22＋|a|2－.
∵b是非零向量，∴|b|≠0，
∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
5．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1－1＋1＝1，
所以|a＋2b|＝1.又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
层级(三)　素养培优练
1．下面图①是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图②所示，图②中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则·＝(　　)
A．32 B．28
C．26 D．24
解析：选C　如图所示，建立以a，b为一组基底的基向量，其中|a|＝|b|＝1且a，b的夹角为60°，
∴＝2a＋4b，＝4a＋2b，
∴·＝(2a＋4b)·(4a＋2b)＝8a2＋8b2＋20a·b＝8＋8＋20×1×1×＝26.
2．选择下列条件补充到题中横线上，并求k的取值范围．
①锐角；②钝角．
设{e1，e2}为标准正交基，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为________，试求k的取值范围．
解：选择条件①锐角：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是(0,1)∪(1，＋∞)．
选择条件②钝角：∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k<0，∴k<0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0)．
3.如图，在直角△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：
与的夹角取何值时， ·最大？并求出这个最大值．
解：如图，设与的夹角为θ，
则·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·＝－a2－·＋·
＝－a2－·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2cos θ.
故当cos θ＝1，即θ＝0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.

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