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19.1 二次根式
第十九章 二次根式
1 二次根式的概念
学习目标
1．根据算术平方根的意义了解二次根式的定义．
2．通过探索二次根式有意义的条件，知道为什么被开方数（式）必须是非负的，加深对二次根式定义的理解.
（难点）
图片欣赏
广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？
（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为________．
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t2．如果用含有h的式子表示 t，那么 t 为________．
（1）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为 m.
思考
用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：
想一想
你发现这些结果 有哪些共同特征？
归纳：一般地，我们把形如_____________的式子叫作二次根式．
在二次根式 中，为什么a不能是负数？
回顾我们学过的式子，如 5，a，a＋b，－ab，st，－x3， a(a≥0)，它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．二次根式也是_________．
归纳：判断一个式子是二次根式的条件
（1）含有_________；
（2）被开方数（或式子）是_________.
问题1 上面问题的结果表示一些正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数a只能是正数或0.
①含有“ ”
②被开方数 a ≥0
问题2 上面问题的结果分别是 ，分别从形式上和被开方数上看有什么共同特点？
二次根式的定义
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号，a叫做被开方数.
二次根号
被开方数
二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式大于或等于1.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.







基础巩固
1.下列各式中一定是二次根式的是( )
B
平方得出来的数是非负数
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
①外貌特征：含有“ ”
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
判断二次根式的方法
解：由x-2≥0，得
x≥2.
例2 (1)当x取何值时, 在实数范围内有意义
当x≥2时， 在实数范围内有意义.
当x=9时，
A. x>1 B. x>-1 C. x ≥1 D. x ≥-1
A
（2）当x=0，9时，求二次根式 的值.
（3）要使式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
解：当x=0时，x-2=-2＜0，此时二次根式无意义；
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
归纳
练习2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
(2)
(3)
(4)
课本第3页
3.若 有意义，则a的值为 .
基础巩固
1
4.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应是多少？
解：设长方形的宽为 x cm,根据得意得
解得
所以宽为4cm，长为6cm.
（负值舍去）.
3.若 有意义，则a的值为 .
基础巩固
1
4.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应是多少？
解：设长方形的宽为 x cm,根据得意得
解得
所以宽为4cm，长为6cm.
（负值舍去）.
想一想：
当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
例3（1）若 ，求a -b+c的值.
解：
（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4
所以a-b+c=2-3+4=3;
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2016,
所以x+2y=1+2×2016=4033.
（2）设 试求x+2y的值.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
归纳
当堂练习
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.若 是整数，则自然数n的值有 （ ）
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
D
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
课后作业
1、填写练习；
2、完成课本习题19.1 第1题

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